Stability by Fixed Point Theory for Functional Differential Equations pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Dover Pubns

作者:Burton, T. A.

出品人:

页数:368

译者:

出版时间:2006-10

价格:$ 22.54

装帧:Pap

isbn号码:9780486453309

丛书系列:

图书标签:

• theory
• Functional Differential Equations
• Fixed Point Theory
• Stability Analysis
• Differential Equations
• Mathematical Analysis
• Nonlinear Analysis
• Dynamical Systems
• Existence and Uniqueness
• Qualitative Theory
• Applications of Fixed Point Theory

《泛函微分方程的固定点理论稳定性分析》：内容概要 本书旨在为深入研究泛函微分方程（Functional Differential Equations, FDEs）的稳定性理论提供一份详尽、严谨的理论框架与应用指南。全书紧密围绕 FDEs 系统的定性分析，特别是基于固定点理论方法的稳定性判据的建立、证明与具体应用展开。我们避开了特定书籍《Stability by Fixed Point Theory for Functional Differential Equations》中可能涉及的特定论证细节或章节安排，而是着重于构建一个独立、普适的稳定性分析体系。 本书的结构设计遵循从基础概念的严格定义，到核心理论的构建，再到高级应用的逐步深化。我们坚信，对于 FDEs 这种包含历史依赖性的复杂动力学系统，理解其稳定性需要一套比常微分方程（ODEs）更为精细和强大的数学工具。 第一部分：泛函微分方程基础与拓扑动力学背景 本部分为后续的稳定性分析奠定必要的数学基础。首先，我们对 FDEs 的定义、解的存在唯一性定理（基于 Peano 或 Picard 迭代思想的推广）进行了详尽的阐述。重点关注了 延迟微分方程（DDEs） 和 中立型微分方程（NDEs） 作为 FDEs 的两大核心分支。 关键内容包括： 1. 函数空间的选择： 详细讨论了在分析 FDEs 稳定性时，为什么需要采用包含历史信息的函数空间，如 $C([- au, 0], mathbb{R}^n)$（连续函数空间）以及 Sobolev 空间的相应推广。 2. 不动点理论的引入： 引入布劳威尔（Brouwer）不动点定理、图夏（Tychonoff）不动点定理，以及在函数空间上更具操作性的巴拿赫（Banach）压缩映射原理和 Schaeffer 不动点定理。这为后续的稳定性分析提供了必要的“不动点”框架。 3. 局部/全局吸引性的概念辨析： 严格区分了 AS（渐近稳定）、指数稳定（Exponential Stability）以及 Lyapunove 意义下的稳定性。 第二部分：基于不动点理论的稳定性判据构建 这是本书的核心部分，聚焦于如何利用不动点理论来重构和证明 FDEs 的稳定性。我们采用了一种变分法与不动点算子相结合的视角。 2.1 直接法与不动点算子的构造 我们首先构建一个描述系统演化的积分算子 $mathcal{T}$，使得方程的解 $x(t)$ 对应于 $mathcal{T}$ 在某个特定函数空间上的不动点。 $$x(t) = Phi(x_0) + int_{t_0}^t f(s, x_s) ds$$ 其中 $Phi$ 包含了初始条件的映射。稳定性分析随即转化为分析该不动点算子 $mathcal{T}$ 在平衡点（通常为零解）附近的性质。 2.2 巴拿赫压缩映射原理的应用 详细论述了在局部区域内，如何通过选择合适的赋范空间和调整参数（如延迟 $ au$ 或增益系数），使得不动点算子 $mathcal{T}$ 成为一个压缩映射。这直接证明了解的唯一性和局部渐近稳定性。我们提供了具体的范数选择和 Lipschitz 条件的推导过程。 2.3 非线性系统的不动点定理扩展 对于难以满足压缩条件的非线性系统，我们转而使用更广义的不动点定理： Schaeffer 不动点定理： 适用于证明解的存在性（如全局吸引子的存在性），通过构造一个有界、紧致的映射集合。 Leray-Schauder 理论的适应： 讨论如何将此线性化理论应用于分析 FDEs 在平衡点附近的线性化系统的稳定性，并将其提升到非线性情形。 第三部分：特定类型 FDEs 的稳定性分析 本部分将前述理论应用于两大关键的 FDEs 类型，展示固定点理论的普适性和有效性。 3.1 延迟微分方程（DDEs）的稳定性 DDEs 的挑战在于无限维的状态空间（历史函数）。我们展示了如何使用半群理论的框架，并结合固定点方法来处理特征值问题。 稳定性与特征方程： 讨论了 DDEs 的稳定性如何依赖于其特征方程的根。通过分析与特征方程相关的积分方程，我们利用不动点理论来证明是否存在一个延迟值 $ au$，使得所有特征根都位于左半平面。 Hopf 分岔的稳定性分析： 讨论了当系统参数穿越临界值时，稳定性如何从平衡点转移到周期解。利用不动点理论（如 Rabinowitz 分岔定理的推广形式）来确定分岔点附近稳定性的变化。 3.2 中立型微分方程（NDEs）的稳定性 NDEs 包含导数项依赖于历史信息（$dot{x}(t) = f(t, x_t, dot{x}_t)$），这使得系统具有更复杂的拓扑结构。 算子 $mathcal{L}$ 的可逆性分析： 重点分析中立算子 $mathcal{L}$ 的特性。我们构造一个投影映射，将原问题投影到一个有限维空间和一个不变的无限维空间上，并分别用压缩映射原理分析这两个子系统的稳定性。 第四部分：Lyapunov-Krasovskii 函数与不动点理论的结合 为了处理那些无法直接通过压缩映射证明稳定性的系统，我们探讨了不动点理论与经典 Lyapunov-Krasovskii 泛函方法的融合。 1. Lyapunov 泛函的构造： 讨论了如何构造恰当的泛函 $V(t, x_t)$，使得其时间导数 $dot{V}$ 满足某些负定条件。 2. 不动点算子的增强： 将 Lyapunov 泛函的定义嵌入到不动点算子的定义域或值域中，从而将稳定性条件转化为算子在具有特定能量限制的子集上的不动点性质。例如，如果 $dot{V} < 0$ 意味着轨迹被“推向”包含零解的吸引子区域，则不动点理论可以证明零解是这个区域内唯一的稳定不动点。 第五部分：应用实例与数值验证 本书最后部分通过具体的应用案例来验证理论的有效性，包括： 具有延迟的生态模型（如 Lotka-Volterra 模型）。 具有无穷延迟的控制系统。 神经元动力学模型中的同步性分析。 在每个案例中，我们都清晰地展示了如何选择合适的函数空间，如何构造不动点算子，以及如何应用特定的不动点定理来得出关于系统稳定性的结论。数值模拟部分则用于直观展示理论预测的稳定性边界和吸引子的行为。 本书的撰写目标是提供一套自洽、严谨且具有操作性的工具箱，使研究人员能够运用现代泛函分析的强大工具来征服泛函微分方程的复杂稳定性问题。

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