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出版者:Cambridge University Press

作者:Joachim von zur Gathen

出品人:

页数:800

译者:

出版时间:2003-9-1

价格:USD 123.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780521826464

丛书系列:

图书标签:

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深入解析现代计算代数：理论、算法与前沿应用 图书名称： 现代计算代数（Modern Computer Algebra） 图书简介： 本书旨在为读者提供一个全面而深入的视角，探讨现代计算代数（Computer Algebra，CA）的理论基础、核心算法、系统实现以及在数学、科学和工程领域的广泛应用。计算代数作为符号计算领域的一个核心分支，致力于开发和实现能够精确处理数学表达式和对象的计算机程序，与依赖浮点数近似的数值计算形成鲜明对比。本书内容涵盖了从经典代数结构到最新的计算方法，力求在理论严谨性与实践操作性之间取得平衡。 第一部分：计算代数的基础与核心结构 本书伊始，我们将奠定计算代数所需的数学基础。这不仅仅是对抽象代数概念的简单回顾，而是侧重于如何在计算机中有效地表示和操作这些结构。 1. 域与环的计算表示： 我们将详细讨论有限域（Galois Fields）的构造和运算，这在编码理论和密码学中至关重要。随后，重点转向多项式环，特别是多变量多项式环 $K[x_1, dots, x_n]$ 的结构。讨论如何使用单变量化（Monomial Orderings，如词典序、等词典序、消除序）来定义和维护多项式的规范形。此外，我们将深入探讨 $mathbb{Z}[x]$ 上的计算，引入有理数系数多项式的处理方法，以及如何利用内容（Content）和原初部分（Primitive Part）将系数提升到整数环上的计算。 2. 理想的计算理论： 理想是代数几何和计算代数研究的核心对象。本书将详细阐述格罗布纳基（Gröbner Bases）理论，这是处理多项式理想的关键工具。我们将系统地介绍布赫伯格算法（Buchberger's Algorithm），分析其复杂性、变体及其在理想成员判定、理想交集计算以及零维理想求解中的应用。重点会放在如何选择合适的单项式序以优化计算效率和基的稀疏性。 3. 线性代数与矩阵运算的符号化： 传统的数值线性代数方法在处理带有参数或需要精确解的矩阵问题时存在局限。本章将专注于符号矩阵的运算，包括精确的行列式计算（如使用高斯消元法与避免分数增长的算法）、符号矩阵求逆、特征值和特征向量的精确符号计算。特别地，我们将讨论如何利用特征多项式和最小多项式来完全刻画矩阵的结构，并介绍基于这些多项式的计算方法。 第二部分：核心算法与高效实现 计算代数系统的性能在很大程度上依赖于其底层算法的效率。本部分聚焦于实现这些理论概念所需的高级算法。 4. 多变量多项式运算的优化： 讨论高效的多项式乘法算法，包括经典算法以及基于快速傅里叶变换（FFT）或数论变换（NTT）的快速算法，特别是在系数域允许的情况下。对于稀疏多项式，我们将探讨针对性地利用稀疏性来加速运算，例如，如何避免在稠密计算框架下生成和处理大量零项。 5. 模运算与同余技术： 模算术在计算机代数中扮演着至关重要的角色，尤其是在处理高次多项式或大整数系数时。我们将介绍素数域上的计算（通过 CRT 或域扩张）以及如何利用模域计算的结果来重构整数域上的精确解。重点讨论如何利用模 $p$ 上的计算来验证或辅助整数域上的计算。 6. 零维系统的求解： 对于由一组多项式定义的零维理想（即解集是有限个点），本书将介绍多种求解策略。这包括利用格罗布纳基对特定变量进行消元，以及基于特征多项式和最小多项式构建的特征值方法。我们将详细分析 Faugère 的 F4 和 F5 算法，它们是当前求解复杂零维系统的最先进技术，重点关注它们在处理零化子（Annular）结构时的优化策略。 第三部分：特定代数结构的高级计算 计算代数不仅限于多项式，它还延伸到更复杂的代数结构。 7. 差分方程与递推关系： 讨论线性常系数偏微分方程（PDEs）和常微分方程（ODEs）的符号求解。这包括使用 Risch 算法的思想来指导积分计算，以及在离散系统中处理线性递推关系。我们将探讨 Gröbner Bases 在求解线性偏微分方程组中的应用，特别是如何将PDEs转化为多项式环上的理想问题。 8. 计算代数几何： 本章将把计算代数工具应用于代数几何。讨论如何利用格罗布纳基来解决交点问题、研究奇点、计算相交的多样体的维度和度数。将介绍算子理论（Operator Theory）在处理几何对象时的应用，例如如何使用计算方法来构造特定属性的代数簇。 9. 组合与离散结构： 探索计算代数在组合学中的交叉点，例如如何使用 Gröbner Bases 来解决组合优化问题（如整数规划的松弛问题）。讨论有限群、半群的计算表示，以及如何利用同态定理和商结构进行精确分析。 第四部分：前沿应用与系统实现 本书最后一部分将展示计算代数在实际中的强大威力。 10. 密码学与编码理论中的应用： 深入分析椭圆曲线密码（ECC）背后的代数结构，讨论如何利用有限域上的计算来提高加密和解密速度。探讨纠错码（如 BCH 码、Reed-Solomon 码）的构造和解码过程，它们本质上都是建立在多项式运算基础之上的。 11. 符号积分与微分： 详细介绍如何使用 Risch 算法（或其变体）来判定一个函数的初等原函数是否存在，并进行构造性求解。讨论在处理特殊函数（如 Bessel 函数、Gamma 函数）时，符号计算系统所依赖的代数和微分性质。 12. 案例研究与系统架构： 分析主流符号计算系统（如 Maple, Mathematica, SymPy/SageMath）中计算代数模块的实现架构。通过具体的、复杂的数学问题案例，展示如何将本书介绍的理论知识转化为高效、可验证的计算结果。探讨并行化计算代数算法的可能性与挑战。 本书面向数学系高年级本科生、研究生以及从事理论计算机科学、物理学、工程学研究的人员。它不仅是一本理论参考书，更是一份指导读者理解和实现尖端计算代数工具的实践指南。通过学习本书内容，读者将能够独立分析和解决涉及精确代数计算的复杂问题。

