Foliations in Cauchy-Riemann Geometry pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Amer Mathematical Society

作者:Barletta, Elisabetta/ Dragomir, Sorin/ Duggal, Krishan L.

出品人:

页数:256

译者:

出版时间:

价格:579.00 元

装帧:HRD

isbn号码:9780821843048

丛书系列:

图书标签:

• Cauchy-Riemann geometry
• Foliations
• Complex manifolds
• Differential geometry
• Complex analysis
• Topology
• Geometric analysis
• Holomorphic geometry
• Riemann surfaces
• Complex structures

宇宙的编织与信息的流转：经典拓扑学在现代物理学中的应用 本书聚焦于经典拓扑学在描述复杂系统结构和信息传输过程中的强大能力。 我们的探索将跨越纯粹的数学抽象，深入到物理学、工程学乃至生物信息学的实际应用场景，展示拓扑不变量如何成为理解系统稳定性和演化路径的核心工具。全书结构严谨，论证详实，旨在为研究者和高年级学生提供一个既具理论深度又富于实践意义的视角。 --- 第一部分：基础拓扑概念的重塑与几何化（约 400 字） 本部分首先对读者进行必要的背景回顾，但侧重于拓扑学概念的“物理”解释和“几何”建模。我们不满足于仅仅定义同胚和同伦群，而是着重探讨流形 (Manifolds) 作为物理系统状态空间的内在结构。 1. 连续形变与拓扑等价： 我们将“拉伸不撕裂”的直观概念转化为更严格的数学语言，并通过大量非平凡的例子（如手性分子结构、纤维捆绑的构造）来阐明拓扑不变量的威力。重点分析基本群（Fundamental Group） 如何编码空间中的“洞”和“环路”，及其在描述电磁场拓扑缺陷（如磁单极子）时的直接关联。 2. 奇异同调与边界结构： 详细介绍奇异同调论 (Singular Homology Theory)，将其视为对空间中“缺失的维度”或“空腔”进行系统性量化的工具。在物理语境下，我们深入探讨欧拉示性数 (Euler Characteristic) 如何与系统中的“顶点-边-面”结构相关联，尤其是在晶格模型和离散几何中对相变的指示作用。 3. 纤维丛与连接： 纤维丛理论是理解物理场如何“附着”到空间背景上的关键。本章细致阐述向量丛 (Vector Bundles) 的构建，并引入联络 (Connections) 的概念，将其解释为在不同基点之间“移动”纤维（如电磁势或规范场）时所需的规范性操作。这为后续讨论规范场论奠定了坚实的几何基础，而无需依赖复杂的微分几何预备知识。 --- 第二部分：动力系统中的拓扑结构与稳定性分析（约 600 字） 经典拓扑学在分析动力系统的长期行为（吸引子、周期性）方面表现出无可替代的优势。本部分关注相空间 (Phase Space) 的拓扑结构。 1. 庞加莱截面与拓扑共轭： 对于高维或混沌系统，直接分析整个相空间极其困难。我们引入庞加莱截面 (Poincaré Sections) 的技术，将流体的涡旋、天体力学中的周期轨道等高维问题降维到更容易分析的二维或三维映射上。重点讨论拓扑共轭 (Topological Conjugacy) 的概念，说明两个看似不同的动力学系统，若其相空间具有相同的拓扑结构，则其长期行为本质上是等价的。 2. 吸引子与拓扑分类： 混沌系统的吸引子（如洛伦兹吸引子）虽然不是简单的点或环，但它们具有明确的拓扑特征。本书将这些复杂吸引子的分形维数 (Fractal Dimension) 与其在拓扑空间中的嵌入方式联系起来，探讨如何利用拓扑工具（而非纯粹的数值计算）来区分不同类型的混沌行为（如湍流的拓扑特征）。 3. 拓扑不变量在稳定性判据中的应用： 传统的李雅普诺夫指数侧重于局部敏感性，而拓扑方法则关注全局的稳定性。我们介绍如何利用拓扑荷 (Topological Charge) 的概念来保证某些物理量（如磁通量、电荷量）在系统演化中保持不变，即使系统经历剧烈的局部扰动。这在描述非平衡态热力学和材料科学中的拓扑绝缘体性质时至关重要。 4. 拓扑的“记忆”： 深入分析霍普夫不变量 (Hopf Invariant) 在描述流体动力学中的涡旋环（如环形涡旋）拓扑缠绕程度时的应用，揭示了系统在长时间演化中如何“记住”其初始的拓扑配置。 --- 第三部分：离散系统、网络拓扑与信息编码（约 500 字） 现代研究越来越依赖于由离散节点和连接构成的网络模型。本部分将拓扑视角从光滑流形转向代数拓扑 (Algebraic Topology) 在离散结构上的应用。 1. 组合拓扑与单纯复形： 我们将物理观测数据或网络结构视为单纯复形 (Simplicial Complexes)，其中节点是 0-单纯形，边是 1-单纯形，更高阶的结构代表了节点之间的协同关系。重点介绍Betti 数 (Betti Numbers) 在网络分析中的意义，它们直接量化了网络中的“团簇”（0-连通分量）、“环路”（1-环路）和“空腔”（2-空洞）。 2. 持久同调 (Persistent Homology) 在数据分析中的核心地位： 介绍持久同调 (Persistent Homology, PH) 这一强大的工具，它能够跨越不同尺度的连接，稳定地识别数据集中拓扑特征的“生命周期”。我们将 PH 应用于高维传感器数据的降维和特征提取，展示其在识别生物网络（如神经元连接图）中关键拓扑结构的鲁棒性。例如，如何利用 PH 来区分随机噪声引起的虚假环路和真实的功能性闭合回路。 3. 拓扑数据分析与特征提取： 讨论如何将网络拓扑特征（如环的密度、连接的复杂性）转化为可量化的指标，用于区分不同状态下的系统。在材料科学中，这可以用来区分具有不同晶格缺陷排布的材料；在信息科学中，则用于评估网络的信息传输效率和鲁棒性。 结论： 本书旨在证明，拓扑学并非仅是研究弯曲空间的纯粹理论，而是理解结构稳定性、全局可观测性和信息编码的普适语言。通过对流形几何、动力系统相空间和组合网络结构的深入剖析，读者将掌握一套强有力的分析框架，能够有效地揭示看似复杂现象背后的不变几何真理。

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