Lebesgue's Theory of Integration pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Amer Mathematical Society

作者:Thomas Hawkins

出品人:

页数:227

译者:

出版时间:2001-9

价格:USD 39.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780821829639

丛书系列:AMS Chelsea Publishing

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数学分析的基石：测度与积分的探索之旅 本书将带领读者深入探究数学分析中两个至关重要的概念：测度与积分。我们将从最基础的集合论概念出发，逐步构建起测度理论的宏伟框架，并最终抵达黎曼积分的局限性及其被勒贝格积分所超越的深刻原因。本书旨在为读者提供一个清晰、严谨且富有洞察力的视角，理解为何勒贝格测度与积分在现代数学中扮演着如此核心的角色，以及它们如何深刻地影响了概率论、泛函分析、偏微分方程等诸多数学分支。 第一部分：测度——量度的推广与精炼 在开始测度理论之前，我们必须先对“长度”、“面积”、“体积”等我们直观理解的“量”进行数学上的严格定义。本书将从实数轴上的区间开始，引入长度的概念。然而，我们很快会发现，仅仅依靠直观的几何概念是不足以支撑起一个完整的理论的。因此，我们将引入集合论作为理论的基石。 第一章：集合论基础与开集、闭集 我们将回顾集合论的基本概念，包括集合、子集、交集、并集、差集、补集以及幂集等。理解这些基本概念是后续内容的前提。接着，我们将聚焦于实数集合的拓扑性质，重点讨论开集和闭集的定义及其重要性质。开集和闭集在定义可测集的过程中起着至关重要的作用，它们构成了实数轴的拓扑结构，并为我们后续引入测度奠定了基础。我们将探讨开集和闭集的性质，例如可数并集和有限交集的运算封闭性，以及它们与点集拓扑的关系。 第二章：初识测度——长度、面积与体积的直观延展 在拥有了集合论的工具后，我们尝试将“长度”、“面积”、“体积”这些直观的度量概念推广到更一般的集合上。本书将首先讨论实数轴上区间的长度，以及如何将其自然地推广到满足一定性质的集合上。然而，我们很快会发现，并非任意集合都能够被赋予一个有意义的“长度”。例如，非理性的点集合的长度定义就存在困难。 第三章：外测度——为任意集合赋予“近似长度” 为了克服直接定义任意集合的测度的困难，我们引入了“外测度”的概念。外测度是一种将实数赋予实数集中的任意子集的方法，它满足非负性、单调性以及可数次可加性（但不是严格的可数可加性）。我们将学习如何通过“覆盖”一个集合的开区间的总长度来定义其外测度。外测度虽然不一定满足可数可加性，但它为我们定义真正意义上的“测度”提供了关键的中间步骤。我们将探讨外测度的性质，例如它与集合的“大小”之间的直观联系。 第四章：可测集——构建“可测量”世界的基石 并非所有的集合都可以被赋予一个一致且有意义的测度。可测集的引入，正是为了筛选出那些“行为良好”的集合，使得我们能够对其进行精确的度量。本书将详细介绍卡拉泰奥多里判准（Carathéodory criterion），这是定义可测集的核心工具。一个集合如果满足卡拉泰奥多里判准，那么它就是一个可测集，并且其外测度恰好满足可数可加性，此时我们就称其为该外测度的“测度”。我们将深入理解这个判准的意义，以及可测集所具有的“对称性”和“一致性”。我们将分析为什么满足这个判准的集合才能被赋予一个可靠的测度，并举例说明不可测集的存在性（虽然我们不会深入研究其构造，但理解其可能性至关重要）。 第五章：勒贝格测度——精炼的度量标准 在定义了可测集之后，我们便可以基于卡拉泰奥多里判准，构造出我们所期待的、满足可数可加性的测度。本书将聚焦于实数轴上的勒贝格测度。我们将学习如何构造勒贝格测度，并探讨其与区间长度之间的关系。勒贝格测度能够一致地为许多在黎曼积分理论中难以处理的集合赋予长度，这是其强大的核心优势。我们将详细阐述勒贝格测度的构造过程，并展示它如何克服了传统几何测度的一些内在缺陷。我们将讨论勒贝格测度的基本性质，例如其平移不变性、以及与开集、闭集、Gδ集、Fσ集之间的关系。 第六章：测度空间——抽象的测量框架 为了将测度理论推广到更一般的空间，我们引入了“测度空间”的概念。一个测度空间由一个集合、一个定义在该集合上的σ-代数（可测集族），以及一个在该σ-代数上定义的测度组成。σ-代数的引入是为了保证我们定义的测度在其上满足可数可加性，并构成一个封闭的代数结构。本书将详细阐述σ-代数的定义和重要性质，例如其对可数交集、可数并集和补集运算的封闭性。