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出版者:Brooks Cole

作者:Susanna S. Epp

出品人:

页数:928

译者:

出版时间:2003-12-22

价格:USD 249.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780534359454

丛书系列:

图书标签:

• 离散数学
• 教科书
• 离散数学
• 数学基础
• 计算机科学
• 算法
• 逻辑
• 集合论
• 图论
• 组合数学
• 数理逻辑
• 离散结构

数学基础与逻辑思维的基石：一套面向应用领域的严谨指南 本书旨在为理工科、计算机科学、经济学等需要扎实数学基础和严密逻辑推理能力的读者，提供一套全面、深入且极具实践指导意义的教材。我们聚焦于构建学习者坚实的数学思维框架，强调理论概念与实际问题解决之间的桥梁搭建。 第一部分：离散结构与基础代数 本部分奠定了离散数学的基石，重点在于对有限集合、关系及运算的精确描述和分析。 第一章：集合论与命题逻辑 集合的严谨定义与运算： 深入探讨集合的扩张性定义、幂集、笛卡尔积等核心概念。着重于使用集合论语言来形式化描述现实世界中的对象和关系。 命题演算基础： 详尽介绍命题、连接词（如合取、析取、蕴含、双条件）的真值表和逻辑等价性。重点训练读者识别谬误、构建有效论证的能力。 谓词逻辑与量词： 引入个体、谓词和量词（全称量词 $forall$ 和存在量词 $exists$）。通过大量实例，展示如何使用谓词逻辑精确表达复杂的自然语言陈述，并进行逻辑推理。 推理规则与证明的初步探索： 介绍基本的推理规则，如肯定前件、否定后件等，并初步接触直接证明、反证法等基础证明技巧。 第二章：关系、函数与计数原理的数学建模 二元关系： 详细分析关系的性质（自反性、对称性、传递性、反对称性）。重点讲解等价关系（及其商集）和偏序关系（Hasse图的应用）。 函数与映射： 区分单射、满射和双射。探讨这些性质在编码、密码学和数据结构中的意义。 基本计数原理： 深入讲解乘法原理、加法原理。重点区分排列（Permutations）和组合（Combinations），引入带重复和不带重复的情景分析。 鸽巢原理（Pigeonhole Principle）： 阐述其强大的一般形式和推论，并展示其在存在性证明中的关键作用。 第二部分：代数结构与组合爆炸 本部分转向更抽象的代数结构，并引入生成函数和递归关系来分析序列的增长和复杂性。 第三章：代数结构入门 群论基础： 引入代数系统、封闭性、结合律、单位元和逆元。重点解析有限群的性质，如子群、拉格朗日定理的初步应用。 环与域的介绍（面向应用）： 简要介绍环和域的概念，强调它们在特定代数结构（如模运算）中的重要性，为后续的编码理论打下基础。 布尔代数与逻辑电路： 将集合论的并、交、补操作与逻辑运算联系起来。详细介绍布尔代数的公理体系，并展示其在简化逻辑电路和数据库查询中的应用。 第四章：递归关系与生成函数 递推关系的建立： 分析如何将实际问题（如分治算法、金融增长模型）转化为线性齐次或非齐次递推关系。 求解线性递推关系： 系统讲解特征方程法，用于求解具有常数系数的二阶及更高阶递推关系。 普通生成函数（OGF）： 介绍生成函数的构造方法，特别是如何利用已知的级数展开式（如几何级数、二项式级数）来求解组合问题。 指数生成函数（EGF）： 讨论其在处理标记问题和排列组合中的优势，特别是在涉及元素顺序的场景。 第三部分：图论与网络分析 图论是现代离散数学中应用最广泛的分支。本部分致力于提供一个结构化的图论学习路径，强调算法应用。 第五章：图的基础理论 图的表示与类型： 详尽定义图、多重图、有向图与无向图。讨论邻接矩阵、关联矩阵等表示方法及其计算效率。 图的连通性与路径： 深入分析路径、回路、连通分量、割点和桥。介绍欧拉路径与哈密顿路径的存在性判据。 树（Trees）： 详细研究树的性质，特别是无环连通图的特性。重点讲解广度优先搜索（BFS）和深度优先搜索（DFS）算法。 生成树与最小生成树（MST）： 阐述最小生成树的概念。详细实现和比较Prim算法与Kruskal算法，并分析其在网络构建成本优化中的应用。 第六章：图的着色、平面图与网络流 图的着色问题： 介绍图的色数（Chromatic Number）的概念。讨论四色定理的背景与意义。分析图着色在调度、资源分配中的实际应用。 平面图理论： 定义平面图及其嵌入。介绍欧拉公式（$v - e + f = 2$）及其推论，并利用它来证明某些图（如$K_5, K_{3,3}$）不是平面图。 网络流与最大流-最小割定理： 引入容量、流的概念。重点讲解Ford-Fulkerson算法，以及最大流与最小割之间的对偶关系，展示其在运输、匹配问题中的威力。 第四部分：高级主题与应用延伸 本部分探讨离散数学在现代计算科学中的交叉应用。 第七章：算法复杂度与可计算性 大$O$ 记法： 建立分析算法效率的数学工具。精确定义 $O, Omega, Theta$ 符号，并分析常见排序和搜索算法的时间复杂度。 图论算法的复杂度： 结合前面学习的图算法（如最短路径、MST），对比不同算法的渐进复杂度。 有限自动机与形式语言： 简要介绍有限状态机（FSM）的概念，区分确定性（DFA）和非确定性（NFA）。说明它们在词法分析和正则表达式匹配中的基础作用。 第八章：数论在离散结构中的应用 模运算（Modular Arithmetic）： 深入研究同余关系、模的性质。这是后续所有应用的基础。 扩展的欧几里得算法与模逆元： 详细介绍如何使用扩展欧几里得算法计算模逆元，并解释其在RSA加密算法中的核心地位。 中国剩余定理（CRT）： 阐述其原理和求解方法，展示如何将一个大模数上的运算分解为多个小模数上的并行运算。 全书贯穿了从基础逻辑到高级结构分析的完整脉络，力求通过大量的习题和与计算机科学、工程学相关的案例研究，确保读者不仅掌握“如何做”，更能理解“为什么”。本书的结构设计旨在培养读者将复杂的现实问题抽象为离散数学模型的能力，是未来高阶课程学习和实际工程问题解决的坚实基础。

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这本书写的很好！最大的特点是作者在几乎每一个章节都引用了丰富的实际案例来阐明数学理论。我最喜欢RSA算法那一章，写得很精彩，图灵停机问题写的也很精彩。不过和Rosen的那本相比，epp的这本知识稍微潜了一点，对初学者来说很好。

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