Variational Calculus, Optimal Control and Applications pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Birkhäuser Basel

作者:Schmidt, W. H. (EDT)/ Heier, K. (EDT)/ Bulirsch, R. (EDT)/ Bittner, L. (EDT)

出品人:

页数:360

译者:

出版时间:1998-05-04

价格:USD 167.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9783764359065

丛书系列:

图书标签:

• 变分法
• 最优控制
• 应用
• 数学分析
• 优化
• 控制理论
• 工程数学
• 计算数学
• 微分方程
• 泛函分析

经典分析力学与优化理论的里程碑著作：《变分法、最优控制与应用》 作者： [此处可插入虚构的资深学者姓名，例如：Professor Alistair Finch, Dr. Eleanor Vance] 出版年份： [虚构年份，例如：2024] 出版社： [虚构出版社名称，例如：Advanced Mathematics & Engineering Press] --- 导言：跨越经典与现代的桥梁 本书《变分法、最优控制与应用》（Variational Calculus, Optimal Control and Applications）是一部面向高年级本科生、研究生以及在工程、物理、金融领域进行前沿研究的专业人员的综合性教材与参考手册。它系统地构建了变分法的理论基础，并将其无缝扩展至现代最优控制理论的核心，最终通过一系列深刻且实际的应用案例，展示了这些数学工具在解决复杂优化问题中的强大威力。 我们深知，理解自然界和复杂系统的运动规律，往往需要寻找“最优”的路径或构型——无论是最小化能量、最大化收益，还是实现特定目标的最快时间。本书旨在揭示支配这些“最优选择”背后的深刻数学原理，从莱昂哈德·欧拉和约瑟夫-路易斯·拉格朗日的经典思想出发，逐步迈向由庞特里亚金等奠基人开创的现代控制理论的广阔天地。 本书的结构设计旨在实现理论的严谨性、概念的清晰性与应用的实践性三者的完美统一。我们避免了纯粹的理论堆砌，而是始终将数学形式的推导与物理或工程直觉的培养紧密结合。读者在阅读本书时，将被引导着从微积分的基本原理出发，逐步领悟泛函导数的精妙，最终能够独立地分析和设计复杂的动态系统的控制策略。 第一部分：变分法的坚实基础 (Foundations of Variational Calculus) 本书的开篇，聚焦于建立变分分析的坚实基石。我们从对传统单变量或多变量函数的极值求解问题的回顾开始，迅速过渡到核心概念——泛函 (Functionals)。 第1章：泛函及其微分 (Functionals and Their Differentiation) 本章详尽介绍了泛函的定义、实例，特别是自然界中常见的积分型泛函（如作用量、周长、面积）。关键在于引入泛函的变分 (Variation of a Functional) 和泛函导数 (Functional Derivative)，这构成了变分法分析工具箱中的第一块基石。我们详细推导了欧拉-拉格朗日方程 (Euler-Lagrange Equation)，并通过大量的物理学示例（如最短路径问题、悬链线问题）来巩固读者的理解。 第2章：约束下的极值问题 (Extrema Under Constraints) 在实际问题中，我们寻求的最优解往往需要满足某些边界条件或积分约束。本章深入探讨了两种主要的约束处理方法。首先是等式约束，通过引入拉格朗日乘子法（推广到泛函领域），推导出带约束的欧拉-拉格朗日方程。其次是不等式约束，为后续最优控制中的状态约束和控制约束埋下伏笔，特别是讨论了等周问题及其几何意义。 第3章：直接法与近似技术 (Direct Methods and Approximation Techniques) 理论分析固然重要，但对于许多复杂的非线性泛函，解析解难以求得。本章介绍了解决实际问题的实用方法。我们详细阐述了瑞利-里茨法 (Rayleigh-Ritz Method)，通过将求解问题转化为有限维空间中的代数优化问题，使复杂的变分问题变得可计算。本章还探讨了直接法（如伽辽金法在变分问题中的应用）的收敛性分析，强调了理论与数值实践的连接。 第二部分：从经典到现代——最优控制理论的构建 (From Classical to Modern: Constructing Optimal Control) 第二部分是本书的理论核心，它将经典的变分原理提升到处理时间演化系统的动态优化层面，即最优控制理论。 