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出版者:

作者:Frank Schaffer Publications

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頁數:0

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價格:39.00 元

裝幀:

isbn號碼:9780768201970

叢書系列:

圖書標籤:

• 幾何學
• 數學
• 圖形
• 空間
• 定理
• 證明
• 解析幾何
• 三角學
• 代數
• 教育

寰宇探秘：從古老智慧到前沿疆域的航行 引言：超越平麵的思辨之域 本書並非專注於歐幾裏得的平麵幾何世界，亦非沉溺於解析幾何的代數框架。它是一部帶領讀者橫渡數學知識海洋、探索空間結構本質的宏大敘事。我們緻力於揭示那些超越我們日常感官經驗，卻又深刻影響著物理現實和技術進步的幾何學分支。本書將帶領讀者領略從黎曼麯率到拓撲不變量的精彩旅程，聚焦於那些構建現代物理學和復雜係統理論的幾何語言。 第一部分：彎麯時空的幾何學基礎 第一章：微分幾何的蘇醒——從切綫到張量場 本章將基礎歐幾裏得空間的概念進行拓展，引入微分流形的思想。流形，這個看似抽象的概念，實則是描述光滑、局部具有歐幾裏得性質空間的數學工具。我們將深入剖析切空間的概念，理解如何在麯麵上定義“方嚮”和“速度”。 重點在於黎曼度量張量的構建。我們不再滿足於簡單的歐氏距離，而是探討如何用一個二階張量來度量流形上任意兩點之間的“長度”和“角度”。這一工具是連接幾何形狀與測量的橋梁。隨後，我們將介紹聯絡的概念，特彆是列維-奇維塔聯絡，它定義瞭如何在彎麯空間中進行“平行移動”——一個在非綫性空間中定義導數和梯度的關鍵步驟。 第二章：麯率的深刻內涵——描述空間的不平坦性 如果說度量張量定義瞭空間的“尺度”，那麼麯率則描述瞭空間的“形狀”。本章將係統闡述黎曼麯率張量的構造，展示它如何編碼瞭空間在不同方嚮上彎麯的程度。我們將通過“平行四邊形閉閤性”的直觀概念，理解麯率張量如何量化瞭空間的不整閤性。 我們還會詳細探討裏奇麯率和標量麯率，它們是愛因斯坦引力場方程的核心元素。通過具體的二維麯麵（如球麵和雙麯麵）實例，讀者將清晰地看到，麯率並非一個孤立的數值，而是描述瞭空間內部幾何性質的復雜函數。我們還將觸及測地綫的概念，即彎麯空間中的“直綫”，並探討測地綫偏離的速率如何被麯率所決定。 第二部分：拓撲的宏偉視角——不變量與形變 第三章：拓撲學的誕生——連續形變的藝術 本章將視綫從精確的度量和角度轉移到更根本的屬性——拓撲性質。拓撲學，常被稱為“橡皮泥幾何”，關注的是在連續形變下（拉伸、彎麯，但不允許撕裂或粘閤）保持不變的性質。我們將介紹同胚和同倫的概念，理解它們在分類空間結構上的威力。 核心議題是拓撲不變量的探索。我們將深入研究基本群（Fundamental Group）和同調群（Homology Groups）。基本群描述瞭空間中環路的可收縮性，是區分圓環麵和球麵的有力工具。同調群則通過“洞”的數量和維度來描述空間的結構，例如，理解一個三維空間中存在多少個“空腔”或“管道”。 第四章：流形分類與嵌入理論 在掌握瞭基本的拓撲工具後，本章緻力於對低維流形進行分類。我們將探討二維流形分類定理（如球麵、環麵、射影平麵），理解這些看似簡單的錶麵是如何通過其虧格（Genus）而被完全確定的。 隨後，我們將過渡到更高維度的嵌入問題。史汀羅德定理將作為重要的裏程碑，探討高維空間中的對象（如球麵）是否能被嵌入到另一個更高維空間中而不自交。嵌入理論不僅是純粹的幾何挑戰，也是理解高維數據空間結構的關鍵。 第三部分：應用幾何的拓展——從動力係統到離散結構 第五章：動力係統的幾何化——相空間的拓撲結構 本章將幾何學與時間演化相結閤。我們將把一個動力係統的演化軌跡視為一個在相空間（Phase Space）中的麯綫。相空間本身是一個流形，其結構直接決定瞭係統的長期行為。 我們將分析李雅普諾夫指數與係統敏感依賴性的幾何關聯。通過龐加萊截麵技術，我們將原本無限維的動力學問題，轉化為一個在低維流形上的迭代映射問題，從而利用拓撲工具來研究係統的穩定性和混沌行為。本章旨在說明，即便是最復雜的混沌係統，其行為模式也可能被其相空間的內在幾何屬性所約束。 第六章：離散幾何與組閤拓撲 並非所有重要的幾何結構都是光滑的。本章探討瞭離散幾何，特彆是單純復形（Simplicial Complexes）在建模幾何對象中的應用。單純復形，由頂點、邊、麵等基本單元構成，是構建計算機圖形學、有限元分析和網絡拓撲結構的基礎。 我們將討論歐拉示性數在離散結構中的推廣，以及它與連續幾何中拓撲不變量的聯係（如龐加萊-霍普夫定理的離散版本）。本章強調瞭如何用離散的、組閤的方式來捕捉和分析那些本質上是連續的幾何現象，為現代計算幾何和數據分析提供瞭理論支撐。 結語：未盡的探索 本書所涉獵的幾何學領域，遠不止於此。我們僅是描繪瞭一幅宏偉的藍圖，展示瞭從度量到拓撲、從連續到離散的深刻聯係。真正的魅力在於，這些抽象的數學工具，正在持續地為我們理解宇宙的結構、設計復雜的技術、乃至探索信息世界的內在規律提供不可或缺的語言。幾何學的疆域永無止境，等待著下一位勇敢的探險傢。

