Monte-Carlo and Quasi-Monte Carlo Methods 1998 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer-Verlag

作者:Niederreiter, Harald (EDT)/ Spanier, Jerome (EDT)

出品人:

页数:488

译者:

出版时间:2000-1-1

价格:GBP 88.00

装帧:Paperback

isbn号码:9783540661764

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 小说
• 学术
• Monte Carlo
• Quasi-Monte Carlo
• Numerical Methods
• Computational Statistics
• Stochastic Simulation
• Random Numbers
• Integration
• Optimization
• Probability
• Algorithms

现代计算方法与随机过程的深度探索 聚焦于数值分析、概率论、优化理论及相关应用领域的前沿著作 本书深入探讨了当代科学计算与工程分析中至关重要的一系列方法论，特别是那些依赖于随机抽样、概率模型构建和高维空间几何洞察的领域。全书结构严谨，内容涵盖了从基础理论的构建到复杂实际问题的求解范式，旨在为研究人员、高级学生以及需要进行复杂系统建模的工程师提供一个全面的知识框架和实用的技术指南。 第一部分：随机数生成与统计基础的重塑 本部分着重于现代计算科学的基石——高质量随机数的生成及其在统计推断中的应用。 1. 伪随机数生成器的演进与检验： 详细分析了线性同余生成器（LCG）的局限性及其在现代密码学和高性能计算中的替代方案，如Mersenne Twister (MT) 家族。内容深入到这些生成器的周期长度、均匀分布特性（包括低阶矩检验）以及如何通过更复杂的结构（如基于椭圆曲线或状态反馈寄存器）来提高序列的不可预测性和统计质量。特别讨论了针对蒙特卡洛模拟中样本相关性问题的缓解策略。 2. 准随机序列的理论基础与构建： 超越传统随机性，本书详尽阐述了低差异序列（Low-Discrepancy Sequences）的数学构造。详细介绍了Sobol序列、Halton序列和Faure序列的生成算法，并从维度嵌入（Dimension Embedding）的角度分析了它们在高维空间中覆盖能力的优势。书中不仅提供了这些序列的构造公式，还通过专业的几何解释，阐明了为何这些确定性序列在特定积分问题中能实现比均匀随机数更快的收敛速度。讨论了差异性（Discrepancy）的严格定义，如Kronecker序列的平方积分差异（$L^2$ discrepancy）和均匀差异（UD discrepancy），并提供了计算这些差异的关键不等式。 3. 统计推断与Bootstrap方法的应用： 本章侧重于如何利用计算机模拟生成的数据集进行稳健的统计推断。详细讨论了非参数统计中的重采样技术，尤其是Bootstrap和Jackknife方法在估计参数分布和构造置信区间中的应用。内容包括滑动窗口Bootstrap在时间序列数据中的适应性处理，以及Bayesian框架下MCMC（Markov Chain Monte Carlo）方法的理论基础，例如Metropolis-Hastings算法和Gibbs采样器。对收敛诊断（Convergence Diagnostics），如Gelman-Rubin统计量，进行了深入的剖析。 --- 第二部分：高维积分与数值方法的集成 本部分将随机与准随机技术应用于核心的数值计算问题，特别是针对高维空间中的积分求解。 4. 经典数值积分方法的局限性与随机替代： 系统回顾了牛顿-科茨（Newton-Cotes）公式和高斯求积（Gauss Quadrature）在低维空间中的精确性，并严格论证了“维度灾难”（Curse of Dimensionality）如何使得这些确定性方法在超过十维的空间中变得计算上不可行。随后，引出蒙特卡洛方法作为一种“维度无关”的积分估计手段的理论基础——即误差收敛率与维度无关的特性。 5. 蒙特卡洛积分（MC Integration）的精确误差分析： 深入分析了标准平均值蒙特卡洛积分的方差分解，并推导了中心极限定理在应用到积分估计时的具体形式。本书提供了估计误差的置信区间计算方法，并详细比较了重要性抽样（Importance Sampling）和控制变量法（Control Variates）在降低方差方面的效率。特别强调了如何根据被积函数的特性，合理选择重要性密度函数，以实现最佳的方差缩减效果。 6. 准蒙特卡洛方法的收敛性理论： 本章是全书的理论核心之一，详细阐述了Koksma-Hlawka不等式，该不等式将积分误差与序列的差异性直接联系起来。通过对加权范数（Weighted Norms）下函数的希尔伯特空间表示，推导出了准蒙特卡洛方法在特定函数类别上的 $O(N^{-1+epsilon})$ 阶收敛速度。书中还探讨了混合方法（Quasi-Monte Carlo methods）在处理特定结构问题时的优势，例如利用稀疏网格技术处理具有高影响维度的问题。 --- 第三部分：金融工程与复杂系统中的应用建模 本部分展示了前述理论工具在解决实际工程和金融问题中的强大能力。 7. 随机微分方程（SDEs）的数值解法： 重点讨论了欧拉-马林纳（Euler-Maruyama）方法的收敛性和稳定性，以及更高级的Milstein方法的二阶收敛性。针对SDEs在金融衍生品定价（如Black-Scholes模型、Heston模型）中的应用，本书详细分析了如何结合高阶方法和方差削减技术来提高期权定价的精度和计算效率。对路径依赖型期权（如亚式期权）的模拟策略进行了专门讨论。 8. 优化问题的随机求解： 探讨了在存在噪声或模型不确定性时，如何使用随机搜索方法求解优化问题。内容包括模拟退火（Simulated Annealing）的动力学模拟与冷却计划设计，以及进化算法（如遗传算法）的基本框架。更侧重于随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent, SGD）及其变种在处理大规模、非凸优化问题时的表现，并探讨了动量（Momentum）和自适应学习率方法（如Adagrad, Adam）的理论基础。 9. 风险管理与极端事件分析： 本书运用概率论工具，分析了金融风险指标的估计。详细介绍了如何使用蒙特卡洛方法估计风险价值（Value at Risk, VaR）和条件风险价值（Conditional Value at Risk, CVaR）。在极端值理论（Extreme Value Theory, EVT）的背景下，讨论了如何通过广义帕雷托分布（Generalized Pareto Distribution）来外推高置信度下的尾部风险，并结合准蒙特卡洛方法加速对高尾部事件的模拟和评估。 --- 总结与展望： 本书通过对随机和确定性抽样方法的综合考察，提供了一个理解和应用现代数值方法的坚实基础。它不仅涵盖了理论的深度，也兼顾了算法的实用性，是追求计算效率和结果可靠性的研究人员不可或缺的参考资料。后续研究方向的展望部分，将理论研究的焦点引向更高维空间的随机微分方程求解、深度学习中的优化算法收敛性证明，以及量子计算背景下的概率模拟加速。

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