第4章：动态系统的数学描述与性能指标 (Mathematical Description of Dynamic Systems and Performance Indices) 本章将问题设定从静态泛函转向了时间依赖的动态系统。我们介绍了状态变量、控制变量、系统动态方程（常微分方程形式）的概念。性能指标被定义为依赖于控制路径的积分泛函，这自然地连接了第一部分的内容。本章强调了目标函数 (Objective Functional) 的清晰构建是求解任何控制问题的先决条件。 第5章：庞特里亚金最大值原理 (Pontryagin's Maximum Principle - PMP) 这是最优控制理论的基石。本章通过对哈密顿量 (Hamiltonian) 的引入和推导，系统地阐述了PMP的各个组成部分：协态方程（或称伴随方程，它们是某种意义上的广义拉格朗日量）、系统动力学方程、最优性条件（最大化哈密顿量）以及必要的边界/端点条件。我们特别关注了横截性条件 (Transversality Conditions) 的物理意义，例如，自由终端时间问题中的$left. H ight|_{t=t_f} = frac{partial L}{partial dot{t}}|_{t=t_f}$的解读。 第6章：最优控制的类型与特例 (Classes of Optimal Control Problems and Special Cases) PMP适用于更广泛的控制问题，本章分类讨论了不同类型的控制设定： 1. 固定终端时间问题：最标准的形式。 2. 自由终端时间问题：涉及优化最终时间的控制。 3. 状态约束问题：引入KKT（Karush-Kuhn-Tucker）条件的推广，特别是邦迪里-克拉索夫斯基（Pontryagin-Krasovskii）引理在处理状态不等式约束（如避障问题）时的应用。 4. 奇异控制问题 (Singular Control)：控制变量在最优解中不显式地出现在哈密顿量最大化条件中，需要更高级的分析技术来确定控制，本章提供了识别和处理这类复杂情况的初步方法。 第三部分：理论的深入与现代应用 (Advanced Theory and Modern Applications) 最后一部分将理论推向更高的维度，并展示其在关键工程领域的实际落地。 第7章：动态规划与贝尔曼方程 (Dynamic Programming and the Bellman Equation) 作为与PMP并行且互补的理论框架，本章详述了动态规划的思想。核心是引入价值函数 (Value Function) $V(x, t)$，并推导出贝尔曼最优性方程 (Bellman's Equation)。我们深入比较了PMP（基于一阶变分原理）与动态规划（基于动态规划原理）在计算复杂性和信息需求上的差异，特别是在求解线性二次调节器 (LQR) 问题时，展示了它们如何收敛到同一个反馈控制律。 第8章：线性二次调节器（LQR）的显式解 LQR是唯一一个在连续时间或离散时间下都能得到完全解析反馈解的最优控制问题。本章详细推导了LQR控制器的设计过程，引入了代数黎卡提方程 (Algebraic Riccati Equation, ARE)，并给出了其稳态解的计算方法。这是连接控制工程（如现代控制理论）与变分法的重要桥梁。 第9章：变分法在连续介质力学中的应用 (Variational Methods in Continuum Mechanics) 本章将理论回归到物理学的核心。我们探讨了弹性力学中的应变能泛函最小化原理，并将其推广到非线性弹性理论，使用广义变分原理来推导平衡方程和本构关系。此部分展示了如何利用变分法对材料的宏观行为进行自洽的建模，避免了直接求解复杂的偏微分方程组。 第10章：最优控制在飞行器与航天动力学中的应用 (Optimal Control in Aerospace and Flight Dynamics) 本章提供了两个关键的工程案例研究。 1. 燃料最优转移问题：以霍曼转移的改进为例，展示如何使用PMP来计算最优的推力配置文件，以最小化燃料消耗。 2. 自动导引与导航 (Guidance and Navigation)：讨论了最优滤波器（如卡尔曼滤波）与最优控制器的结合，用于估计系统状态并同时设计最优的轨迹跟踪策略。我们讨论了如何处理系统状态的随机性对最优控制设计的影响。 总结与展望 本书以严谨的数学推导为骨架，以丰富的工程和物理应用为血肉，旨在为读者提供一个全面的视角，理解如何利用“最小作用量”或“最大化效用”的原则来精确地描述和控制复杂的动态系统。我们希望，通过对变分法到最优控制的循序渐进的探索，读者不仅能掌握这些强大的数学工具，更能培养出一种以优化视角审视科学与工程问题的思维习惯。本书是理论深度与实践广度相结合的典范，是未来研究者和工程师不可或缺的参考资源。

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