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读完这本书的序言，我便被作者严谨的治学态度和对计算机代数的热情深深打动。他不仅是一位杰出的研究者，更是一位出色的教育者，能够将如此复杂的概念用如此清晰易懂的方式呈现出来，这本身就是一种了不起的成就。我特别欣赏作者在书中强调的“数学美学”和“计算效率”之间的联系，这让计算机代数不再仅仅是冰冷的符号和算法，而是充满了创造力和智慧的艺术。书中对各种算法的推导过程都进行了详尽的阐述，并且辅以大量的例子，让我能够清晰地理解每一个步骤的逻辑和原理。我尤其对书中关于“Groebner基”和“代数几何”的部分印象深刻，这些内容是我之前接触过的其他书籍中很少涉及到的，或者说涉及得不够深入。作者用一种非常直观的方式解释了这些抽象的概念，并展示了它们在实际问题中的应用，例如在机器人学、密码学和物理学等领域。这让我意识到，计算机代数并非是脱离实际的理论，而是解决现实世界问题的强大工具。我对书中关于“符号计算软件”的使用介绍也充满了兴趣，希望能够通过学习这本书，掌握一些主流的符号计算软件，比如Mathematica或Maple，并能够利用它们来解决更复杂的问题。

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《Modern Computer Algebra》不仅仅是一本教科书，更像是一次引人入胜的智力冒险。作者的语言风格既严谨又不失幽默，他善于在枯燥的数学推导中穿插一些有趣的故事和历史轶事，这让阅读过程充满了惊喜。我曾在一个关于“数域扩张”的章节中，学到了关于伽罗瓦理论的历史发展过程，以及它在解决方程根式解问题上的突破性贡献。这让我对数学家们孜孜不倦的探索精神充满了敬意。书中关于“代数曲线”的介绍也让我大开眼界，它将几何直观与代数运算相结合，展现了数学的另一番魅力。作者通过一些可视化的例子，展示了不同代数曲线的形状和性质，以及它们在密码学、计算机图形学等领域的应用。我尤其对书中关于“椭圆曲线密码学”的讲解非常感兴趣，这是一种目前应用最广泛、安全性最高的公钥加密技术之一。通过学习这本书，我不仅掌握了其数学基础，还对其安全性进行了深入的分析。