我们将学习如何从一个基本的可测集族生成一个σ-代数，以及 Borel σ-代数的概念。我们将讨论测度空间的公理化定义，并举例说明常见的测度空间，例如（R, B(R), m），其中 m 是勒贝格测度。 第二部分：积分——从黎曼到勒贝格的飞跃 有了测度理论的坚实基础，我们便可以开始构建更强大的积分概念。本书将首先回顾黎曼积分的定义及其局限性，然后深入探讨勒贝格积分的构造，并阐述其在处理更广泛的函数类以及在极限运算方面的优越性。 第七章：黎曼积分回顾与局限性 我们将简要回顾黎曼积分的定义，即通过对区间进行划分，用矩形面积的和来逼近函数的积分。我们将讨论黎曼可积函数的充要条件，即函数在有界区间上的不连续点集必须是测度为零的。然而，我们将指出黎曼积分在处理某些类型的函数，特别是那些在很多点上不连续但又不像“良性”函数那样具有零测度不连续点的函数时，会显得力不从心。例如，狄利克雷函数就是一个经典的例子，它在有理数点处为1，在无理数点处为0，尽管其不连续点集就是整个实数轴，但黎曼积分对其仍然无能为力。我们将通过具体的例子来说明黎曼积分的不足之处。 第八章：简单函数——勒贝格积分的起点 勒贝格积分的构造并非直接针对任意函数，而是从更简单的函数类型开始，逐步扩展。本书将引入“简单函数”的概念。简单函数是阶梯函数的一种推广，它只取有限个非负值，并且每个值在某个可测集上取到。我们将学习如何定义简单函数的积分，它仅仅是函数值乘以对应集合的测度之和。简单函数积分的定义相对直接，并且易于处理，为后续构建更复杂的积分奠定了基础。我们将深入理解简单函数的性质，以及如何将其表示为特征函数的线性组合。 第九章：非负函数积分——从简单函数到任意非负函数 将简单函数的积分概念推广到任意非负可测函数是勒贝格积分的核心思想之一。本书将采用“逼近”的策略：对于任意一个非负可测函数，我们都可以找到一个单调递增的简单函数序列，该序列逐点收敛于该函数。然后，我们定义该非负可测函数的勒贝格积分为这个简单函数序列的积分的极限。我们将深入理解这一逼近过程的意义，以及为何它能够给出一致且有意义的积分值。我们将详细阐述非负函数积分的定义，并探讨其基本性质，例如单调性。 第十章：一般函数的积分——从非负到任意 有了对非负函数的积分的理解，我们将进一步将其推广到任意实值或复值可测函数。任何可测函数都可以分解为其正部与负部之差。因此，我们可以通过分别定义其正部和负部的积分，然后相减来得到一般函数的勒贝格积分。本书将详细阐述这一分解过程，并定义一般函数的勒贝格积分。我们将讨论其定义中的“可积性”条件，即函数正部和负部的积分都必须有限。 第十一章：勒贝格积分的优越性——收敛定理 勒贝格积分最重要的优势之一在于其强大的“收敛定理”。这些定理使得我们在进行积分与极限的交换时，能够拥有更宽松的条件，极大地简化了数学分析的证明过程。本书将重点介绍以下几个核心收敛定理： 单调收敛定理 (Monotone Convergence Theorem - MCT)：如果一个非负可测函数序列单调递增收敛于一个函数，那么积分的极限等于极限的积分。 Fatou 引理 (Fatou's Lemma)：对于一个非负可测函数序列，其积分的下极限小于等于其极限的积分。 控制收敛定理 (Dominated Convergence Theorem - DCT)：如果一个可测函数序列依测度收敛于一个函数，并且存在一个可积函数，使得序列中的所有函数的绝对值都小于等于该可积函数，那么积分的极限等于极限的积分。 我们将深入理解这些定理的表述和证明，并展示它们如何使得我们在处理级数求和、积分变换等问题时，能够更加自由地交换积分和极限运算，这在很多数学证明中是至关重要的。我们将通过具体的例子来展示这些收敛定理的应用。 第十二章：Lp空间——函数分析的温床 勒贝格积分与测度理论共同催生了“Lp空间”的概念。Lp空间是具有特定可积性条件的函数组成的集合，它们构成了函数分析中研究的主要对象。本书将定义Lp空间，并探讨其重要的性质，例如完备性（Banach空间）和内积空间（当p=2时，即希尔伯特空间）。我们将理解Lp空间在泛函分析、概率论以及偏微分方程等领域中的重要作用。我们将讨论Lp范数的定义，以及不同p值下Lp空间的包含关系。 总结与展望 本书的最后一章将对勒贝格测度和积分的理论进行总结，并强调它们在现代数学中的深远影响。我们将回顾从黎曼积分到勒贝格积分的逻辑飞跃，以及测度理论如何为量化和分析复杂集合提供了统一而强大的框架。本书旨在培养读者对数学分析核心概念的深刻理解，并为进一步探索更高级的数学理论打下坚实的基础。我们将展望勒贝格理论在概率论、调和分析、数学物理等领域的应用前景，鼓励读者继续深入研究。 本书的编写力求严谨、清晰，并辅以丰富的例子，希望能让读者在掌握抽象的数学概念的同时，也能感受到其内在的逻辑美和应用价值。

