Nonlinear Ordinary Differential Equations pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:OUP Oxford

作者:Dominic Jordan

出品人:

页数:540

译者:

出版时间:2007-8-23

价格:GBP 115.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780199208241

丛书系列:

图书标签:

• 非线性常微分方程
• 常微分方程
• 微分方程
• 数学
• 应用数学
• 数值分析
• 动力系统
• 工程数学
• 偏微分方程
• 数学建模

Calculus of Variations: Principles and Applications 导言 变分法，作为数学分析的一个核心分支，研究如何在一个函数空间中寻找满足特定泛函（Functional）极值的函数。这种方法不仅是经典力学和广义相对论的理论基石，也在现代控制论、图像处理、最优传输理论等多个领域展现出不可替代的威力。本书旨在提供一个全面、深入且严谨的变分法入门与进阶指南，旨在帮助读者从基础概念出发，逐步掌握其核心工具和前沿应用。 本书的结构设计遵循由浅入深、理论与实践紧密结合的原则。我们避免了对微分方程理论的直接重复，而是专注于如何利用泛函极小化这一核心思想来构建和解决各种优化问题。 第一部分：基础理论与经典结果 第1章：泛函与变分 本章首先引入变分法的基本对象——泛函。我们将详细讨论不同类型的泛函，从最简单的依赖于单个函数的泛函 $J[y] = int_{a}^{b} L(x, y, y') dx$ 开始，到涉及多个函数的泛函。随后，本章核心内容是“一阶变分”的概念，即方向导数（或称变分 $delta J$）。我们将详细推导，对于一个局部极小值点，其一阶变分必须在所有可允许的变分（满足边界条件的微小扰动）方向上为零。这将自然地引出变分法的核心方程——欧拉-拉格朗日方程（Euler-Lagrange Equation）。我们将详细分析该方程的性质和特殊情况，如守恒量和第一积分。 第2章：边界条件与自然边界 变分法的问题往往受到约束条件的限制。本章专注于分析不同类型的边界条件对欧拉-拉格朗日方程解的影响。我们将区分固定端点问题（Fixed-End Problems）和可自由变动的端点问题（Free-End Problems）。对于后者，我们将导出所谓的“自然边界条件”（Natural Boundary Conditions），它们是泛函极值条件自动导出的附加条件，而非预先设定的。此外，我们还将讨论涉及导数和高阶导数的泛函，例如涉及到二阶导数的变分问题及其相应的四阶欧拉-拉格朗日方程。 第3章：第二变分与稳定性分析 仅满足一阶变分为零不足以保证找到的是极小值，它可能是极大值或鞍点。本章致力于引入“第二变分” $delta^2 J$。我们将详细解释二阶导数在泛函空间中的作用，并阐述其正定性（Positive Definiteness）作为局部极小值的充要条件。本章的重点是雅可比条件（Jacobi Condition）和共轭点（Conjugate Points）的概念。共轭点的存在性直接决定了变分区间内是否存在局部极小解，这对于理解变分问题的可靠性至关重要。我们将通过著名的二次泛函案例来阐释这些概念的应用。 第4章：约束变分与拉格朗日乘子法 许多实际优化问题要求解满足一定的积分或等式约束。本章将变分法的工具推广到受约束的环境下。我们将系统地介绍变分法中的拉格朗日乘子法。对于等式约束 $G[y] = c$，我们构建增广泛函，并推导出带有乘子项的欧拉-拉格朗日方程组。本章还将扩展到不等式约束（如 $G[y] ge c$），此时需要引入卡罗什-库恩-塔克（KKT）条件在变分框架下的对应形式，即互补松弛性（Complementary Slackness）条件。 第二部分：进阶主题与现代应用 第5章：直接法（Direct Methods）与能量泛函 本章从更强的数学分析角度审视变分法。我们将介绍Sobolev空间的概念，这是处理导数存在性问题的必要工具。我们将详细阐述庞加莱不等式和勒贝格函数空间的基本性质。随后，我们将深入探讨变分法的“直接法”，即利用函数空间上的收敛性（如 $L^2$ 范数或Sobolev范数下的收敛）来证明极小值点的存在性，而无需依赖欧拉-拉格朗日方程的解的先验存在性。本章将侧重于狄利克雷能量泛函（Dirichlet Energy Functional）的最小化问题。 第6章：等周问题与形变群（Diffeomorphism Groups） 等周问题（Isoperimetric Problem）是变分法的经典代表，它询问在给定周长下如何最大化面积。本章将利用拉普拉斯算子和梯度流来重新审视这一问题，并将其推广到高维空间。我们将探讨流形上的变分问题，特别是如何利用李群和李代数的概念来处理由几何形变（如共形变换）引起的泛函不变性。本章将展示如何将经典几何问题转化为微分几何中的测地线计算。 第7章：正则性理论（Regularity Theory） 在前面的章节中，我们假设解是光滑的，但实际情况下，解的光滑性往往依赖于拉格朗日函数自身的性质。本章将系统地介绍解的正则性结果。我们将讨论若拉格朗日量是凸函数，则解具有哪些性质；以及若拉格朗日量是二次的，解的一阶导数是否连续。本章将重点探讨“弱解”与“强解”之间的关系，以及如何利用能量估计（Energy Estimates）来证明解的额外光滑性。 第8章：最小曲面问题与非线性变分 本章聚焦于几何中的一个重要应用：最小曲面问题。我们将构建面积泛函 $A[S] = iint_D sqrt{1 + u_x^2 + u_y^2} dx dy$。最小化这个泛函，其欧拉-拉格朗日方程是一个高度非线性的偏微分方程——平均曲率方程。我们将分析该方程的奇异性问题，特别是关于极小曲面的局部正则性。本章还将介绍变分法在统计物理学中蒙特卡洛方法和模拟退火中的应用，侧重于Boltzmann分布的推导。 结论 本书在强调数学严谨性的同时，确保了对物理和工程应用的深刻洞察力。通过对边界条件的精细处理、对二阶变分的深入分析以及对现代函数空间方法的引入，读者将获得一套强大的分析工具，能够独立地构建和解决复杂的优化问题，这些问题超越了传统微分方程的范畴。本书为有志于深入研究控制理论、流体力学、材料科学中的最优设计问题的读者提供了坚实的基础。

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