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出版者:

作者:Frank Schaffer Publications

出品人:

页数:0

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出版时间:

价格:39.00 元

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isbn号码:9780768201970

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• 几何学
• 数学
• 图形
• 空间
• 定理
• 证明
• 解析几何
• 三角学
• 代数
• 教育

寰宇探秘：从古老智慧到前沿疆域的航行 引言：超越平面的思辨之域 本书并非专注于欧几里得的平面几何世界，亦非沉溺于解析几何的代数框架。它是一部带领读者横渡数学知识海洋、探索空间结构本质的宏大叙事。我们致力于揭示那些超越我们日常感官经验，却又深刻影响着物理现实和技术进步的几何学分支。本书将带领读者领略从黎曼曲率到拓扑不变量的精彩旅程，聚焦于那些构建现代物理学和复杂系统理论的几何语言。 第一部分：弯曲时空的几何学基础 第一章：微分几何的苏醒——从切线到张量场 本章将基础欧几里得空间的概念进行拓展，引入微分流形的思想。流形，这个看似抽象的概念，实则是描述光滑、局部具有欧几里得性质空间的数学工具。我们将深入剖析切空间的概念，理解如何在曲面上定义“方向”和“速度”。 重点在于黎曼度量张量的构建。我们不再满足于简单的欧氏距离，而是探讨如何用一个二阶张量来度量流形上任意两点之间的“长度”和“角度”。这一工具是连接几何形状与测量的桥梁。随后，我们将介绍联络的概念，特别是列维-奇维塔联络，它定义了如何在弯曲空间中进行“平行移动”——一个在非线性空间中定义导数和梯度的关键步骤。 第二章：曲率的深刻内涵——描述空间的不平坦性 如果说度量张量定义了空间的“尺度”，那么曲率则描述了空间的“形状”。本章将系统阐述黎曼曲率张量的构造，展示它如何编码了空间在不同方向上弯曲的程度。我们将通过“平行四边形闭合性”的直观概念，理解曲率张量如何量化了空间的不整合性。 我们还会详细探讨里奇曲率和标量曲率，它们是爱因斯坦引力场方程的核心元素。通过具体的二维曲面（如球面和双曲面）实例，读者将清晰地看到，曲率并非一个孤立的数值，而是描述了空间内部几何性质的复杂函数。我们还将触及测地线的概念，即弯曲空间中的“直线”，并探讨测地线偏离的速率如何被曲率所决定。 第二部分：拓扑的宏伟视角——不变量与形变 第三章：拓扑学的诞生——连续形变的艺术 本章将视线从精确的度量和角度转移到更根本的属性——拓扑性质。拓扑学，常被称为“橡皮泥几何”，关注的是在连续形变下（拉伸、弯曲，但不允许撕裂或粘合）保持不变的性质。我们将介绍同胚和同伦的概念，理解它们在分类空间结构上的威力。 核心议题是拓扑不变量的探索。我们将深入研究基本群（Fundamental Group）和同调群（Homology Groups）。基本群描述了空间中环路的可收缩性，是区分圆环面和球面的有力工具。同调群则通过“洞”的数量和维度来描述空间的结构，例如，理解一个三维空间中存在多少个“空腔”或“管道”。 第四章：流形分类与嵌入理论 在掌握了基本的拓扑工具后，本章致力于对低维流形进行分类。我们将探讨二维流形分类定理（如球面、环面、射影平面），理解这些看似简单的表面是如何通过其亏格（Genus）而被完全确定的。 随后，我们将过渡到更高维度的嵌入问题。史汀罗德定理将作为重要的里程碑，探讨高维空间中的对象（如球面）是否能被嵌入到另一个更高维空间中而不自交。嵌入理论不仅是纯粹的几何挑战，也是理解高维数据空间结构的关键。 第三部分：应用几何的拓展——从动力系统到离散结构 第五章：动力系统的几何化——相空间的拓扑结构 本章将几何学与时间演化相结合。我们将把一个动力系统的演化轨迹视为一个在相空间（Phase Space）中的曲线。相空间本身是一个流形，其结构直接决定了系统的长期行为。 我们将分析李雅普诺夫指数与系统敏感依赖性的几何关联。通过庞加莱截面技术，我们将原本无限维的动力学问题，转化为一个在低维流形上的迭代映射问题，从而利用拓扑工具来研究系统的稳定性和混沌行为。本章旨在说明，即便是最复杂的混沌系统，其行为模式也可能被其相空间的内在几何属性所约束。 第六章：离散几何与组合拓扑 并非所有重要的几何结构都是光滑的。本章探讨了离散几何，特别是单纯复形（Simplicial Complexes）在建模几何对象中的应用。单纯复形，由顶点、边、面等基本单元构成，是构建计算机图形学、有限元分析和网络拓扑结构的基础。 我们将讨论欧拉示性数在离散结构中的推广，以及它与连续几何中拓扑不变量的联系（如庞加莱-霍普夫定理的离散版本）。本章强调了如何用离散的、组合的方式来捕捉和分析那些本质上是连续的几何现象，为现代计算几何和数据分析提供了理论支撑。 结语：未尽的探索 本书所涉猎的几何学领域，远不止于此。我们仅是描绘了一幅宏伟的蓝图，展示了从度量到拓扑、从连续到离散的深刻联系。真正的魅力在于，这些抽象的数学工具，正在持续地为我们理解宇宙的结构、设计复杂的技术、乃至探索信息世界的内在规律提供不可或缺的语言。几何学的疆域永无止境，等待着下一位勇敢的探险家。

