Lectures on Clifford Geometric Algebras and Applications pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Ablamowicz, Rafal/ Sobczyk, Garret (EDT)/ Ablamowicz, Rafal (EDT)/ Sobczyk, Garret/ Abamowicz, Rafa

出品人:

页数:238

译者:

出版时间:2003-11

价格:$ 67.74

装帧:Pap

isbn号码:9780817632571

丛书系列:

图书标签:

• Clifford Algebra
• Geometric Algebra
• Mathematics
• Physics
• Applications
• Vector Algebra
• Multivectors
• Spinors
• Quantum Mechanics
• Computer Graphics

好的，这是一本关于几何代数的讲义集，旨在提供一个全面而深入的理解，涵盖了从基础概念到高级应用的广泛领域。本书的结构旨在引导读者逐步掌握克利福德代数（Clifford Algebras）及其在数学、物理和工程学中的多样化应用。 核心主题与结构 本书的结构围绕着克利福德代数的代数基础、几何解释以及其在不同科学分支中的实际应用展开。它建立在一个清晰的数学框架之上，确保读者能够扎实地理解这些概念的内在联系。 第一部分：代数基础与结构 本书的开篇部分致力于建立克利福德代数的严格代数基础。这部分内容详细阐述了代数的定义、构造方法以及其核心性质。 向量空间与二次型： 详细讨论了在域（如实数域 $mathbb{R}$ 或复数域 $mathbb{C}$）上定义的向量空间，并引入了二次型（Quadratic Forms）的概念。二次型是定义克利福德代数的基础，通过一个非退化的对称双线性形式来度量向量之间的关系。 克利福德代数的构造： 深入探讨了如何从一个向量空间 $V$ 和一个二次型 $Q$ 构建出克利福德代数 $C l(V, Q)$。这包括张量代数、双边理想以及商代数的构造过程，确保读者理解克利福德代数作为自由代数在关系下的商代数的本质。 基与表示： 讨论了如何选择一组正交基来表示克利福德代数。通过引入克利福德代数的生成元 $e_i$，它们满足反交换关系 $e_i e_j + e_j e_i = 2 Q(e_i, e_j) delta_{ij}$，详细分析了这些生成元如何构成了代数的基。书中对有限维情况下的代数结构进行了分类，特别关注了实数域上的情况。 第二部分：几何代数——代数与几何的融合 本书的第二部分是其核心，侧重于将纯粹的代数结构转化为直观的几何对象。这一部分将克利福德代数与几何空间的概念紧密结合。 几何乘积（The Geometric Product）： 详细介绍了克利福德代数中的核心运算——几何乘积。几何乘积的分解 $uv = u cdot v + u wedge v$ 是连接内积（点积）和楔积（外积）的关键。书中详尽解释了这种分解的几何意义：点积与度量相关，而楔积与几何体相关。 多向量（Multivectors）与几何对象： 系统地引入了不同阶的元素——标量、向量、双向量（bivectors）、三向量（trivectors）以及更高阶的元素，统称为多向量。重点阐释了双向量作为有向面积元素（oriented area elements）的地位，以及它们在描述旋转和平面几何中的作用。 代数结构与几何变换： 探讨了如何使用克利福德代数来表示几何变换，如旋转、反射和平移。书中详细分析了旋转子的构造，即如何通过指数映射或几何乘积来表示空间中的任意旋转，以及这些表示的优越性——它们是紧凑且全局一致的。 第三部分：矩阵表示与代数分类 为了将抽象的克利福德代数与现有的线性代数工具联系起来，本书专门开辟了一章讨论其具体的矩阵表示和分类。 矩阵表示： 详细介绍了如何将克利福德代数的元素表示为矩阵，尤其是在实数域 $mathbb{R}$ 和复数域 $mathbb{C}$ 上的表示。这部分内容对于计算物理和工程应用至关重要，它将几何代数的运算转化为线性代数的操作。 同构与分类： 基于二次型的符号（signature），对有限维克利福德代数的同构结构进行了系统的分类。这部分内容引用了代数拓扑和表示论的工具，以确定不同维度和符号下的代数结构是否等价。 第四部分：高级应用与现代物理的交汇点 在奠定了坚实的代数和几何基础后，本书深入探讨了克利福德代数在现代科学中的关键应用，展示了其作为统一数学语言的潜力。 微分几何与外微分： 阐述了克利福德代数如何与微分形式理论（外微分）相结合。几何乘积被推广到微分流形上，形成了所谓的几何微积分，它提供了一个统一的框架来处理梯度、散度和旋度，而不必依赖于特定的坐标系。 电磁学与相对论： 详细展示了克利福德代数（特别是闵可夫斯基空间中的代数）在描述电磁场和狭义相对论中的优势。法拉第张量和洛伦兹变换都可以简洁地通过克利福德代数的元素和代数运算来表达，极大地简化了四维时空中的几何物理描述。 量子力学与旋量： 探讨了克利福德代数在量子场论中的核心作用，特别是与旋量（Spinors）的关系。狄拉克方程的结构本质上就是克利福德代数在特定空间上的表示，本书解释了旋量如何自然地从代数结构中涌现，以及它们在描述基本粒子时的重要性。 教学特色 本书的叙述风格严谨而不失清晰，旨在服务于高年级本科生、研究生以及希望从代数角度深入理解几何物理的科研人员。它通过大量的例子和几何插图来辅助抽象概念的理解。每一章都包含精心设计的习题，旨在巩固读者的理论掌握并鼓励他们探索克利福德代数在特定领域中的应用潜力。本书强调的是从根本上理解几何结构的内在代数对称性，而非仅仅停留在计算层面。

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