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我是一個資深的書籍收藏者，對紙質書的質感有著近乎苛刻的要求。《幾何學》在裝幀和印刷質量上，絕對稱得上是精品之作。紙張選用瞭略帶米黃色的高剋重銅版紙，手感厚實，既能承載復雜的插圖，又不會因為太白而導緻長時間閱讀産生視覺疲勞。墨水的滲透效果一流，即便是最精細的圖綫和最小的腳注，都清晰銳利，沒有絲毫的洇墨現象。裝訂方式似乎采用瞭綫裝加膠裝的混閤工藝，書頁平攤性非常好，無論翻到哪個部分，書脊都不會感到緊綳或卡頓，這對於需要頻繁查閱參考的書籍來說至關重要。此外，附帶的索引做得極其詳盡，查找特定概念方便快捷，可以看齣齣版方在細節上確實下瞭大功夫。這本書的重量和尺寸拿在手裏，就有一種沉甸甸的、值得信賴的感覺，完全符閤一本經典著作應有的體麵。

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這本書的結構安排簡直是教科書級彆的典範。它遵循瞭一種非常自然的、由淺入深的邏輯鏈條，完美地避開瞭那些讓人望而生畏的突兀轉摺。開篇從最基礎的點、綫、麵入手，但敘述的角度非常新穎，著重於它們在不同曆史時期被賦予的“意義”，而不是直接給齣定義。隨著章節的推進，它循序漸進地引入瞭更復雜的歐幾裏得體係，講解清晰到連我那位對幾何學感到頭疼的弟弟也能勉強跟上節奏。最讓我印象深刻的是關於拓撲學的引入部分，作者用非常生動有趣的例子（比如著名的“柯尼斯堡七橋問題”的變體）來闡釋空間形變的原理，完全沒有使用艱澀的專業術語，這讓那些原本高深的抽象概念變得觸手可及。閱讀體驗上，這本書的用詞非常考究，遣詞造句精準而富有韻律感，讀起來有一種古典文學的美感，完全沒有一般理工書籍那種乾巴巴的味道。可以說，這本書成功地將嚴謹性與可讀性做到瞭一個極佳的平衡點。

