具体描述
深入解析：《高等代数精要：从线性空间到抽象结构》 简介 图书名称： 《高等代数精要：从线性空间到抽象结构》 目标读者： 本科高年级数学专业学生、研究生新生、需要系统回顾或深入理解抽象代数概念的理工科专业人士。 本书定位： 本书旨在作为一本严谨、全面且富有洞察力的教材，填补初级代数（如《Elementary Algebra》所涵盖的基础算术、方程求解、多项式基础等）与高阶抽象代数（如群论、环论、域论、线性代数高级主题）之间的鸿沟。我们聚焦于代数结构本身，而非仅是其在具体应用中的计算技巧。 --- 第一部分：线性代数的核心与升华（超越基础方程求解） 本书的开篇将我们迅速带离对单一变量线性方程的常规求解，转而探索向量空间这一核心概念的广阔图景。 第一章：向量空间的公理化基础与构造 本章彻底重建了我们对“向量”的理解。我们从集合的抽象定义出发，严格阐述了向量空间的八条公理，并引入了多种非典型的向量空间实例，例如函数空间（如连续函数空间 $C[a, b]$）、多项式空间 $mathbb{P}_n$，以及矩阵空间 $mathbb{M}_{m imes n}$。重点在于理解标量域（如 $mathbb{R}$ 或 $mathbb{C}$）的选择对空间性质的影响。 第二章：线性相关性、基与维度 我们深入探讨了线性组合、线性无关性的精确定义，并展示了如何利用这些概念来构建向量空间的“骨架”——基。基的存在性与唯一性定理将得到严格证明。维度，作为衡量空间“大小”的内在不变量，将被赋予坚实的理论支撑。我们还将讨论子空间（如零空间、列空间、行空间）之间的关系，并引入商空间（Quotient Space）的初步概念，为后续的同态定理做铺垫。 第三章：线性变换与矩阵表示 线性变换被视为连接不同向量空间之间的结构保持映射。本章详细分析了线性变换的核（Kernel）和像（Image），并阐述了秩-零化度定理的深刻内涵。矩阵，在此处，不再是单纯的数字方阵，而是特定基下线性变换的“视角”或“坐标表示”。我们引入相似变换的概念，强调矩阵的本质属性（如特征值、行列式）在基变换下的不变性。 第四章：特征理论与对角化 特征值和特征向量的计算被提升至理论高度，用以揭示线性变换作用下的“不变方向”。本章严密论证了对角化（Diagonalizability）的充要条件，并处理了非对角化的情况，引入了若尔当标准型（Jordan Canonical Form），这是对任意有限维复数域上线性算子的最精细分解。此外，我们将讨论米勒的最小多项式理论，并利用它来简化对矩阵函数的处理。 第五章：内积空间与正交性 本章引入内积结构，将几何直觉融入抽象空间。我们研究如何定义内积、范数以及角度。正交基（如通过 Gram-Schmidt 过程构造的基）在简化计算中的核心作用将被详述。对于有限维空间，我们将讨论自伴随算子（Adjoint Operators）及其在谱定理（Spectral Theorem）中的中心地位，特别是对于实对称矩阵的谱分解。 --- 第二部分：抽象代数结构：群、环与域的探索 在坚实地掌握了线性代数之后，本书将视角转向更宏大、更抽象的代数结构，探索数系和方程解背后的普遍规律。 第六章：群论基础：对称性与结构 群被定义为具有单一二元运算的集合，是研究对称性的基本工具。本章从定义出发，涵盖了子群、陪集、拉格朗日定理（及其在阶数研究中的应用）、循环群、以及直积群。 同态与同构 是本章的核心，用于比较不同群的结构。我们还将引入正规子群的概念，为构建商群（Factor Group）铺平道路。 第七章：群论的高级主题 本章深入探讨群论的经典成果。我们将详细阐述Sylow 定理，这些定理为有限群的结构分解提供了强大的工具。对于有限生成阿贝尔群，我们将展示其基本定理，并讨论作用（Group Actions）的概念，包括轨道-稳定子定理，这在组合学和几何学中有广泛应用。 第八章：环论的建立：代数运算的扩展 环是对整数运算（加法和乘法）进行抽象的结构。本章定义了环的公理，并区分了交换环、单位环。我们重点研究理想（Ideals），它们是环中的特殊子集，扮演着群中正规子群的角色。商环（Quotient Rings）的构造和同态定理的环论版本是本章的理论高潮。 第九章：域与多项式 域是“没有零因子”的特殊环，是进行除法运算的基础。本章专注于多项式环 $F[x]$（其中 $F$ 是一个域），并研究整环的特性。我们将深入探讨唯一因子域（UFD）、主理想整环（PID）和欧几里得整环（ED）之间的层次关系，并证明 $mathbb{Q}[x]$ 和 $mathbb{Z}[x]$ 的特定分类。 第十章：域的扩张与伽罗瓦理论的序曲 本章旨在解释为什么某些多项式方程有解，而另一些（如五次及以上的一般方程）没有根式解。我们引入域扩张的概念，研究代数元和超越元。关键在于分裂域（Splitting Fields）的构造，这是理解多项式根集合的最小域。本书在此处为读者构建起理解伽罗瓦理论所需的全部代数工具，为更深入的纯数学研究打下坚实的基础。 --- 总结与特色 本书的叙事结构是循序渐进的：从对具体对象（向量、矩阵）的量化研究，过渡到对普遍结构（群、环、域）的质性分析。我们强调理论的严谨性、概念的清晰定义，以及证明的完整性。本书中每一个定理的证明都力求清晰可追溯，确保读者能够真正掌握代数思维的精髓，而非仅仅记忆公式或步骤。本书内容完全集中于高等代数的核心理论，不包含初等代数中关于解二次方程、基本函数图像或初等几何代数应用的内容。
作者简介
目录信息
读后感
评分
评分
评分
评分
评分
用户评价
评分
评分
评分
评分
评分
相关图书
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2026 book.quotespace.org All Rights Reserved. 小美书屋 版权所有