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出版者:Cambridge University Press

作者:Thomas A. Garrity

出品人:

页数:376

译者:

出版时间:2002-1-17

价格:GBP 67.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780521792851

丛书系列:

图书标签:

数学
计算科学
数学史
数学普及
数学基础
数学概念
填坑
自学
高等数学
微积分
线性代数
离散数学

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具体描述

Beginning graduate students in mathematics and other quantitative subjects are expected to have a daunting breadth of mathematical knowledge. But few have such a background. This 2002 book will help students to see the broad outline of mathematics and to fill in the gaps in their knowledge. The author explains the basic points and a few key results of all the most important undergraduate topics in mathematics, emphasizing the intuitions behind the subject. The topics include linear algebra, vector calculus, differential geometry, real analysis, point-set topology, probability, complex analysis, abstract algebra, and more. An annotated bibliography then offers a guide to further reading and to more rigorous foundations. This book will be an essential resource for advanced undergraduate and beginning graduate students in mathematics, the physical sciences, engineering, computer science, statistics, and economics who need to quickly learn some serious mathematics.

《代数几何的深层探索：从经典到前沿》本书聚焦于代数几何这一深邃且充满活力的数学分支，旨在为读者提供一个全面且深入的视角，涵盖从奠基性的经典理论到最新的研究进展。我们避免了对初等微积分和基础线性代数的简单重复，而是直接切入代数几何的核心概念，构建一个严谨且富有洞察力的知识体系。第一部分：基础与古典视角的回溯与深化本部分旨在巩固读者对代数几何核心对象的理解，并将其置于更广阔的数学背景中。我们不会停留在多项式方程解集的初级描述，而是着重探讨射影空间的结构及其代数拓扑意义。第一章：簇的定义与拓扑结构我们从对仿射簇的精确定义开始，重点讨论由理想 $I subset K[x_1, dots, x_n]$ 定义的零点集 $V(I)$。随后，引入希尔伯特零点定理作为连接代数（理想）与几何（簇）的桥梁。本书的核心在于对射影空间 $mathbb{P}^n$ 的深入剖析，探讨其紧致性及其与仿射空间的自然嵌入关系。读者将学习如何使用齐次坐标来处理无穷远点，并理解射影几何在处理退化情况时的优越性。拓扑方面，我们将初步探讨Zariski 拓扑的性质——其粗糙性与对传统拓扑概念（如开集、闭集）的深刻影响，并对比其与欧几里得拓扑的本质区别。第二章：理想与坐标环的对偶性此章是理解代数几何“代数化”的关键。我们详细考察坐标环 $A(V)$，即 $K[x_1, dots, x_n]/I(V)$，并阐明其在编码簇的几何性质方面的作用。重点讨论诺特环的概念及其在代数几何中的核心地位，解释为何代数几何的“好”对象通常对应于诺特定理所保证的有限生成性。我们将深入分析素理想如何对应于不可约闭子集，以及极大理想与点之间的关系。此外，对局部化这一代数工具的引入，为后续理解奇点和光滑性奠定了基础。我们探讨如何通过局部环 $A(V)_P$ 来研究簇在特定点 $P$ 处的局部行为。第三部分：概形论的基石——从环到空间本书的核心创新性在于，我们不将概形视为一个抽象的终点，而是将其视为解决古典代数几何中“非局部化”问题和“非代数闭域”问题的必然工具。第三章：预层、层与拓扑空间的重构在正式定义概形之前，我们必须理解层（Sheaf）的概念。本书将使用更具构造性的方法来介绍预层，并详细阐述“限制映射”（restriction maps）和“上交”公理（sheaf axioms）。我们将以结构层 $O_X$ 为例，展示层如何“粘合”局部信息以重构全局结构。读者将理解，为什么传统的 Zariski 拓扑不足以捕捉所有需要的几何信息，层论提供了一种更精细的“探针”。第四章：环谱的构建与概形的定义本书将详细构造环谱 $mathrm{Spec}(R)$，并精确阐明其上的结构层 $O_{mathrm{Spec}(R)}$。我们着重解释素理想为何成为 $mathrm{Spec}(R)$ 中的“点”，以及开集如何由能被某个元素 $f in R$ 局部化的素理想构成（即齐次开集）。接着，我们将概形的定义推广到局部环化空间 $(X, mathcal{O}_X)$，强调其相对于 $mathrm{Spec}$ 的普适性。本书对拟局部概形 (Locally}) 和特征零域上的代数几何进行了细致的区分，确保读者理解从数域 $K$ 上的簇到 $mathbb{Z}$ 上的环谱的飞跃所带来的深刻影响——即算术几何的萌芽。第五章：态射与图格的建立概形的几何结构需要一种方式来描述它们之间的联系。我们精确定义态射 $phi: X o Y$，并展示其如何通过环同态 $f^ : mathcal{O}_Y o phi_ mathcal{O}_X$ 来诱导。我们将重点分析谱射 (Morphisms of Schemes) 的具体例子：例如，从 $mathrm{Spec}(mathbb{Z})$ 到 $mathrm{Spec}(K)$ 的态射（即“模 $p$ 结构”的根源），以及开浸入 (Open Immersion) 和闭浸入 (Closed Immersion) 在概形范畴中的精确意义。本章将强调态射的局部性和万有性，并引入纤维积 (Fiber Product) 在几何上对“交集”的推广。第三部分：光滑性、维度与奇点理论的进阶本部分将视角转向对簇的“光滑”性质的代数描述，以及度量空间“大小”的代数方法。第六章：维度的代数解释与积分闭包我们摆脱对 $mathbb{R}^n$ 中直观维度的依赖，转而采用Krull 维度的定义——最长素理想链的长度。我们将证明 $mathrm{Spec}(R)$ 的 Krull 维度与其“经典”维度之间的联系（尤其是在域上的情形）。深入探讨整性 (Integrality) 的概念，定义积分闭包 (Integral Closure)，并阐明对于整环，其维度与素理想链的关系的特殊性。第七章：光滑点与正规化奇点是研究代数几何几何复杂性的关键。本书不直接使用微积分中的偏导数来定义奇点，而是采用正规化 (Regularity) 的代数条件。我们将定义切空间 $T_P(X)$，并阐明一个点 $P$ 是光滑的，当且仅当局部环 $mathcal{O}_{X,P}$ 是一个正则局部环 (Regular Local Ring)。我们将介绍正规性的概念，并解释为何正则环是整环的局部化，而整环是它们的积分闭包——这一链条揭示了代数几何对“正则性”的层次化理解。第八章：相交理论的初步——陈类与数论的交汇我们对相交理论进行初步的介绍，但侧重于其在向量丛理论中的代数体现。我们将引入商空间的概念，以及外代数 (Exterior Algebra) 和对称代数 (Symmetric Algebra) 如何应用于研究向量空间上的结构。本章将触及陈类 (Chern Classes) 的代数定义，并讨论如何使用邱奇-韦伊对偶 (Chow-Weil Duality) 的思想来研究代数循环（Algebraic Cycles）的线性等价性，为读者通往更高级的交点论打下坚实的代数基础。本书的特点在于：强调层论在构建几何直觉中的不可替代性，将代数工具（如局部化、环谱）置于解决具体几何问题的背景下进行阐述，并系统地引导读者跨越从经典代数几何到现代概形理论的思维鸿沟，而不纠缠于线性代数或微积分的繁复细节。