Partial Differential Equations: pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Society for Industrial & Applied

作者:Mark S. Gockenbach

出品人:

页数:614

译者:

出版时间:2002-10-01

价格:645.00 元

装帧:HRD

isbn号码:9780898715187

丛书系列:

图书标签:

偏微分方程
数学分析
数值分析
高等数学
应用数学
工程数学
科学计算
微分方程
数学物理
PDE

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具体描述

This introductory text on partial differential equations is the first to integrate modern and classical techniques for solving PDEs at a level suitable for undergraduates. The author successfully complements the classical topic of Fourier series with modern finite element methods. The result is an up-to-date, powerful, and flexible approach to solving PDEs, which both faculty and students will find refreshing, challenging, and rewarding. Linear algebra is a key component of the text, providing a framework both for computing solutions and for understanding the theoretical basis of the methods. Although techniques are emphasized over theory, the methods are presented in a mathematically sound fashion to develop a strong foundation for further study. Numerous exercises and examples involve meaningful experiments with realistic physical parameters, allowing students to use physical intuition to understand the qualitative features of the solutions.

好的，这里为您创作一本名为《几何拓扑中的现代方法》的图书简介，其内容完全不涉及偏微分方程（Partial Differential Equations），并且力求详实、自然，避免任何技术化的、或具有AI特征的语言。 --- 《几何拓扑中的现代方法》内容简介：穿梭于高维空间与抽象结构之间本书旨在为数学研究者、高年级本科生和研究生提供一套全面而深入的现代几何拓扑学导论。我们摒弃了传统教材中对经典微分几何和代数拓扑的机械式罗列，转而采用一种更具内在联系和现代视角的方法，着重探讨这些领域如何相互渗透，并为解决当代物理学和纯数学中的核心问题提供了强有力的工具。全书的叙事线索围绕“结构与形变”展开，旨在揭示几何对象在不同尺度和视角下所展现出的内在不变性与可变性。本书的结构分为四个主要部分，层层递进，构建起一个坚实的知识框架：第一部分：流形基础与微分结构重述 (Foundations: Manifolds and Differential Structures Reconsidered) 本部分着重于重新审视流形的概念，但将其置于更广阔的微分几何背景之下。我们不仅仅停留在欧氏空间上的光滑映射，而是深入探讨微分形式的代数结构及其在流形上的外微分（Exterior Calculus）。关键在于，我们强调微分形式并非仅仅是积分的工具，它们本身构成了流形上的一个强大的代数对象——德拉姆上同调（de Rham Cohomology）。我们详细分析了切丛（Tangent Bundles）和上切丛（Cotangent Bundles）的几何意义，探讨了矢量场如何定义在这些丛上的截面。特别地，本章对可积性问题进行了细致的探讨，这为后续理解更复杂的几何结构（如辛结构和接触结构）奠定了必要的代数基础。我们引入了李括号（Lie Brackets）的内在定义，展示了它们如何反映出流形上矢量场之间的非对易性，这是深入理解李群和李代数的第一步。第二部分：度量、曲率与黎曼几何的深化 (Metrics, Curvature, and Deep Dives into Riemannian Geometry) 在扎实掌握微分形式的基础上，本部分开始引入黎曼度量（Riemannian Metric）。我们不满足于仅仅定义距离和角度，而是将重点放在联络（Connections）的概念上。列维-奇维塔联络（Levi-Civita Connection）的唯一性证明被放在一个更具几何直觉的位置，强调其与度量兼容性的关联。本书对曲率张量（Curvature Tensors）的讨论具有独特的视角。黎曼曲率被视为度量在小邻域内“不平坦”程度的精确测量。我们详细解析了截面曲率（Sectional Curvature）、里奇曲率（Ricci Curvature）以及斯卡拉曲率（Scalar Curvature）的几何含义，并讨论了它们在调和映射理论和极小曲面理论中的作用。高潮部分在于对测地线（Geodesics）的分析。我们使用变分法从能量泛函的角度出发，严格推导出测地线方程，并探讨了庞加莱-霍普夫定理（Poincaré-Hopf Theorem）的经典应用，展示了全局拓扑如何通过曲率的积分（如高斯-博内定理）被编码于局部几何之中。第三部分：拓扑不变量与代数工具的融合 (Topological Invariants and the Integration of Algebraic Tools) 这一部分是本书的核心创新所在，它无缝地将几何的直观性与代数拓扑的精确性结合起来。我们不再将代数拓扑视为一个孤立的理论，而是将其视为研究流形内在结构的强大“探针”。同调论（Homology Theory）的引入避免了繁琐的开集覆盖讨论，而是直接从链复形（Chain Complexes）出发，系统地构建了奇异同调（Singular Homology）。随后，我们展示了德拉姆上同调如何通过德拉姆定理（de Rham Theorem）与奇异上同调同构，这一连接揭示了光滑结构如何决定了其上微分形式的代数拓扑特征。此外，本书对纤维丛（Fiber Bundles）的概念进行了深入的探讨。从向量丛到主丛，我们详细分析了特征类（Characteristic Classes），特别是陈类（Chern Classes）和庞加莱对偶（Poincaré Duality）。这些类不仅是流形拓扑性质的代数标记，它们也直接与曲率形式相关联，进一步强化了几何与代数之间的深层联系。第四部分：现代应用前沿与结构演化 (Frontiers of Modern Applications and Structural Evolution) 最后一部分将理论推向了当代研究的前沿，展示了这些经典结构如何被用于解决更具挑战性的问题。我们重点介绍了辛几何（Symplectic Geometry），将其视为对经典力学相空间的数学描述。拉格朗日（Lagrangian）和哈密顿（Hamiltonian）系统的动力学被嵌入到辛流形上的李群作用中，特别是对李群（Lie Groups）和齐性空间（Homogeneous Spaces）的分析，揭示了对称性在几何结构中的核心作用。最后，我们探讨了模空间（Moduli Spaces）的概念，即“形状的空间”。通过分析某些几何对象的空间（如黎曼曲面的空间），我们展示了如何使用现代工具（如规范场理论的某些基础概念，但不深入其物理细节）来研究这些空间的拓扑结构。例如，如何通过泰希米勒理论（Teichmüller Theory）的基本思想来理解曲率能量的极小化问题，以及这如何与流形上的某些拓扑同胚类相关联。全书配有大量精心设计的图示和原创性习题，旨在培养读者构建三维几何直觉，并将其推广到更高维度抽象空间的能力。目标读者将获得一个强大而灵活的数学工具箱，足以应对现代几何、拓扑及理论物理中遇到的复杂结构性挑战。