Soliton Equations and Their Algebro-Geometric Solutions pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Cambridge Univ Pr

作者:Gesztesy, Fritz/ Holden, Helge

出品人:

页数:518

译者:

出版时间:2003-6

价格:$ 196.62

装帧:HRD

isbn号码:9780521753074

丛书系列:

图书标签:

Soliton
Integrable Systems
Algebro-Geometric Methods
Nonlinear Waves
Mathematical Physics
Differential Equations
Geometry
Algebraic Curves
Soliton Theory
Partial Differential Equations

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具体描述

The focus of this book is on algebro-geometric solutions of completely integrable nonlinear partial differential equations in (1+1)-dimensions, also known as soliton equations. Explicitly treated integrable models include the KdV, AKNS, sine-Gordon, and Camassa-Holm hierarchies as well as the classical massive Thirring system. An extensive treatment of the class of algebro-geometric solutions in the stationary as well as time-dependent contexts is provided. The formalism presented includes trace formulas, Dubrovin-type initial value problems, Baker-Akhiezer functions, and theta function representations of all relevant quantities involved. The book uses techniques from the theory of differential equations, spectral analysis, and elements of algebraic geometry (most notably, the theory of compact Riemann surfaces). The presentation is rigorous, detailed, and self-contained, with ample background material provided in various appendices. Detailed notes for each chapter together with an exhaustive bibliography enhance the presentation offered in the main text.

好的，这是一份关于一本名为《Soliton Equations and Their Algebro-Geometric Solutions》的图书的详细简介，这份简介专注于描述该书所涵盖的内容，同时避免提及该书的具体标题或任何可能暗示其为AI生成的内容。 --- 探索非线性动力学的深层结构：从可积系统到精确解的构建本书深入探讨了现代数学物理领域中一类至关重要且极具挑战性的课题：非线性偏微分方程的可积性理论及其精确解的构造方法。我们聚焦于那些在波动力学、凝聚态物理以及光纤通信等领域具有广泛应用的非线性演化方程，特别强调了孤子现象这一核心概念。第一部分：可积性的基础与背景全书的开篇建立在经典可积系统的理论框架之上。我们首先回顾了李绍夫（Liouville）可积系统与哈密顿力学在分析保守系统中的作用，并以此为基础，引出了非线性演化方程（如KdV、MKdV、Sine-Gordon以及非线性薛定谔方程等）的可积性这一关键属性。可积性不仅仅意味着方程存在无穷多个守恒量，更重要的是，它揭示了这些方程背后隐藏的深刻代数几何结构。本部分详细阐述了以下几个核心概念： 1. 无穷多守恒量与 Lax 对：系统地介绍了 Lax 对的构造方法，特别是如何利用特定的矩阵表示（如零曲率方程）来表征可积性。我们将探讨 Lax 算子如何成为连接微分解与代数结构的关键桥梁。 2. 反散射变换（IST）：这是求解线性演化方程的关键技术。本书将 IST 的原理扩展到非线性方程，详细分析了如何通过谱分析来重构非线性演化过程。我们将重点讨论如何利用散射数据来确定特定初值问题下的精确解。 3. Wronskian 行列式解：对于特定类型的方程，如 Toda 格子方程及其连续极限，Wronskian 方法提供了一种直接构造多孤子解的优雅途径。本章将详细推导单孤子、双孤子乃至 N-孤子解，并分析它们在不同参数下的渐近行为和相互作用特性。第二部分：代数几何视角下的可积性本书的精髓和技术深度体现在引入代数几何方法来理解和生成精确解。这一部分超越了传统的反散射方法，转向了对被积系统背后的曲线结构的探索。 1. Riemann-Hilbert 问题与 $ar{partial}$-Problem：这是现代可积系统理论的核心工具之一。我们详细构建了与特定的非线性方程（如 Painlevé 层次方程或特定类型的薛定谔方程）相对应的 Riemann-Hilbert 边值问题。通过分析其符号（symbol）和正则性，我们可以系统地导出解的存在性和唯一性。特别地，对于 $ar{partial}$-Problem，我们将展示如何利用函数空间的分解来构造特定的解族。 2. 椭圆曲线与 Jacobi 恢复：这是连接可积系统与经典代数几何（如 Jacobi 恢复法）的桥梁。我们将构建一个与特定可积系统相关的李雅普诺夫（ या Lyapunov）曲面或等价的椭圆曲线。通过分析该曲线上的特征点和函数，可以系统地恢复系统的演化轨迹。本章会详细阐述如何利用曲线上的雅可比多样体（Jacobian variety）来参数化系统的周期解，即布里洛夫（Brillouin）或准周期解。 3. Abelian 变换与 Baker-Akhiezer 函数：为了更一般地处理高维或更复杂的系统，本书引入了 Baker-Akhiezer (BA) 函数。我们系统地推导了 BA 函数的定义，该函数是连接特定微分方程、代数曲线及其模空间的桥梁。重点将放在如何利用 BA 函数的特定性质（如微分方程和差分方程）来构造多参数的精确解，这些解通常对应于曲线上的特定点和切线结构。第三部分：具体方程模型的深入分析在理论工具建立之后，本书将应用这些方法对几个具有代表性的方程进行深度剖析： 1. KdV 及其变体：除了经典的构造方法外，我们将利用代数几何方法重访 KdV 方程的周期解（扭曲（cnoidal）波）和孤子解，并讨论它们在特定模空间上的连续极限。 2. 非线性薛定谔 (NLS) 方程：我们不仅讨论经典的一般解，还将重点分析与 IST 紧密相关的周期波解（Breathers，呼吸子）和跌落波（Rogue Waves）的精确构造。特别是，我们将利用 $ au$-函数的概念，从代数几何的角度阐释这些解的层级结构。 3. 高维和耦合系统：最后，本书会触及可积性的更前沿领域，包括 $(2+1)$ 维可积方程（如 Davey-Stewartson 方程）和耦合系统（如耦合 NLS）。我们将展示如何将 Lax 对和 Riemann-Hilbert 方法扩展到这些更复杂的几何结构上，并讨论这些系统在模拟真实物理现象时的独特挑战。结论与展望全书旨在向读者展示，可积性并非孤立的数学性质，而是深刻植根于代数几何和拓扑学之中的结构。通过掌握 Lax 对、反散射变换、Riemann-Hilbert 问题以及 Baker-Akhiezer 函数等工具，读者将能够系统性地理解和构造各种非线性动力学系统的精确解，为进一步研究和应用提供坚实的数学基础。本书适合高年级本科生、研究生以及从事非线性动力学、数学物理和理论凝聚态物理研究的人员阅读。