Lagrangian Reduction by Stages pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Amer Mathematical Society

作者:Cendra, Hernan/ Marsden, Jerrold E./ Ratiu, Tudor S.

出品人:

页数:108

译者:

出版时间:

价格:49

装帧:Pap

isbn号码:9780821827154

丛书系列:

图书标签:

• Lagrangian mechanics
• Reduction theory
• Geometric mechanics
• Dynamical systems
• Symmetry
• Integrable systems
• Nonlinear dynamics
• Stage reduction
• Lie groups
• Poisson geometry

好的，这是一份关于一本假设的、不包含“Lagrangian Reduction by Stages”内容的图书简介，旨在详细阐述其核心主题和结构。 --- 书名：动力系统中的对称性、拓扑与几何 图书简介 本书深入探讨了现代数学物理中几个相互关联且至关重要的领域：动力系统的几何结构、对称性理论在这些系统中的应用，以及由此产生的拓扑和代数特性。本书的叙述从基础概念出发，逐步深入到前沿的研究课题，旨在为数学、理论物理和工程领域的读者提供一个全面而扎实的理解框架。 第一部分：基础框架与几何背景 本书的第一部分致力于构建理解动力系统几何性质所需的数学基础。我们从微分流形理论的复习开始，重点关注李群、李代数及其在描述系统对称性中的作用。核心内容包括对微分形式、李导数、泊松括号（Poisson Brackets）的详细阐述，为后续引入拉格朗日和哈密顿结构做铺垫。 我们将详细介绍辛几何（Symplectic Geometry）的基础。辛流形的概念是理解保守系统和可积系统几何结构的关键。书中清晰界定了辛形式、辛结构的存在性以及辛流形上的李群作用。重点讨论了如何利用辛结构来构造哈密顿向量场，并探讨了这些向量场在流形上的演化行为。 第二部分：对称性与不变量 本部分的核心在于对称性在动力系统中的作用。对称性不仅简化了问题的研究，更直接导向了守恒量和可积性的识别。我们将深入研究诺特定理（Noether’s Theorem）在经典力学和场论中的推广应用，强调如何从连续对称性中提取守恒量。 随后，本书转向更专业的对称性结构——李群作用下的动力系统。我们将详细分析李群作用下不变子流形的性质，以及如何利用李代数的结构（如卡西米尔算子 Casimir Operators）来确定系统的守恒量。对李代数上函数的对合（Adjoint Operator）及其在系统动力学中的角色进行了深入分析。这部分内容强调了群作用如何将复杂的动力学问题分解为更易处理的子空间上的问题。 第三部分：哈密顿系统的几何结构与演化 本部分是本书的中心，专注于哈密顿系统的几何表述。我们首先回顾了辛流形上的哈密顿向量场，并详细分析了指数映射（Exponential Map）在辛流形上的性质，这对于理解系统的演化至关重要。 接下来的章节深入探讨了可积性（Integrability）的概念。我们将从刘维尔可积性（Liouville Integrability）的经典定义出发，转向更现代的几何视角，例如 KAM 理论（Kolmogorov–Arnold–Moser Theory）在几何空间中的体现。本书探讨了辛流形上的正则摄动（Regular Perturbation）方法，以及在小扰动下系统如何从完全可积向混沌转变的过程。 特别地，本书探讨了正则化方法（Regularization Procedures）在处理奇点和非线性现象中的应用。我们将分析在特定约束下，如何通过几何手段来“平滑化”系统的动力学，而非简单地求解方程。这包括对特定类型约束流形（Constraint Manifolds）的研究，例如在李群或齐性空间（Homogeneous Spaces）上定义的动力学。 第四部分：拓扑与拓扑不变量 动力系统的长期行为往往由其拓扑特性决定。本书的第四部分将对称性、几何与拓扑不变量联系起来。我们将讨论流形上的流（Flow）的拓扑性质，例如吸引子、极限环和准周期运动的拓扑特征。 重点内容包括对同调论（Homology Theory）在动力系统中的应用，特别是利用代数拓扑工具来区分不同的动力学行为。我们将分析在对称性作用下，流形上的不动点和周期轨道如何通过拓扑方法进行分类。例如，如何利用纤维丛理论来理解向量场在某些特定流形上的全局性质。 此外，本书探讨了拓扑共轭（Topological Conjugacy）的概念，并讨论了如何通过寻找拓扑不变量来判断两个动力系统是否等价。这部分内容强调了尽管系统的具体解可能复杂多变，但其根本的拓扑结构是保持不变的。 第五部分：应用与展望 最后一部分将理论知识应用于具体的物理和几何模型中。我们将探讨非线性波的动力学、刚体运动以及受对称性约束的场论模型。通过具体实例，读者可以更好地理解本所介绍的几何工具的实际效力。 本书的结论部分展望了当前研究的前沿，包括量子化（Quantization）的几何方法，例如几何量子化（Geometric Quantization）如何将经典的辛结构提升到量子力学框架，以及在非交换几何（Noncommutative Geometry）中，对称性和动力学如何得到新的诠释。 目标读者 本书适合具有扎实的微积分、线性代数和基础微分几何背景的研究生、博士后以及对理论物理和先进数学方法感兴趣的研究人员。它并非一本入门教材，而是旨在深入挖掘现代动力学几何结构与对称性理论之间深刻联系的深度专著。全书的叙述风格严谨，注重数学细节的严密性，同时力求清晰地阐明物理直觉与数学形式之间的桥梁。 ---

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