Algebraic Number Theory (Crc Press Series on Discrete Mathematics and Its Applications) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:CRC

作者:Richard A. Mollin

出品人:

页数:483

译者:

出版时间:1999-03-16

价格:USD 99.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780849339899

丛书系列:

图书标签:

• Algebraic Number Theory
• Number Theory
• Algebra
• Cryptography
• Mathematics
• CRC Press
• Discrete Mathematics
• Mathematical Foundations
• Algorithms
• Computational Number Theory

现代代数几何基础：拓扑、模与范畴 作者： [此处留空，模拟书籍简介的惯例] 出版社： [此处留空，模拟书籍简介的惯例] 系列： 现代数学前沿丛书 --- 简介 《现代代数几何基础：拓扑、模与范畴》是一部旨在为高等数学、理论物理学以及计算机科学中的研究生和高级研究人员提供坚实代数几何框架的专著。本书的核心目标是系统性地梳理连接拓扑学、抽象代数（特别是环论与模理论）以及现代几何研究范式的关键桥梁。我们相信，理解代数几何的本质，必须从其几何对象（如代数簇）的拓扑性质入手，并通过深刻理解支撑这些结构的代数工具（如理想、模和函子）来实现。 本书结构严谨，内容涵盖了从基础概念到前沿研究的多个层面，力求在严密性与可读性之间取得精妙的平衡。我们避免陷入纯粹的集合论细节，而是聚焦于概念的几何内涵及其在解决实际数学问题中的应用。 第一部分：拓扑基础与预备知识的回顾与深化 本部分将为读者建立起后续代数几何研究所必需的拓扑学基础，但其视角将明显偏向于代数结构的可延展性。 第一章：拓扑空间的代数视角 我们从标准的拓扑学定义出发，迅速过渡到代数拓扑的基石——基本群和同调理论的初步探讨。重点分析了由特定代数结构（如群环）诱导出的拓扑空间（如李群或扎里斯基拓扑空间）的性质。引入了层论（Sheaf Theory）的直观概念，将其视为局部信息如何通过代数结构进行粘合的框架。讨论了同伦等价在代数几何中的意义，特别是区分具有不同代数性质的空间（如不可约和连通的代数簇）。 第二章：函数空间与紧凑性 深入探讨了紧致性和分离性（Hausdorff性质）在代数几何中的重要性。我们将紧致性概念与代数簇的闭子集性质联系起来，特别是讨论了希尔伯特零点定理（Hilbert's Nullstellensatz）在拓扑嵌入中的作用。此外，本章引入了Stone-Čech 紧化，从函数空间的角度重新审视拓扑嵌入。 第三章：域扩张与代数预备 本章回顾并深化了域论（Field Theory）的核心概念，重点关注代数扩张、正规扩张和伽罗瓦理论的几何意义。我们详细分析了伽罗瓦群如何编码了多项式方程解的结构，并将其提升到更一般的代数几何语境中，讨论了Derivations（导子）的概念，为后续的微分结构做准备。 第二部分：模理论与交换环的几何化 这是本书的核心部分，致力于展示抽象的模理论如何精确地“描述”几何对象。 第四章：交换环与模的结构 从交换环的定义出发，我们强调了素理想（Prime Ideals）和极大理想（Maximal Ideals）的几何对应关系。详细分析了Noetherian 环的重要性，解释了为何此条件（对应于代数簇的有限生成性）对几何研究至关重要。重点讨论了局部化（Localization）过程——如何通过局部化来研究环在特定“点”附近的性质，并建立起局部环与拓扑空间中“局部性质”之间的直接联系。 第五章：特定模的分类与性质 系统性地介绍了投射模（Projective Modules）、内射模（Injective Modules）和平坦模（Flat Modules）。