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这本书的封面设计倒是挺吸引人的，采用了一种古典的蓝色调，中间镶嵌着一个抽象的几何图形，让人不禁联想到傅里叶分析中的某些复杂结构。初翻阅起来，文字排版清晰，字体选择也比较优雅，阅读体验尚可。不过，深入阅读后发现，作者在引言部分对“测度”这一核心概念的阐述显得有些过于跳跃和概括，对于一个初次接触这个领域的读者来说，可能会感到吃力。例如，他对集合代数的定义直接采用了公理化的方式，缺乏足够的直观例子来帮助理解为什么需要这样的结构。我期待作者能在后续章节中用更具启发性的语言来构建这个理论的基础，而不是仅仅罗列定义。另外，书中对勒贝格积分与黎曼积分的联系讨论得较为简洁，我更希望看到一些详细的、步步为棋的证明过程，展示积分从有限可加性到完全可加性的飞跃，这样才能真正体会到勒贝格理论的优越性所在。整体来看，这本书似乎更倾向于服务于已经有一定基础的数学系高年级学生或研究人员，而非作为初学者的入门教材。

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这本书的排版和印刷质量总体上令人满意，纸张的质地不错，不易反光，这对于长时间的阅读至关重要。然而，书中对一些关键定义的脚注处理得不够人性化。有时候一个重要的补充说明被放在了页脚，而相关的正文讨论却在十页开外，这使得阅读思路极易被打断。更让我感到困惑的是，书中对“测度扩张定理”（如Carathéodory定理）的阐述，显得有些过于依赖于已有的高级知识。定理的陈述和证明过程，似乎是直接从一篇严肃的数学论文中节选出来的，缺乏必要的铺垫和简化。对于那些不熟悉构造性证明技巧的读者，这段内容无异于天书。如果作者能用更具层级感的方式，先从有限可加测度开始，逐步引入极限过程来构造完全可加测度，那么这个定理的“神奇性”就会被大大削弱，取而代之的是清晰的逻辑推演。

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这本书的数学论证风格，坦白说，有些过于“干燥”了。它更像是一本给同行看的讲义，充满了严谨的符号推导，但鲜少有人文关怀。我特别关注了书中关于“单调收敛定理”和“有界收敛定理”的论证部分，它们被组织得非常紧凑。作者似乎假设读者已经完全熟悉了拓扑学和实分析中的基本收敛概念，因此，证明的每一步都省略了大量的中间思考过程。这使得我不得不频繁地停下来，在草稿纸上回溯这些“显然”的步骤。更让我感到不解的是，书中对测度空间构造的动机解释不足。为什么我们需要一个 $sigma$-代数？作者只是给出了定义，然后便开始在其上构造测度。这种“是什么”而非“为什么是这样”的叙述方式，削弱了理论的内在美感。一个好的教材，应该能让读者感受到数学家在构建理论时所经历的挣扎和顿悟，但这本书记载的更像是一份最终的、毫无瑕疵的蓝图，缺少了施工现场的烟火气。

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我花了很大精力去研究书中关于Lp空间收敛性的章节，发现这部分内容安排得比较得当，至少在结构上是严谨的。作者似乎对泛函分析的边界有所涉猎，章节的命名和内容的组织带有一种泛函分析的色彩，例如，将完备性作为一个独立的讨论点。然而，在处理诸如“几乎处处收敛”和“依概率收敛”这两种不同的收敛模式时，作者的处理略显保守。他只是给出了它们之间的关系，而没有深入探讨在实际应用中，例如概率论或者偏微分方程的解的理论中，为什么我们需要区分这两种收敛性，以及它们各自的应用场景的细微差别。此外，书中关于测度论在概率论中应用的例子非常稀少，这对于希望将抽象理论与具体应用相结合的读者来说，是一个明显的短板。我期待看到更多关于条件期望的测度论定义，或者利用勒贝格积分来处理随机变量积分的例子，而非仅仅停留在纯数学的证明层面。

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我特别留意了书中对“乘积测度”和Fubini定理的讨论。这部分是勒贝格积分理论中连接高维分析的关键。作者在这个部分的处理上，显得尤为简洁。他对Fubini定理的陈述非常正式，直接给出了双重积分和迭代积分相等的条件和结论。但问题在于，他几乎没有提供任何直观的几何图像来辅助理解——比如，如何将一个三维的体积通过切片积分（迭代积分）来计算，以及为什么这种切片操作在勒贝格积分的框架下是合法的。这种纯粹的符号游戏，虽然在逻辑上无懈可击，却使得读者难以形成关于高维积分的直观图像。这本书更像是一部工具手册，精确地告诉使用者每个工具的功能，但没有教会使用者如何运用这些工具去“建造”实际的数学结构。对于希望通过阅读这本书来增强对多变量微积分中积分概念理解的读者来说，这本书的帮助可能有限，因为它更侧重于构建一个自洽的测度论体系，而不是拓宽积分理论的应用边界。

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