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老實說，我買這本書的時候，是抱著“姑且一試”的心態，畢竟市麵上的幾何書籍大多韆篇一律，無非是定理、證明、習題的堆砌。但《幾何學》這本書的獨特之處在於它的“深度挖掘”和“跨界融閤”。作者顯然不是一個隻埋頭於公式的數學傢，他非常擅長將幾何學的概念與藝術、建築乃至自然界的形態聯係起來。比如，在講解黃金比例時，他不僅僅給齣瞭數學錶達式，還深入探討瞭達芬奇的畫作中是如何運用這些比例來達到視覺上的和諧，甚至延伸到瞭現代工業設計的美學原則。這種多維度的解析方式，極大地拓寬瞭我的視野，讓我意識到幾何學遠不止於紙麵上的推演，它滲透在我們生活的方方麵麵。我特彆欣賞他對於“證明”這一過程的論述，他強調的不是機械地套用步驟，而是那種從混沌中提煉秩序的思維過程，這對我日常解決問題的方式都有潛移默化的影響。這本書的文字力度非常強，充滿瞭哲思，讀完一個章節，常常需要停下來，靜靜地迴味其中蘊含的深刻哲理。

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我通常對那種“普及性”數學讀物持保留態度，因為它們往往為瞭追求通俗而犧牲瞭內容的嚴謹性，讀完後總感覺知識點浮於錶麵，無法真正內化。然而，《幾何學》這本書成功地找到瞭一個非常微妙的平衡點，它在保持學術高度的同時，極大地優化瞭讀者的接受體驗。作者在闡述諸如黎曼幾何等前沿概念時，並沒有采取簡化的態度，而是巧妙地構建瞭一係列類比和直覺模型，幫助讀者在大腦中搭建起抽象的認知框架，而不是簡單地告訴我們“結論是什麼”。這種循循善誘、注重思維建構的寫作手法，讓我覺得作者是在與讀者進行一場平等的、智慧的交流，而不是高高在上的說教。我尤其欣賞作者在引用曆史典故時所錶現齣的那種學術尊重，他不僅交代瞭定理的發現者，還考證瞭當時社會背景對這一發現的影響，使得整個幾何學發展史變得有血有肉，充滿張力。讀完後，我感覺自己不僅學到瞭幾何知識，更像是進行瞭一次對人類理性思維邊界的深刻探索。

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這本《幾何學》的封麵設計簡直是一場視覺盛宴，那種深邃的藍色調，搭配著燙金的簡潔綫條，立刻抓住瞭我的眼球。我本以為這會是一本枯燥的教科書，但翻開第一頁，我就被作者那種娓娓道來的敘事方式給吸引住瞭。他沒有直接拋齣那些復雜的公式和定理，而是從古希臘的哲學傢們如何觀察星辰、測量土地開始講起，仿佛在帶領我們進行一場穿越時空的探險。讀著讀著，我仿佛能看到歐幾裏得在雅典的陽光下，用粉筆在沙盤上勾勒齣那些永恒的圖形。書中的插圖繪製得極其精美，那些復雜的立體圖形，在作者的筆下變得異常清晰易懂，即便是像我這種對數學有天然抗拒感的人，也能從中找到樂趣。特彆是關於非歐幾何的那幾個章節，作者的講解邏輯嚴密又充滿啓發性，讓我開始重新思考“直綫”和“平麵”的真正含義。這本書的排版也深得我心，留白恰到好處，閱讀起來一點都不費神，讓閱讀過程變成瞭一種享受，而不是負擔。它更像是一本關於人類理性思維發展史的散文集，而不是單純的數學專著，成功地將硬核的知識與人文關懷完美地融閤在瞭一起，讓人愛不釋手。

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