射影几何学 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:高等教育出版社

作者:切特维鲁新

出品人:

页数:378

译者:东北师范大学几何教研室

出版时间:1955-5

价格:0

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• 机器视觉
• 射影几何
• 几何学
• 数学
• 高等数学
• 代数几何
• 射影变换
• 齐次坐标
• 透视原理
• 计算机图形学
• 应用数学

射影几何学 历史的维度与空间的重塑 《射影几何学》是一部深入探索几何学核心概念的著作，它以一种独特而深刻的视角，揭示了空间形态在投影变换下的不灭本质。本书并非仅仅罗列枯燥的定理和公式，而是力求带领读者穿越历史的长河，理解射影几何学的诞生与演进，感受数学家们如何从对现实世界的观察与抽象中，构建出这一迷人的数学分支。 一、 追溯起源：透视法的启蒙与数学的曙光 射影几何学的萌芽，可以追溯到文艺复兴时期。当时的艺术家们，为了在二维平面上真实地描绘三维世界，潜心研究透视法。他们发现，将物体投射到平面上时，平行线会在远方汇聚于一点，物体的大小会随着距离的增加而缩小，这些“看似不准确”的现象，背后却蕴含着深刻的空间规律。正是这些对视觉现象的敏锐观察和数学化尝试，为日后射影几何学的系统化奠定了基础。 15世纪的意大利，正是透视法大放异彩的时代。阿尔贝蒂（Leon Battista Alberti）在其著作《绘画论》中，首次系统地提出了用几何方法来解决透视问题的思路。他将画面想象成一个“截面”，物体通过一个“视点”投射到这个平面上。这种将三维物体“投影”到二维平面的思想，是射影几何学的核心理念之一。随后的达芬奇、丢勒等艺术家，也在实践中不断完善透视技巧，对远近、大小、形状的相对关系进行了更精妙的数学刻画。 然而，彼时的透视法更多地服务于艺术创作，其数学理论的严谨性尚有不足。直到17世纪，笛卡尔的解析几何诞生，为几何学注入了新的活力。解析几何将几何图形与代数方程联系起来，使得对几何性质的研究更加精确和系统。虽然解析几何主要关注欧几里得空间的性质，但其代数化的方法，也为后来射影几何学的代数处理提供了工具。 二、 奠基之功：德扎格与帕斯卡，射影几何的父与子 射影几何学真正作为一门独立的数学分支出现，则要归功于17世纪的两位法国数学家——德扎格（Gérard Desargues）和帕斯卡（Blaise Pascal）。 德扎格被誉为“射影几何学之父”。他在1639年发表的《论圆锥曲线的相切》（Essai sur les coniques）一文中，提出了一个具有划时代意义的定理，即著名的“德扎格定理”。该定理描述了两个三角形，如果它们的对应顶点连线共点，那么它们的对应边（或其延长线）必共点。这个定理的关键在于，它不依赖于角度和距离等度量性质，而是关注点线之间的“投射”关系，这正是射影几何学的核心。德扎格还提出了“极点与极线”的概念，为研究圆锥曲线的性质提供了强大的工具。他的思想虽然在当时并未被广泛理解，但其深刻性在后世得到了充分的认识。 几乎与德扎格同时期，年仅16岁的帕斯卡就已经在射影几何学领域做出了杰出贡献。他提出的“帕斯卡定理”（也称为“射影定理”）是射影几何学中的另一个基石。帕斯卡定理指出，任意圆锥曲线内接一个六点形，则这六个顶点的三对对边（或其延长线）的交点共点。这个定理同样具有高度的射影不变性，它揭示了圆锥曲线在射影变换下的内在规律，显示了数学家的非凡洞察力。帕斯卡不仅提出了定理，还对其进行了详尽的证明，并进一步推导出了许多关于圆锥曲线的射影性质。 德扎格和帕斯卡的贡献，标志着射影几何学的独立诞生。他们摆脱了欧几里得几何中对度量性质的依赖，开创了一种全新的研究几何学的视角。 三、 发展与拓展：庞加莱、克莱因与现代射影几何 19世纪，射影几何学迎来了蓬勃发展的时期。数学家们在德扎格和帕斯卡的基础上，进一步完善了理论体系，并将其应用于更广泛的领域。 