具体描述
* Learn how complex numbers may be used to solve algebraic equations, as well as their geometric interpretation * Theoretical aspects are augmented with rich exercises and problems at various levels of difficulty * A special feature is a selection of outstanding Olympiad problems solved by employing the methods presented * May serve as an engaging supplemental text for an introductory undergrad course on complex numbers or number theory
好的，这是一份关于一本名为《A Survey of Contemporary Abstract Algebra》的书籍的详细简介，该书旨在为读者提供当代抽象代数领域全面而深入的概述。 --- 书籍简介：《当代抽象代数概览》(A Survey of Contemporary Abstract Algebra) 一、 导论与全景 《当代抽象代数概览》是一部为高等数学专业学生、研究生以及希望深化对现代代数理解的研究人员量身定制的权威著作。本书超越了对传统群论、环论和域论的机械性介绍，旨在构建一个全面、连贯的框架，展示抽象代数在当代数学结构中的核心地位和广泛应用。 本书的结构设计遵循从基础概念到尖端研究方向的渐进路线。我们坚信，真正的理解来源于对代数结构内在联系的把握，而非孤立定理的堆砌。因此，全书的核心目标是引导读者建立起对代数对象（如群、环、模、代数和范畴）在不同上下文中的动态视角。 二、 核心模块：基础结构的深度重构 本书第一部分致力于对经典代数结构进行一次系统性的、面向现代应用的重构。 群论的现代视角： 我们首先回顾基础群论，但重点迅速转向更高级的主题。书中详细探讨了表示理论的入门，特别是有限群的特征理论在组合学和物理学中的初步应用。费希特定理和Schur引理的深度剖析，为后续的模理论打下坚实基础。无限群的部分，超越了有限生成群的范畴，引入了如自由群的结构、组合群论的初步概念，以及特定无限群（如离散子群和几何群论的初步接触点）。 环与模论的统一框架： 环论部分，我们着重于交换代数的语言。从理想、零因子到Noetherian和Artinian环的深入分析，都紧密围绕着它们在代数几何和代数数论中的角色展开。模论被提升到与环论同等重要的地位。本书详细讨论了模的分解理论（如Jordan-Hölder定理的推广）、射影模、内射模和平坦模的性质，并强调了它们在同调代数中的应用。我们对同调群的引入并非肤浅的定义，而是展示如何使用这些工具来区分和比较代数对象。 三、 高级主题：连接代数与几何的桥梁 本书的后半部分是其独特价值所在，它将读者引向现代数学研究的前沿领域，展示代数结构如何成为连接不同数学分支的强大工具。 伽罗瓦理论的现代拓展： 超越经典域扩张的介绍，本书深入探讨域的无限扩张、绝对伽罗瓦群的构造，以及代数K理论的初步概念。我们详细分析了代数数论中的类域论（Class Field Theory）的宏观思想，即如何使用伽罗瓦群来研究数域中的理想结构，这是现代数论的核心工具之一。 非交换代数的兴起： 非交换代数被视为当代数学研究的重点。《当代抽象代数概览》对C-代数和von Neumann代数的初步介绍，聚焦于其在泛函分析和量子力学中的应用。此外，我们对霍普夫代数 (Hopf Algebras) 的介绍，不仅限于其作为环或代数的结构，更侧重于其作为“对称性的代数”在量子群和非交换几何中的作用。 范畴论：通用的语言： 范畴论在本书中被视为一种元语言。我们并非仅仅将其作为工具介绍，而是将其嵌入到整个代数结构的叙事中。从阿贝尔范畴、函子到极限与上极限的构造，范畴论提供了一种统一的方式来描述群、环、模乃至拓扑空间之间的关系。本书特别强调黏合性（Adjunctions） 的概念，展示了代数构造中的对偶性和自然性是如何通过范畴的语言被优雅地捕捉的。 四、 几何、拓扑与应用的交汇点 为了展示抽象代数的实际威力，本书包含专门的章节探讨其在几何和拓扑中的应用。 代数几何的初步接触： 我们介绍了概形 (Schemes) 的基本概念，将交换环的结构直接映射到几何对象的点集和结构层。虽然本书不是一本专门的代数几何教材，但它为读者理解Serre和Grothendieck的开创性工作提供了必要的代数基础，特别是关于谱的概念 (Spec(R))。 组合与代数的交互： 本书探讨了李代数 (Lie Algebras) 及其表示理论，展示了它们在微分几何（李群）和理论物理中的不可替代性。对布尔代数和格论 (Lattice Theory) 的讨论，则揭示了代数结构在逻辑和计算机科学基础中的应用潜力。 五、 教学特色与读者对象 本书的行文风格严谨而富有启发性，旨在培养读者的“代数直觉”。 例证的丰富性： 每一个核心定理之后，都伴随着精心挑选的、具有启发性的例子和反例，用以区分结构间的微妙差异。 研究导向的习题： 习题部分分为“基础巩固”和“研究展望”两类，后者包含一些开放性问题或需要结合文献的探索性任务。 历史脉络的穿插： 书中穿插了代数领域关键人物及其思想演变的历史片段，帮助读者理解概念产生的背景和动机。 目标读者： 本书是为已完成基础抽象代数课程（包括群、环、域）的本科高年级学生和研究生准备的进阶读物。它也是希望跨越基础代数进入代数几何、代数数论或数学物理等领域的学者的理想参考资料。通过系统学习本书内容，读者将能够自信地阅读当代数学期刊中涉及高级代数结构的研究论文。
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