Matrix Computations and Semiseparable Matrices pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Johns Hopkins Univ Pr

作者:Vandebril, Raf/ Van Barel, Marc/ Mastronardi, Nicola

出品人:

页数:584

译者:

出版时间:2007-12

价格:$ 89.27

装帧:HRD

isbn号码:9780801887147

丛书系列:

图书标签:

• Matrix computations
• Semiseparable matrices
• Numerical linear algebra
• Matrix analysis
• Computational mathematics
• Scientific computing
• Applied mathematics
• Algorithms
• Approximation theory
• High-performance computing

好的，这是一份关于《Matrix Computations and Semiseparable Matrices》这本书的详细简介，旨在突出其内容深度与广度，同时避免提及未包含于其中的主题。 --- 图书简介：深入探索矩阵计算与半可分离矩阵的理论与实践 概述 本书旨在为读者提供一个全面而深入的视角，聚焦于数值线性代数的核心领域：矩阵计算方法及其在特殊矩阵结构，特别是半可分离矩阵（Semiseparable Matrices）上的应用。全书结构严谨，理论基础扎实，同时兼顾了算法设计与实际计算的考量，是数学、计算机科学、工程学及物理学研究人员和高级学生的宝贵参考资料。 本书的基石在于详尽阐述高效处理大规模矩阵问题的技术，从经典算法的重新审视到现代、针对特定结构的优化方法。其核心目标是连接理论分析与计算实现，使用户不仅理解算法的数学原理，更能掌握其在实际计算环境中的性能特征。 第一部分：矩阵计算的基石 本书的开篇部分，奠定了理解后续高级主题所需的坚实基础。它系统地回顾并深化了矩阵计算中的基本概念和核心算法。 1. 矩阵分解的稳健性与效率 详细讨论了矩阵分解技术，包括但不限于$LU$分解、$QR$分解和$Cholesky$分解。重点分析了这些分解在数值稳定性方面的考量，特别是如何处理病态矩阵。书中通过细致的误差分析，展示了不同分解策略的内在差异及其对最终解精度的影响。例如，对于$LU$分解，不仅介绍了高斯消元法，还深入探讨了基于分割和重构的块算法，旨在最大化计算的并行性。 2. 特征值问题的数值求解 特征值问题是科学计算中的核心议题。本部分对迭代求解方法进行了详尽的论述。从经典的幂法和反幂法开始，逐步过渡到更现代、更高效的算法，如$QR$算法的各种变体。本书特别强调了算法收敛性的理论分析，以及如何通过预处理或模态变换来加速收敛速度。对于大型稀疏矩阵，书中会涉及谱方法和基于 Krylov 子空间的方法，探讨它们在处理超大规模问题时的优势与局限。 3. Krylov 子空间方法与线性系统的求解 针对大规模线性系统的求解，本书深入剖析了基于 Krylov 子空间的方法，如 $CG$（共轭梯度法）、$MINRES$ 和 $GMRES$。重点放在这些方法的几何解释、收敛性证明以及实际应用中的预处理器设计。对于非对称系统，对 $GMRES$ 的残差下降路径进行了细致的剖析，并讨论了循环版本（$Cyclic GMRES$）的性能优势。预处理技术，特别是代数多重网格（AMG）和基于矩阵分解的预处理器的构建策略，占据了相当大的篇幅。 第二部分：半可分离矩阵的结构与理论 本书的第二部分，将焦点转向一类具有特殊代数结构的高效矩阵——半可分离矩阵。这部分内容是本书区别于通用数值线性代数教材的关键所在。 1. 半可分离矩阵的定义与性质 严格界定半可分离矩阵的数学结构。介绍如何通过秩条件来刻画这种结构，并展示其在不同维度上的表现形式。书中会详细论证半可分离矩阵家族的闭合性，例如，如果一个矩阵是半可分离的，其逆矩阵或乘积是否仍然保持这种结构。这部分理论分析为后续算法的构造提供了严谨的数学依据。 2. 递归结构与矩阵表示 半可分离矩阵的一个核心特点是其内在的递归结构，这允许它们被紧凑地存储和高效地操作。本书将详细介绍如何利用这些递归性质，通过一系列低秩修正或“因子”来表示一个大的半可分离矩阵，这种表示比传统的稠密存储方式节省了大量的内存和计算资源。对两类主要的半可分离结构——上、下半可分离矩阵的表示法进行了清晰的区分和比较。 3. 矩阵运算的效率提升 基于紧凑的半可分离表示，本书展示了如何对标准矩阵运算进行加速。 矩阵向量乘法： 阐述了如何利用矩阵的分解形式，将通常需要 $O(N^2)$ 时间的矩阵向量乘法，降维至 $O(N)$ 甚至更优的复杂度。 矩阵乘法： 讨论了两个半可分离矩阵相乘后的结构保持性，以及如何通过高效的低秩合并算法实现快速的矩阵乘法。 求逆与分解： 重点分析了半可分离矩阵的 $LU$ 或 $QR$ 分解如何仅涉及低秩修正，从而避免了对整个矩阵的稠密操作，显著提升了分解的速度和内存效率。 第三部分：半可分离矩阵在特定问题中的应用 本部分将理论与应用紧密结合，展示了半可分离矩阵结构在解决实际工程和科学问题中的巨大潜力。 1. 特征值问题的求解：基于低秩逼近 对于半可分离矩阵，其特征值问题可以通过更有效的方式求解。书中探讨了如何利用半可分离结构来简化 $Hessenberg$ 矩阵的计算，从而加速传统的 $QR$ 迭代算法。通过在迭代过程中维护矩阵的半可分离性，可以极大地减少每一步 $QR$ 迭代的计算量，使得求解大规模半可分离矩阵的特征值问题在计算上可行。 2. 边界元方法（BEM）中的关联 在边界元方法中，通常会产生大型、结构高度规律的矩阵。本书将展示如何将这些 BEM 矩阵有效地映射或逼近为半可分离矩阵。通过这种映射，原本需要昂贵计算的积分方程求解过程，可以转化为利用高效的半可分离算法进行操作，极大地提高了 BEM 在大规模几何问题中的实用性。 3. 动态系统与微分方程的求解 在处理常微分方程组或偏微分方程的离散化时，有时会生成具有特定带宽或接近于半可分离特性的系统矩阵。本书将详细分析如何识别和利用这些结构，例如，在某些时间积分方案中，时间步长所产生的矩阵可以被视为具有某种形式的半可分离性，从而实现高效的积分过程。 总结 《Matrix Computations and Semiseparable Matrices》不仅是一本关于算法的书，更是一本关于如何通过洞察矩阵的内在结构来优化计算性能的指南。它为读者提供了从基础理论到前沿应用的全景图，强调了在计算科学中，结构信息是实现突破性效率提升的关键。本书的深度和广度确保了其作为高级参考资料的价值。

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