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《Modern Computer Algebra》的结构安排非常合理，循序渐进，从易到难，让我能够逐步掌握计算机代数的精髓。我曾在一个关于“多项式插值”的章节中，学习了拉格朗日插值法和牛顿插值法，并对它们的原理和优缺点进行了比较。作者通过一些生动的例子，展示了如何利用这些插值方法来逼近复杂的函数，或者从离散的数据点中恢复出原始函数。我特别对书中关于“有理函数插值”的讲解感兴趣，它是一种更强大的插值方法，能够处理具有奇点的函数，并在工程和科学领域有广泛的应用。这本书不仅涵盖了基础的数学知识，还涉及了一些前沿的研究方向，它就像一座通往计算机代数世界的桥梁，为我打开了一扇新的大门。

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这本书的封面设计着实吸引了我，那深邃的蓝色背景，配上简洁而现代的字体，仿佛预示着一段探索抽象数学奥秘的旅程。拿到书的那一刻，一股沉甸甸的知识感扑面而来，页面的纸张触感也相当不错，厚实而有质感，这对于需要反复翻阅的参考书来说，无疑是一大福音。我一直对计算机代数这个领域充满好奇，但市面上很多书籍要么过于理论化，让人望而却步，要么又过于浅显，难以深入。而《Modern Computer Algebra》给我的第一印象是，它似乎找到了一个绝佳的平衡点。从目录上看，它涵盖了从基础概念到高级算法的广泛内容，诸如多项式运算、符号计算、代数编码理论等等，这些都是我一直想要深入了解的课题。我尤其期待它在具体算法实现方面的讲解，希望能从中获得一些实操性的指导，以便将其应用于我自己的研究项目中。当然，阅读过程中我也预见到了一些挑战，毕竟计算机代数涉及到严谨的数学推导，但正是这种挑战，让我对这本书充满了期待，我相信它能够引领我进入这个迷人的领域，并在这个过程中不断提升我的数学和编程能力。这本书的结构安排也显得十分合理，逻辑清晰，循序渐进，从基础的概念出发，逐步过渡到更复杂的主题，这对于初学者来说无疑是至关重要的。

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《Modern Computer Algebra》给我带来的最大价值在于其对“算法分析”的深入探讨。作者并没有仅仅停留在算法的描述层面，而是花了大量的篇幅来分析算法的效率，包括时间复杂度和空间复杂度，并提供了优化算法的思路和方法。我曾在一个关于“字符串匹配”的章节中，学习了KMP算法和Boyer-Moore算法，并对它们的性能进行了详细的比较。作者通过一些图表和数据，清晰地展示了不同算法在处理不同规模数据时的效率差异，这让我对算法的选择和优化有了更直观的认识。我特别对书中关于“NP完全问题”的讨论感兴趣，它揭示了许多计算问题的内在难度，并探讨了解决这些问题的近似算法和启发式算法。这让我意识到，在实际应用中，并非所有问题都能找到最优解，而如何在效率和精度之间找到平衡，则是至关重要的。

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我在阅读《Modern Computer Algebra》的过程中，最大的感受就是知识的系统性和完整性。这本书就像一个精密的知识体系，将计算机代数的各个分支巧妙地联系在一起，形成了一个有机整体。我非常欣赏作者在书中对“递归”和“迭代”这两种重要的计算思维的讲解，它不仅阐述了它们的数学定义，还分析了它们在算法设计中的优势和劣势。书中通过大量的例子，展示了如何将递归和迭代应用于多项式运算、列表处理等问题，这让我对这两种思维方式有了更深刻的理解。我尤其对书中关于“快速傅里叶变换（FFT）”的讲解印象深刻，它是一种非常高效的算法，能够极大地加速多项式乘法等运算。作者不仅详细推导了FFT算法的原理，还分析了它的时间和空间复杂度，并展示了其在信号处理、数据压缩等领域的广泛应用。这本书的深度和广度都令人惊叹，它能够满足不同层次读者的需求，无论是初学者还是有一定基础的研究者，都能从中受益匪浅。

