Introduction to Algebraic Geometry pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Cambridge Univ Pr

作者:Hassett, Brendan

出品人:

页数:264

译者:

出版时间:2007-6

价格:$ 51.98

装帧:Pap

isbn号码:9780521691413

丛书系列:

图书标签:

• 代数几何
• 代数
• 几何
• 数学
• 研究生
• 高等数学
• 抽象代数
• 代数簇
• 交换代数
• Schemes

好的，以下是一份针对并非《Introduction to Algebraic Geometry》的图书的详细简介，旨在详细描述一本不同主题的代数几何著作可能包含的内容，确保内容翔实且自然流畅： --- 现代概形论基础与范畴方法 (Foundations of Modern Scheme Theory and Categorical Approaches) 本书导言：深入探索代数几何的现代基石 本书旨在为严肃的数学研究者和高年级研究生提供一个深入而严谨的框架，用以理解和掌握现代代数几何的基石——概形论（Scheme Theory）及其在范畴论视角下的精妙结构。我们相信，要真正领会自上世纪中叶以来代数几何的飞跃性发展，必须跳出古典代数几何的限定视角，直接面对由亚历山大·格罗滕迪克（Alexandre Grothendieck）开创的、基于拓扑与交换代数深度融合的抽象范式。 本书的结构设计侧重于构建一条清晰的逻辑链条，从基础的环论概念出发，逐步过渡到抽象的拓扑结构，最终聚焦于概形这一核心对象的精确构造与性质研究。我们避开了对古典曲线和曲面的初步应用介绍，而是将笔墨集中于理论的内在线索和严密性上。 第一部分：预备知识与基础结构（Prerequisites and Foundational Structures） 本部分旨在夯实读者在交换代数、拓扑学和范畴论等领域的必备知识，为后续的抽象构建做好准备。 第一章：交换代数的回顾与深化 我们不只是简单地回顾理想、素理想和局部化等概念，而是将重点放在“结构的保持”上。深入讨论了分解定理在交换环上的表现，并详细剖析了拟素理想（Quasi-prime ideals）和相伴素理想（Associated primes）的性质。关键在于对Noether环的完备性（Completions）进行详细阐述，特别是$mathfrak{m}$-进拓扑下的收敛性质，这为后续定义法线结构提供了代数基础。 第二章：预射影空间与基本拓扑结构 本章引入了预射影空间（Projective Space） $mathbb{P}^n_R$ 的严格定义，不仅基于域 $k$ 上的向量空间，更将其提升到任意环 $R$ 上的情形。我们详细讨论了齐次坐标系与开仿射图（Affine Patches）之间的转换，并引入了齐次理想的概念。拓扑方面，我们将扎里斯基拓扑（Zariski Topology）作为核心研究对象，分析其与古典拓扑的区别与联系，特别是谱拓扑（Spectral Topology）的引入，为后续概形的定义铺平道路。 第三章：范畴论的视角：函子与自然变换 为理解现代代数几何的本质——即“结构之间的映射”，范畴论是不可或缺的工具。本章详细介绍了范畴（Categories）、函子（Functors）和自然变换（Natural Transformations）。我们重点讨论了极限（Limits）和余极限（Colimits）在代数对象间的构造意义。特别地，我们深入分析了遗忘函子（Forgetful Functors）和自由函子（Free Functors），强调了范畴论如何提供统一的语言来描述不同代数结构间的同构与态射。 第二部分：概形论的核心构造（The Core Construction of Scheme Theory） 这是本书的核心部分，专注于将代数结构提升为几何对象。 第四章：预层与层（Presheaves and Sheaves） 从拓扑空间的预层 $mathcal{F}: ext{OpenSets} o ext{Sets}$ 开始，我们明确区分了预层与层的区别——即局部性质的粘合性（Gluing Axiom）。详细介绍了限制映射（Restriction Maps）和伸展映射（Extension Maps）的性质。重点分析了常值层（Constant Sheaves）和结构层（Sheaf of Rings），为接下来的环化做准备。 第五章：从环到谱：概形的诞生 本章是理论的飞跃点。我们严格定义了环谱 $ ext{Spec}(R)$ 及其上的结构层 $mathcal{O}_{ ext{Spec}(R)}$。概形被定义为（$ ext{Spec}(R), mathcal{O}_{ ext{Spec}(R)}$）的对。我们将详细探讨素理想的拓扑性质，并严格论证 $ ext{Spec}(R)$ 上的扎里斯基拓扑与范畴论中定义的拓扑如何精确对应。随后，引入局部环的概念，作为理解概形局部性质的关键。 第六章：态射与同构（Morphisms and Isomorphisms） 概形的几何意义体现在它们之间的态射上。我们定义了概形之间的态射 $f: X o Y$，它诱导了结构层上的一个环映射 $f^sharp: mathcal{O}_Y o f_(mathcal{O}_X)$。本书重点剖析了诱导层（Pulled-back sheaves）的构造，并详细区分了不同类型的态射，如开嵌入（Open Immersion）、闭嵌入（Closed Immersion）和同胚（Homeomorphism）的严格代数条件。 第三部分：结构深化与性质分析（Structural Refinement and Property Analysis） 在掌握了概形的基本构造后，本部分转向对复杂结构的构建和性质的深入研究。 第七章：预射影概形与嵌入 回归到预射影空间，我们现在使用概形的语言来定义预射影概形 $X = ext{Proj}(S)$，其中 $S$ 是一个分次环。详细阐述了如何将一个分次环 $S$ 转化为预射影概形 $X$，并证明了齐次理想与 $X$ 的闭子集之间的“Principle of Duality”。本章着重于如何使用齐次坐标来构造 $ ext{Proj}(S)$ 上的开仿射图，并展示 $mathbb{P}^n_k$ 的概形结构。 第八章：层上同调的初步探讨（Introduction to Sheaf Cohomology） 本章开始触及代数几何中不可或缺的工具——层上同调。我们首先定义了链复形（Chain Complexes）和同调群（Homology Groups）。随后，引入正合序列（Exact Sequences）的概念，特别是短正合序列。着重讨论了张量积函子（Tensor Product Functor）对层的影响，以及相干层（Coherent Sheaves）在某些“好”概形上使得上同调计算变得可行。本章提供了一个关于局部上同调（Local Cohomology）的严谨定义，但暂时搁置了全局上同调的复杂计算。 第九章：平坦性与分离性（Flatness and Separatedness） 现代几何学的两大关键性质是平坦性（Flatness）和分离性（Separatedness）。我们严格定义了平坦态射，它要求拉回操作保持模的精确性，这是保证代数簇之间保持几何“维度”连续性的关键。对于分离性，我们引入了对角态射（Diagonal Morphism） $Delta: X o X imes X$，并证明了概形 $X$ 是T2 空间（Hausdorff 意义上的分离）当且仅当 $Delta$ 是一个闭浸入。这清晰地展示了从拓扑性质到代数条件的转换。 结论：展望 本书的收尾部分将简要概括所学概念的相互关系，并为读者指明深入研究的方向，例如曲线上的向量丛、模空间理论的初步构思，以及Weil 理论与Grothendieck 理论的代数几何路径差异。全书旨在为读者提供一套强健的、基于严密逻辑的现代代数几何语言。 ---

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