Positivity in Algebraic Geometry II pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Lazarsfield, R.K

出品人:

頁數:385

译者:

出版時間:2004-10

價格:$ 39.49

裝幀:Pap

isbn號碼:9783540225317

叢書系列:

圖書標籤:

• 數學
• Algebraic Geometry
• Positivity
• Complex Geometry
• Birational Geometry
• Minimal Model Program
• Kähler Manifolds
• Ample Bundles
• Vanishing Theorems
• Intersection Theory
• Singularity Theory

《代數幾何中的積極性 II》圖書簡介 本書導言 《代數幾何中的積極性 II》是代數幾何領域內一部深入探討正性概念及其在幾何結構中應用的權威著作。本書並非對前作《代數幾何中的積極性 I》的簡單延續，而是聚焦於更高級、更精微的代數幾何工具，特彆是圍繞嚮量叢、綫性係統、奇點理論以及高維代數簇的拓撲不變量展開深入研究。全書旨在為讀者構建一個堅實的理論框架，使其能夠理解和運用“積極性”這一核心概念來解析復雜的幾何對象。 本書的寫作風格力求嚴謹而富有洞察力，避免冗餘的公式堆砌，而是側重於概念的幾何直覺與代數定義的完美融閤。我們假設讀者已具備紮實的古典代數幾何基礎，熟悉概形理論、範疇論的基本概念，並對代數麯綫和麯麵的幾何性質有一定瞭解。在此基礎上，本書將引領讀者進入一個更廣闊、更富挑戰性的研究前沿。 第一部分：嚮量叢與激勵綫束的幾何（Cohomology of Vector Bundles and Motivating Line Bundles） 第一部分集中探討高次代數簇上的嚮量叢理論，這是理解“積極性”在更高維度上體現的關鍵。 第1章：高維簇上的相乾上同調與Serre消減性 本章首先迴顧瞭在光滑射影簇 $X$ 上的相乾層上同調群 $H^i(X, mathcal{F})$ 的基本性質，特彆是Serre對極大理想層 $mathfrak{m}$ 的冪次的消減性定理，並將其推廣至更一般的凝聚層。我們將詳細分析其在判斷局部自由層分解上的重要性。隨後，我們引入瞭激勵綫束（Motivating Line Bundles）的概念，這類綫束的定義是基於特定幾何構型的局部構造，而非全局拓撲。通過對 $mathbb{P}^n$ 上一組特定序列的分析，展示瞭如何利用這些局部信息來推導全局的拓撲約束。 第2章：綫性係統與自由度 本章深入探討綫性係統 $vert L vert$ 的幾何性質，重點在於其自由度（Base Locus）和多重性（Multiplicity）。對於一個非常充分（very ample）的綫束 $L$，我們分析其生成映射 $phi_{vert L vert}: X o mathbb{P}^N$ 的性質。特彆關注瞭多重綫性係統（Multilinear Systems）的構造，即涉及多個綫束張量的綫性係統。我們詳細論證瞭 $mathbb{P}^n$ 上的特殊綫性係統，如具有特定奇點的多重映射，如何揭示瞭簇上的“負性”或“邊界行為”。本章的核心是將代數中的“正定性”轉化為幾何上的“嵌入性質”和“截麵性質”。 第3章：Ample性與超麯麵的分類 我們將嚴格定義代數簇的 Ample（充分）性、大（Big）性、和 NEF（數值有效）性，並梳理它們之間的相互關係，特彆是Kawamata關於Ample性判定的深刻結果。本章的核心是應用這些代數不變量來對特定維度的簇進行分類。我們詳細分析瞭Fano簇（具有 ample 反典範束 $-K_X$ 的簇）的結構，並展示瞭如何利用嚮量叢的Chern類來區分具有不同幾何特徵的Fano三維流形。對於具有奇點的簇，我們討論瞭如何通過Blow-up（消去奇點）過程來恢復Ample性，並分析瞭這種“積極重構”的代數幾何意義。 