Nonlinear Elliptic and Parabolic Problems pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Birkhauser

作者:Michel Chipot (Editor)

出品人:

页数:536

译者:

出版时间:2005-12-14

价格:USD 249.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9783764372668

丛书系列:

图书标签:

• 偏微分方程
• 非线性
• 椭圆型方程
• 抛物型方程
• 数值分析
• 有限元方法
• 变分方法
• 泛函分析
• 数学物理
• 常微分方程

泛函分析与变分法：理论、方法与应用 图书简介 本书旨在为读者提供一个深入且全面的泛函分析与变分法基础框架，重点关注其在现代数学物理和工程应用中的核心概念、理论工具和实际解题策略。全书内容紧密围绕核心的分析工具展开，力求在理论的严谨性与实际操作的可行性之间取得平衡。 第一部分：泛函分析基础与拓扑向量空间 本部分奠定了后续内容所需的所有数学基础，特别是泛函分析中至关重要的拓扑结构和线性空间理论。 第一章：拓扑空间与度量空间回顾 首先，对拓扑空间、连续性、紧致性等基本概念进行复习和系统化梳理。在此基础上，详细介绍度量空间的概念，包括完备性（Contraction Mapping Principle，即Banach不动点定理）在求解常微分方程（ODE）中的直接应用，以及对序列收敛性的严格处理。讨论Minkowski距离、Sobolev空间中常用的$L^p$范数的内在联系。 第二章：赋范线性空间与Banach空间 重点剖析赋范线性空间（Normed Linear Spaces）的结构。深入讨论Banach空间（完备的赋范线性空间）的定义、性质及其在分析中的核心地位。详细分析了拓扑的强收敛与弱收敛的区别，并引入了Hahn-Banach定理的陈述及其在构造线性泛函中的重要性。对有界线性算子的范数、开映射定理和闭图像定理进行了详尽的讨论，这些是线性算子理论的基石。 第三章：希尔伯特空间与内积结构 本章将焦点转移到具有内积结构的希尔伯特空间（Hilbert Space）。详细阐述内积、正交性、投影定理，以及Riesz表示定理。Riesz表示定理被视为连接函数空间与其实对偶空间的关键桥梁，在傅里叶分析和谱理论中具有无可替代的作用。通过对傅里叶级数和傅里叶变换的初步探讨，展示希尔伯特空间理论在函数近似中的威力。 第二部分：测度论与$L^p$空间理论 本部分构建了对积分和函数空间进行严格分析的测度论框架，这是理解现代偏微分方程（PDE）解的弱解概念所必需的。 第四章：勒贝格测度与积分 系统介绍测度（Measure）的构造，从外测度到$sigma$-代数，直至勒贝格测度的定义。详细阐述简单函数、可测函数以及勒贝格积分的定义和基本性质。重点讨论单调收敛定理、 Fatou引理和支配收敛定理，这些定理是分析中极限与积分交换顺序的理论依据。 第五章：$L^p$空间及其对偶性 将$L^p$空间严格定义为由$p$次方可积函数构成的空间。深入分析Minkowski不等式在证明三角不等式中的关键作用。重点阐述Hölder不等式和三角不等式在$L^p$空间范数定义中的地位。详细分析$L^p$空间的完备性，证明其为Banach空间。最后，系统介绍$L^p$空间（$1 < p < infty$）的对偶空间结构，及其与共轭指数$q$的关系。 第六章：Sobolev空间简介 本章介绍Sobolev空间的构建，这是现代PDE理论中处理具有分布意义的导数的核心工具。定义广义导数（Distributional Derivatives），并基于$L^p$空间来定义Sobolev空间$W^{k,p}(Omega)$。讨论嵌入定理（Sobolev Embedding Theorems）的意义，即函数在Sobolev空间中的范数如何限制其在更低维或更正则空间中的表现。 第三部分：变分法基础与泛函的微分 本部分将理论分析工具应用于寻找泛函的极值点，这是变分法的核心任务。 第七章：泛函的变分与欧拉-拉格朗日方程 引入泛函的概念，并定义泛函的变分（Variation of a Functional）。通过对简单泛函进行变分，推导出著名的欧拉-拉格朗日方程（Euler-Lagrange Equation）。详细分析了变分原理在力学中的体现，例如最小势能原理。 第八章：变分法的直接法 变分法的直接法（Direct Method）是寻找变分问题的解的关键技术，它完全基于泛函分析的工具。详细阐述如何利用下半连续性（如$L^2$或$W^{1,2}$范数下的半连续性）和强制性（Coercivity）来证明存在性。讨论能量泛函的结构，以及如何通过强制性确保解的存在性以及其能量界的有限性。 第九章：Fréchet导数与Gâteaux导数 为严谨地定义泛函的“微分”，本章引入Fréchet导数和Gâteaux导数。详细比较这两种导数的异同，并解释为何在无限维空间中，Fréchet可微性是一个更强的条件。通过计算这些导数，建立变分问题的首要必要条件——一阶变分条件。 第四部分：线性算子理论与不动点定理 本部分聚焦于线性算子的谱理论的初步探讨，并引入非线性问题中处理的基础不动点理论。 第十章：线性算子的谱 探讨有界线性算子的谱（Spectrum）的概念，包括点谱、连续谱和残缺谱。分析谱半径公式和谱半径与算子范数的关系。虽然本书不深入探讨自伴算子，但对谱的初步理解对于理解PDE的某些稳定性问题至关重要。 第十一章：不动点理论的应用 在处理非线性问题时，不动点定理是证明解存在性的核心工具。本章详细介绍Banach不动点定理（已在第一部分提及，此处进行更深入的理论应用）和Schäuder不动点定理（作为Banach不动点定理在更一般空间上的推广）。重点讨论如何构造一个满足不动点定理条件的映射，从而将非线性问题转化为不动点问题。 总结与展望 全书严格按照分析的递进层次组织内容：从基础的拓扑和线性空间，到更精细的积分理论和函数空间，再到变分法的核心概念，最后回归到算子和不动点理论。本书为读者在深入研究偏微分方程、变分不等式以及数学物理中的变分原理时，提供了坚实的分析基础和一套可以直接应用的理论工具箱。书中的例题和练习旨在巩固读者对拓扑收敛、对偶空间结构以及泛函极值条件的深刻理解。

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