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我通常对那种“普及性”数学读物持保留态度，因为它们往往为了追求通俗而牺牲了内容的严谨性，读完后总感觉知识点浮于表面，无法真正内化。然而，《几何学》这本书成功地找到了一个非常微妙的平衡点，它在保持学术高度的同时，极大地优化了读者的接受体验。作者在阐述诸如黎曼几何等前沿概念时，并没有采取简化的态度，而是巧妙地构建了一系列类比和直觉模型，帮助读者在大脑中搭建起抽象的认知框架，而不是简单地告诉我们“结论是什么”。这种循循善诱、注重思维建构的写作手法，让我觉得作者是在与读者进行一场平等的、智慧的交流，而不是高高在上的说教。我尤其欣赏作者在引用历史典故时所表现出的那种学术尊重，他不仅交代了定理的发现者，还考证了当时社会背景对这一发现的影响，使得整个几何学发展史变得有血有肉，充满张力。读完后，我感觉自己不仅学到了几何知识，更像是进行了一次对人类理性思维边界的深刻探索。

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老实说，我买这本书的时候，是抱着“姑且一试”的心态，毕竟市面上的几何书籍大多千篇一律，无非是定理、证明、习题的堆砌。但《几何学》这本书的独特之处在于它的“深度挖掘”和“跨界融合”。作者显然不是一个只埋头于公式的数学家，他非常擅长将几何学的概念与艺术、建筑乃至自然界的形态联系起来。比如，在讲解黄金比例时，他不仅仅给出了数学表达式，还深入探讨了达芬奇的画作中是如何运用这些比例来达到视觉上的和谐，甚至延伸到了现代工业设计的美学原则。这种多维度的解析方式，极大地拓宽了我的视野，让我意识到几何学远不止于纸面上的推演，它渗透在我们生活的方方面面。我特别欣赏他对于“证明”这一过程的论述，他强调的不是机械地套用步骤，而是那种从混沌中提炼秩序的思维过程，这对我日常解决问题的方式都有潜移默化的影响。这本书的文字力度非常强，充满了哲思，读完一个章节，常常需要停下来，静静地回味其中蕴含的深刻哲理。

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我是一个资深的书籍收藏者，对纸质书的质感有着近乎苛刻的要求。《几何学》在装帧和印刷质量上，绝对称得上是精品之作。纸张选用了略带米黄色的高克重铜版纸，手感厚实，既能承载复杂的插图，又不会因为太白而导致长时间阅读产生视觉疲劳。墨水的渗透效果一流，即便是最精细的图线和最小的脚注，都清晰锐利，没有丝毫的洇墨现象。装订方式似乎采用了线装加胶装的混合工艺，书页平摊性非常好，无论翻到哪个部分，书脊都不会感到紧绷或卡顿，这对于需要频繁查阅参考的书籍来说至关重要。此外，附带的索引做得极其详尽，查找特定概念方便快捷，可以看出出版方在细节上确实下了大功夫。这本书的重量和尺寸拿在手里，就有一种沉甸甸的、值得信赖的感觉，完全符合一本经典著作应有的体面。

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这本《几何学》的封面设计简直是一场视觉盛宴，那种深邃的蓝色调，搭配着烫金的简洁线条，立刻抓住了我的眼球。我本以为这会是一本枯燥的教科书，但翻开第一页，我就被作者那种娓娓道来的叙事方式给吸引住了。他没有直接抛出那些复杂的公式和定理，而是从古希腊的哲学家们如何观察星辰、测量土地开始讲起，仿佛在带领我们进行一场穿越时空的探险。读着读着，我仿佛能看到欧几里得在雅典的阳光下，用粉笔在沙盘上勾勒出那些永恒的图形。书中的插图绘制得极其精美，那些复杂的立体图形，在作者的笔下变得异常清晰易懂，即便是像我这种对数学有天然抗拒感的人，也能从中找到乐趣。特别是关于非欧几何的那几个章节，作者的讲解逻辑严密又充满启发性，让我开始重新思考“直线”和“平面”的真正含义。这本书的排版也深得我心，留白恰到好处，阅读起来一点都不费神，让阅读过程变成了一种享受，而不是负担。它更像是一本关于人类理性思维发展史的散文集，而不是单纯的数学专著，成功地将硬核的知识与人文关怀完美地融合在了一起，让人爱不释手。

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这本书的结构安排简直是教科书级别的典范。它遵循了一种非常自然的、由浅入深的逻辑链条，完美地避开了那些让人望而生畏的突兀转折。开篇从最基础的点、线、面入手，但叙述的角度非常新颖，着重于它们在不同历史时期被赋予的“意义”，而不是直接给出定义。随着章节的推进，它循序渐进地引入了更复杂的欧几里得体系，讲解清晰到连我那位对几何学感到头疼的弟弟也能勉强跟上节奏。最让我印象深刻的是关于拓扑学的引入部分，作者用非常生动有趣的例子（比如著名的“柯尼斯堡七桥问题”的变体）来阐释空间形变的原理，完全没有使用艰涩的专业术语，这让那些原本高深的抽象概念变得触手可及。阅读体验上，这本书的用词非常考究，遣词造句精准而富有韵律感，读起来有一种古典文学的美感，完全没有一般理工书籍那种干巴巴的味道。可以说，这本书成功地将严谨性与可读性做到了一个极佳的平衡点。

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