Visualization And Processing of Tensor Fields pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Weickert, Joachim (EDT)/ Hagen, Hans (EDT)

出品人:

页数:481

译者:

出版时间:

价格:1300.00元

装帧:HRD

isbn号码:9783540250326

丛书系列:

图书标签:

• Tensor Fields
• Visualization
• Data Visualization
• Scientific Visualization
• Computer Graphics
• Mathematics
• Applied Mathematics
• Engineering
• Data Analysis
• Image Processing

探索数据之维：多维数据分析与几何建模 本书深入探讨了处理和理解复杂多维数据结构的理论基础、算法实现与实际应用。重点关注如何将抽象的数据集合转化为可直观理解和有效操作的几何实体，并利用这些实体进行深入分析与预测。全书结构严谨，理论与实践并重，旨在为从事高级数据科学、计算机图形学、计算物理以及几何建模领域的专业人士提供一套全面的方法论框架。 第一部分：多维空间与数据拓扑基础 本部分奠定了理解高维数据结构所需的数学和拓扑学基础。我们首先回顾了欧几里德空间、黎曼流形的基本概念，并将其扩展到更抽象的拓扑空间。 第1章：流形理论与高维嵌入 本章详细阐述了微分流形的概念，这是理解数据结构局部性质的关键。我们讨论了切空间、法空间以及不同坐标系之间的转换。重点分析了如何将高维、非线性分布的数据点集嵌入到低维的、具有良好拓扑结构（如光滑性、可积性）的流形上，以揭示数据的内在几何形态。引入了黎曼度量张量，用于在高维空间中精确测量距离和曲率，这对于后续的梯度计算和最优传输问题至关重要。 第2章：拓扑数据分析（TDA）导论 拓扑数据分析作为一种强大的非参数方法，旨在发现数据集中不依赖于特定度量的全局形状特征。本章聚焦于持久同调理论。我们从单纯复形（Simplicial Complexes）的构建出发，讲解了滤子化过程（如Vietoris-Rips或Čech复形）。深入解析了Betti数和持久性图（Persistence Diagrams），这些工具能够有效识别数据中的“洞”、“环”和“连通分支”，并量化它们在不同尺度下的显著性。本章还探讨了如何将持久性图转化为可用于机器学习模型的向量表示。 第3章：离散微分几何 将连续几何的概念应用于离散数据网格是实现高效计算的前提。本章专注于离散拉普拉斯-贝蒂算子（Discrete Laplacian-Beltrami Operator）的构造。我们探讨了基于有限元方法（FEM）和有限差分方法（FDM）在三角网格和四面体网格上定义梯度、散度和曲率的方法。特别地，对比了法向量场在离散曲面上的计算稳定性与精度，这对于表面参数化和网格光滑化至关重要。 第二部分：几何特征的提取与表征 本部分将理论基础应用于实际数据的几何特征提取，侧重于如何用数学对象精确描述数据的形状和内在关联。 第4章：形状描述子与不变性 有效的形状描述必须具备某种形式的变换不变性（如旋转、平移、缩放）。本章系统介绍了各种形状描述符，包括基于几何特征（如角、曲率）的局部描述符，以及基于谱理论（如拉普拉斯特征向量）的全局描述符。详细分析了本征函数（Eigenfunctions）在形状匹配、识别和比较中的应用，特别是谱几何方法在处理非刚性形变下的鲁棒性。 第5章：结构化数据场的表示 对于描述物理或工程现象的数据场（如速度场、应力场），其几何结构往往比数值本身更为重要。本章探讨了如何利用向量场和张量场的几何属性来理解数据。我们介绍了流线追踪、涡度分析以及保守场与非保守场的区分。此外，深入研究了光滑的向量场和张量场在二维和三维流形上的分解技术，例如霍普夫（Hopf）分解，以分离场的环流成分和无旋成分。 第6章：曲面参数化与网格优化 精确的曲面参数化是纹理映射、网格简化和数据插值的核心。本章比较了各种参数化技术，包括双调和参数化（Biharmonic Parameterization）、调和映照（Harmonic Maps）以及基于拉普拉斯-贝蒂算子的谱参数化。对于优化部分，我们提出了一套基于能量最小化框架的网格重构算法，目标是生成具有均匀三角形尺寸和良好角度分布的网格，从而提高后续数值模拟的效率和精度。 第三部分：几何计算与交互式可视化 本部分关注如何利用提取的几何特征进行高效的计算操作，并将结果以有效的方式呈现给用户。 第7章：多尺度几何处理 现实世界的数据集往往包含噪声和不同尺度的细节。本章提出了多尺度几何处理框架，用于平滑、去噪和特征增强。我们讨论了基于曲率扩散（Curvature Diffusion）的非线性滤波方法，该方法能够在平滑噪声的同时保留重要的边缘和褶皱。此外，介绍了基于小波分解和多分辨率分析（MRA）的层次化数据结构，允许用户在不同分辨率上快速查询和修改几何信息。 第8章：数据驱动的几何建模 本章探讨了如何利用采样数据重建出光滑、可分析的隐式曲面模型。重点分析了径向基函数（RBF）插值和符号距离函数（SDF）的构建。对于噪声较大的点云数据，我们引入了受限局部表述（Moving Least Squares, MLS）技术，用于局部重建光滑的切平面和曲率信息，并讨论了如何将重建的隐式曲面转换为可用于有限元分析的参数化网格。 第9章：高维数据场的交互式几何可视化 最终，本章回归到如何将抽象的数学结构转化为用户可理解的视觉体验。我们讨论了非线性数据（如张量场）的可视化范式，包括：体积渲染技术在数据密度分析中的应用；关键特征线（如流线、主方向线）的有效绘制策略；以及交互式剪切平面（Clipping Planes）和切片（Slicing）工具的设计，这些工具需要高效地计算和渲染高维数据在特定截面上的剖面信息。此外，探讨了色彩、纹理和透明度如何有效地映射到流形上的曲率和第二特征值，以增强对数据局部几何形态的感知。 全书力求在数学深度和工程实用性之间取得平衡，为读者提供一套坚实的工具箱，用于驾驭和理解那些仅凭传统二维表格难以捕捉的复杂系统。

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