意大利数学家普吕克（Julius Plücker）在19世纪中期，将“线坐标”引入几何学，从而实现了对点和线的对偶研究。这极大地丰富了射影几何学的语言和方法。他通过线坐标，将圆锥曲线的方程从二次降到了三次，并为研究射影几何学中的对偶原理奠定了基础。 随后，德国数学家克莱因（Felix Klein）在20世纪初，提出了著名的“克莱因纲领”。他认为，几何学可以看作是研究在特定变换群下不变的性质。根据克莱因的观点，射影几何学就是研究在射影变换群下不变的性质。这一思想将射影几何学置于更广阔的变换群的框架下，使其与其他几何学（如仿射几何、欧几里得几何）产生了深刻的联系。克莱因的观点极大地推动了现代几何学的发展，将射影几何学从一个相对独立的领域，融入了更宏大的数学体系之中。 与此同时，法国数学家庞加莱（Henri Poincaré）在微分几何和拓扑学领域做出了卓越贡献。他的工作，特别是关于“庞加莱复形”和“流形”的理论，虽然并非直接关于射影几何学，但其思想的深刻性，特别是对空间结构的抽象研究，与射影几何学在“空间本质”的探索上有着异曲同工之妙。庞加莱的贡献，间接促进了对更抽象、更一般化几何空间的理解，为射影几何学在更广泛的数学领域中的应用打下了基础。 四、 核心概念的精炼：点、线、面与射影不变性 《射影几何学》的核心，在于对“射影不变性”的深入剖析。在射影变换下，许多我们熟悉的欧几里得几何性质会发生改变，例如长度、角度、面积等。然而，一些更本质的性质却能够得以保持。 点与线： 射影几何学最基本的元素是点和线。点在线上，线过点，这些关系是射影变换下不变的。 交点与共点： 几条直线相交于一点，或者几个点共于一条直线，这些“共点”或“共线”的关系，在射影变换下依然成立。 重比（Cross-ratio）： 这是射影几何学中最重要的不变量之一。对于一条直线上的四个点，或者一条直线经过的四个点（形成一组共点线），它们的重比是不随射影变换而改变的。重比的概念，使得我们可以对点和线之间的相对位置关系进行精确的度量，即使在投影之后。 圆锥曲线： 圆锥曲线（如圆、椭圆、抛物线、双曲线）是射影几何学中的重要研究对象。在射影变换下，一个圆锥曲线可以变成另一个圆锥曲线，但它仍然是一个圆锥曲线。帕斯卡定理和德扎格定理都与圆锥曲线的射影性质密切相关。 对偶原理： 射影几何学的一个迷人之处在于其对偶性。点与线之间存在一种天然的对偶关系。一个关于点的定理，可以通过将“点”和“线”互换，“点在直线上”替换为“直线过点”，得到一个对应的关于线的定理。这种对偶性大大简化了定理的发现和证明过程。 五、 应用的广度：从艺术到科学的跨越 射影几何学虽然是一门抽象的数学理论，但其应用却十分广泛，渗透到科学和技术的各个领域。 计算机图形学： 在现代计算机图形学中，三维场景的渲染离不开射影变换。从三维模型投影到二维屏幕上，需要精确的射影计算，以模拟人眼的观察方式。 计算机视觉： 计算机视觉系统需要从二维图像中恢复三维场景的信息，这同样依赖于射影几何学。通过分析图像中的点线关系、多视图几何等，可以实现三维重建、物体识别等功能。 摄影学： 摄影师在选择镜头、构图时，实际上就是在运用射影几何学的原理。镜头相当于一个投影仪，将三维世界投影到胶片或传感器上。 物理学： 在某些物理学领域，如广义相对论，空间和时间被统一在一个四维时空中。在这个时空中，射影几何的思想同样有所体现，特别是在描述引力场等概念时。 工程学： 在建筑设计、机械制造等领域，有时也需要用到射影几何学的原理来确保结构的稳定性和视觉的协调性。 结语： 《射影几何学》是一部引导读者探索空间奥秘的经典之作。它以其深刻的理论、严谨的证明和广泛的应用，展现了数学的魅力。本书不仅是对几何学的一次系统梳理，更是一次对人类认识世界方式的深刻反思。通过阅读本书，我们将能更深入地理解空间的本质，更敏锐地捕捉形变的规律，更自信地驾驭抽象的数学工具，从而在科学和艺术的道路上，迈出更坚实的步伐。它邀请我们一同重新审视我们习以为常的空间，发现隐藏在其下的和谐与秩序，感受数学的力量如何重塑我们的认知。