第二部分：奇點理論中的積極性與局部正則性（Positivity in Singularity Theory and Local Regularity） 第二部分將視角轉嚮局部幾何，探討在奇點區域如何定義和衡量“積極性”，並將其與局部正則性（Regularity）聯係起來。 第4章：局部上同調與奇點的度量 本章引入瞭局部上同調理論（Local Cohomology）在奇點分析中的應用。我們探討瞭在局部環 $R$ 上，由極大理想 $m$ 生成的局部上同調 $ ext{H}^i_m(R)$ 如何量化奇點的“深度”。我們將“積極性”的概念推廣到局部環的結構上，例如，通過分析與 $m$ 相關的正交分解或內積結構（若存在）。重點分析瞭完全交（Complete Intersection）奇點與一般奇點的差異，以及在這些結構中，哪些代數條件確保瞭局部截麵可以生成一個“良性”的綫性係統。 第5章：多重綫性係與平坦性 本章研究綫性係統的“病態行為”——即綫性係統生成映射時齣現的奇點或退化。我們引入瞭平坦度（Flatness）的概念來衡量模空間上的形變是否“平穩”。特彆是，我們考察瞭平坦族上的綫束的積極性如何保持不變。通過引入 $L^2$ 技巧的代數對應物，我們分析瞭在特定模空間上，哪些截麵族具有全局的“解析性”或“正定性”，即使在縴維處存在奇點。這部分內容對構建更穩定的幾何結構至關重要。 第6章：正交分解與張量方法 本章是連接現代幾何與代數錶示論的關鍵。我們探討瞭 Beauville-Bogomolov 結構以及其在研究黎曼麵上的模空間時的應用。雖然本書的重點並非模空間本身，但我們利用瞭張量代數中定義正交性（Orthogonality）的思想，將其映射到嚮量叢的內積。通過分析特定張量積的消失性，我們闡述瞭如何用代數結構來“過濾”掉那些不符閤積極性要求的幾何構型。這包括對 $D$-模理論中特徵方程根的分析，以確定其在幾何上是否對應於一個“可控”的區域。 第三部分：應用與展望：動機與極小模型理論的交匯（Applications and Outlook: The Intersection with Minimal Model Program） 第三部分將前述的理論工具應用於更廣闊的代數幾何背景，特彆是與極小模型綱領（Minimal Model Program, MMP）的聯係。 第7章：典範有理凸（Canonical Rational Convexity）與反典範束 我們將Ample性與 $K_X$ 的性質緊密聯係起來。對於一般的有理簇 $X$，我們討論瞭其反典範束 $-K_X$ 的性質如何決定瞭簇的MMP路徑。本書詳細分析瞭“正定性”在非光滑、非典範簇上的推廣——即準充分性（Pseudofiniteness）。我們展示瞭如何通過構造特定的“準充分”綫性係統，來研究 Mori 錐的邊界，並理解哪些方嚮的嚮量場（在MMP的語境下）可以被一個“積極”的綫束所生成。 第8章：數值不變量與算術幾何的聯係 本章探討瞭代數幾何中的積極性概念如何轉化為算術幾何中的“有效性”問題。我們討論瞭Faltings高度和Néron-Severi群的結構，以及綫束的數值性質如何影響其在模空間上的分布。通過分析阿基米德點（Archimedean points）對嚮量叢的限製，我們展示瞭代數幾何中的“正定性”如何幫助我們理解數論中的非阿基米德收斂性問題。 結語 《代數幾何中的積極性 II》旨在提供一個全麵且深入的視角，理解代數幾何中的“積極性”不僅僅是一個代數條件，而是一種深刻的幾何約束，它指導著我們理解嚮量叢的結構、奇點的行為以及代數簇的形變空間。本書的結構旨在引導讀者從基礎的相乾上同調齣發，逐步掌握處理高維、復雜幾何問題的必要工具。 關鍵詞： 嚮量叢、綫性係統、相乾上同調、Fano簇、奇點理論、Mori錐、準充分性、Ample性。

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