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这本书的语言风格非常适合我。作者的表达方式清晰、准确，没有使用过多的专业术语，或者在首次出现时都会给出明确的解释。我曾在一个关于“群论”的章节中，对“同态”和“同构”这两个概念感到困惑，但作者通过一个生动的例子，将这两个抽象的数学概念解释得非常透彻。他将群比作一个“操作集合”，而同态则是一种“保持操作性质的映射”。这种直观的解释方式，让我能够迅速理解并掌握这些概念。我特别喜欢书中关于“表示论”的讲解，它将抽象的群论概念与具体的线性代数联系起来，展现了数学的融合之美。作者通过一些例子，展示了如何利用矩阵来表示群的元素，并利用矩阵运算来模拟群的操作。这让我对群论的理解上升到了一个新的层面，也为我后续学习相关的领域打下了坚实的基础。这本书不仅仅是知识的传递，更是一种思维的启迪。

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这本书的例子选择得非常贴切，能够有效地帮助我理解抽象的数学概念。我曾在一个关于“模方程”的章节中，学习了如何求解线性同余方程组，而作者则通过一个关于“中国剩余定理”的例子，将这一抽象的数学工具应用于实际问题中，例如在密码学中进行密钥的分割和重组。这种将理论与实际相结合的讲解方式，极大地提升了我学习的积极性和兴趣。我特别喜欢书中关于“线性代数”在计算机代数中的应用，它展示了如何利用矩阵和向量来表示和处理多项式、代数方程组等。作者通过一些例子，例如利用高斯消元法求解线性方程组，或者利用矩阵的特征值来分析多项式的性质，让我对线性代数的强大威力有了更深刻的认识。这本书的每一页都充满了智慧和启迪，我从中不仅学到了知识，更学会了如何思考。

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这本书的附录部分也给我留下了深刻的印象。作者在附录中整理了一些常用的数学公式、定理和符号，这对于我这种需要经常查阅参考资料的学习者来说，无疑是一大便利。我曾在阅读过程中，对某些定义和定理的回顾需求，而附录中的内容正好能够满足我的需求，让我能够快速定位并巩固这些知识。此外，书中还提供了一些关于“算法实现”的建议和技巧，以及对不同编程语言在计算机代数计算中的适用性的分析。这让我对如何将书中的理论知识转化为实际的计算机程序有了更清晰的思路。总而言之，《Modern Computer Algebra》是一本集深度、广度、易读性和实用性于一体的优秀著作，它不仅能够帮助我深入理解计算机代数的理论，还能指导我如何在实际问题中应用这些知识，是我在计算机代数领域的宝贵财富。

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这本书的排版设计给我留下了深刻的印象，每一页都显得整洁有序，公式的排版尤为出色，清晰易读，没有出现任何模糊不清或难以辨认的情况。作者在讲解过程中，善于使用类比和图示，将抽象的概念具象化，这对于我这种更偏向直观理解的学习者来说，简直是福音。例如，在解释“模运算”的概念时，作者就用了一个非常生动的例子，将数学上的抽象操作转化为了我们日常生活中可以理解的场景，这大大降低了理解的难度。我特别喜欢书中关于“有限域”的章节，它不仅解释了有限域的数学定义，还探讨了其在编码理论和密码学中的重要应用。作者通过一些具体的例子，展示了如何利用有限域来构造纠错码和加密算法，这让我对这个看似枯燥的数学概念产生了浓厚的兴趣。此外，书中对“数论算法”的讲解也相当到位，对于我这种希望深入了解RSA算法、Diffie-Hellman密钥交换等经典密码学算法的读者来说，这本书无疑是宝藏。我从中不仅学到了算法的原理，还对它们的计算复杂度和安全性有了更深入的理解。

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Euclid、Newton、GauB、Fermat、Hilbert

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计算机主要研究数和多项式，（数论和代数几何）而这两者的结构和算术相似性---这就是抽象代数的全部思想。欧几里得算法，牛顿算法，高斯算法，费马算法，希尔伯特算法这是个谱系。中心问题是多项式分解。数和多项式要讨论：乘，除（带余式），公因子，中国剩余定理。区别在于多项式的结式和分解因子定理

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计算机主要研究数和多项式，（数论和代数几何）而这两者的结构和算术相似性---这就是抽象代数的全部思想。欧几里得算法，牛顿算法，高斯算法，费马算法，希尔伯特算法这是个谱系。中心问题是多项式分解。数和多项式要讨论：乘，除（带余式），公因子，中国剩余定理。区别在于多项式的结式和分解因子定理

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