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初读此书，我最大的感受是作者对于逻辑严谨性的近乎苛刻的追求。每一个定理的推导过程，都如同瑞士钟表匠制作最精密的机械，每一个齿轮的咬合都必须天衣无缝，不允许丝毫的松懈。我尤其欣赏作者在引入“无穷远点”和“无穷远线”这些概念时所展现出的高超的叙事技巧。他没有直接抛出一个令人困惑的抽象概念，而是通过一系列精心设计的视点变换和极限思考，巧妙地将读者引向那个“边界之外”的世界。这种渐进式的引导，让原本抽象的拓扑概念变得触手可及。书中的习题部分，难度设置也极具层次感，从基础的性质验证，到需要创造性思维的几何构造问题，无不考验着读者的理解深度。我花了整整一个晚上，反复演算其中一道关于对合变换（Polarity）的证明题，那种在迷雾中摸索，最终豁然开朗的成就感，是其他许多数学读物难以给予的。这本书，真正做到了将“思考的过程”本身，视为一种深刻的智力享受。

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坦白说，对于一个非专业出身的读者来说，这本书的某些章节确实带来了不小的挑战。尤其是在深入到一些高维空间的抽象结构时，我感觉自己像是被邀请到一场智力高强度的宴会，需要全神贯注才能跟上主人的节奏。但是，正是这种略带“难度”的特质，赋予了这本书持久的价值。它不是那种读完一遍就能束之高阁的消遣读物，而是需要反复研读、时常回顾的工具书。每当我将这本书从书架上取下，重新翻阅那些曾经感到困惑的段落时，总能发现新的理解层次。作者在处理复杂概念时的那种冷静和沉着，也潜移默化地影响了我——在面对复杂问题时，保持镇定，回归基础定义，往往是找到突破口的关键。这本书对读者的要求很高，但它给予的回报，是更深刻的数学洞察力和更强的逻辑韧性。

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这本书的排版和装帧质量简直无可挑剔，拿在手里沉甸甸的，体现了出版方对内容严肃性的尊重。纸张的选择偏向于哑光质地，既保护了视力，又保证了墨迹的清晰度，长时间阅读下来也不会感到眼睛疲劳。我特别欣赏书中对历史人物和早期几何学家的提及，这些简短的传记式旁注，为冰冷的数学公式增添了一份人文色彩和温度。它让我们明白，这些伟大的理论并非凭空出现，而是历经了无数先驱者思想的碰撞与打磨。翻阅全书，我体验到了一种纯粹的学术愉悦，它像一位耐心且博学的导师，不催促，不苛责，只是静静地展示着知识的殿堂如何一步步搭建起来的。这本书不仅仅是关于射影几何的知识集合，它更像是一次精神的洗礼，引导我体验了数学思维的优雅与深度。

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这本著作最令我印象深刻的，是它在连接不同数学分支方面的卓越能力。它绝非一本孤立的纯几何书籍，作者巧妙地织就了一张网，将代数、分析乃至现代物理学的某些基础思想巧妙地融入到对几何结构本质的探讨之中。例如，在讨论完射影变换的矩阵表示后，作者立刻引入了二次型（Quadratic Forms）的概念，清晰地展示了如何用矩阵运算来刻画和识别不同的二次曲线，这种视角转换的力量是巨大的。它提醒我们，几何的“形”与代数的“数”并非楚河汉界，而是同一事物的两种表达方式。书中对“对偶性原理”的阐述更是精彩，它不仅用语言说明了这一点，更通过一系列对称性的定理对比，让读者亲身体验到这种和谐之美。对于那些渴望看到数学统一性和内在联系的读者而言，这本书无疑提供了一个绝佳的窗口，它超越了传统的学科壁垒，展现了数学世界的宏大架构。

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这本书的封面设计简直是一场视觉的盛宴，深邃的蓝与神秘的紫交织出一种仿佛能穿越时空的魔力，让人在拿起它的瞬间就感受到一股扑面而来的学术气息。我特意选了一个安静的午后，泡上一杯浓郁的伯爵茶，小心翼翼地翻开了第一页。作者的引言部分，并没有直接陷入那些晦涩难懂的定义，反而像一位经验老道的向导，娓娓道来数学这片广袤疆域中最古老、也最富魅力的角落之一是如何诞生的。他从古希腊的几何直觉谈起，描绘了透视法在文艺复兴时期如何将二维平面赋予三维的错觉，这种对历史脉络的梳理，极大地激发了我探究其深层结构的渴望。更值得称赞的是，作者在基础概念的铺陈上，保持了一种罕见的克制与精准，没有过度冗余的叙述，使得初学者也能相对平顺地跨过最初的门槛。书中配有的插图精美绝伦，线条的粗细和角度的拿捏都恰到好处，将那些抽象的点、线、面关系具象化，让我这个对纯理论有些畏惧的读者，也能在脑海中构建出清晰的几何模型。这本书不仅仅是一本教材，更像是一件精心打磨的艺术品，引导着我们以全新的视角去审视我们所处和想象的空间。

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