重点阐述了平坦性在张量积（Tensor Product）下的表现，以及它如何反映了态射（Morphisms）的代数“线性”程度。引入了正合序列（Exact Sequences）的概念，特别是短正合序列，并展示了它们在计算同调群时的关键作用。 第六章：张量代数与张量积的几何诠释 深入研究张量积 $M otimes_R N$ 的构造，并探讨其在几何上的意义，例如在向量丛（Vector Bundles）的乘积空间中的应用。引入了双线性映射的通用性质，并用其来定义张量代数和对称代数。讨论了张量代数如何自然地生成仿射空间上的多项式环。 第三部分：范畴论与函子的力量 本部分将抽象代数的工具提升至更普遍的范畴论的视角，这是现代代数几何的语言。 第七章：范畴与函子的初步概念 系统介绍了范畴、函子（Functors）和自然变换。重点分析了遗忘函子（Forgetful Functors）和自由函子（Free Functors），以及它们如何在不同数学结构之间架起桥梁。详细阐述了自然同构在代数结构保持不变性方面的优越性。 第八章：极限、余极限与阿贝尔范畴 本章深入研究了范畴中的极限（Limits）和余极限（Colimits），并展示了它们在环论中如何对应于直积（Products）和上余积（Coproductions）。随后，引入了阿贝尔范畴（Abelian Categories）的概念，强调了其具备足够的短正合序列，使得同调代数得以建立。讨论了正合函子与分裂函子的特性。 第九章：导出函子与同调代数 作为范畴论在代数几何中最强大的应用之一，本章导出了导出函子（Derived Functors）的概念，特别是左导出函子（如 Tor 函子）和右导出函子（如 Ext 函子）。详细推导了 Tor 函子在自由模分解中的计算方法，并阐释了 Ext 函子在描述两个模之间“扩展方式”上的重要性。这些工具是理解Sheaf上同调（如 $ ext{R}^i f_$）的先决条件。 第四部分：连接拓扑与代数：概形理论的雏形 本部分将前面建立的代数和拓扑工具汇聚起来，为进入更高级的概形理论（Scheme Theory）打下坚实基础。 第十章：预层与层 从预层（Presheaves）的严格定义出发，定义了如何通过“限制映射”来构建层（Sheaves）。重点区分了群层、环层和模层。通过实例（如连续函数层、解析函数层），展示了层如何捕获空间局部性质的代数结构。讨论了层上同调（Sheaf Cohomology）的必要性，解释了为何仅有局部信息不足以描述全局结构。 第十一章：局部环谱的初步探索 本章讨论了素理想谱 $ ext{Spec}(R)$ 的拓扑构造，引入了扎里斯基拓扑。然后，我们考虑如何将环层结构“粘合”到 $ ext{Spec}(R)$ 上，从而构造出仿射概形（Affine Schemes）。通过研究环层 $mathcal{O}$ 上的模层 $ ilde{M}$，展示了代数对象 $M$ 如何在 $ ext{Spec}(R)$ 上被“几何化”为一个向量丛的代数对应物。 第十二章：态射与函子间的关系 研究态射（Morphisms）在拓扑空间和代数结构之间的对应关系。探讨了由环同态 $f^: R o S$ 诱导出的空间上的连续映射 $f: ext{Spec}(S) o ext{Spec}(R)$，以及由 $mathcal{O}_S$ 到 $f^mathcal{O}_R$ 的诱导层结构。最终，本章将导引读者认识到，代数几何的真正威力在于其通过范畴论的语言，将几何研究转化为对特定范畴（如阿贝尔范畴）中对象关系的精确研究。 --- 本书特色 概念驱动： 强调几何直觉在理解抽象代数工具中的作用。 结构完整： 系统地从拓扑、环模到范畴论进行层层递进的讲解，无缝衔接。 严格证明： 所有核心定理均提供详尽的、易于跟进的证明。 丰富的习题： 每章末尾均附有难度分级的习题，旨在巩固理论理解并引导读者进行初步探索。 本书适合已掌握抽象代数和一般拓扑学基础的研究生和科研人员，是迈向现代代数几何和相关领域（如代数K理论、代数拓扑应用）的理想跳板。

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