Statistics and Analysis of Shapes pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer-Verlag New York Inc

作者:Krim, Hamid (EDT)/ Yezzi, Anthony, Jr. (EDT)

出品人:

页数:408

译者:

出版时间:2006-5

价格:$ 123.17

装帧:HRD

isbn号码:9780817643768

丛书系列:

图书标签:

• 形状分析
• 统计学
• 几何学
• 数据分析
• 形态学
• 图像处理
• 模式识别
• 计算机视觉
• 数学建模
• 统计形状分析

《空间几何的精妙：从拓扑到黎曼流形》 内容简介： 本书深入探讨了空间几何学的核心概念，旨在为读者构建一个从经典欧几里得空间到现代微分几何的严谨而直观的数学框架。全书的叙事线索围绕着“形状”在不同数学语境下的量化、描述和转化，重点关注拓扑学的不变性原理和黎曼几何中的曲率概念，完全避开了数理统计学和数据分析的具体方法论。 第一部分：基础拓扑与连续形变 本部分首先从集合论的严格基础出发，引入拓扑空间的定义，强调集合的内部结构和邻域的概念，而非依赖于度量。我们将详细阐述开集、闭集、紧致性、连通性等拓扑不变量。随后，重点分析同胚（Homeomorphism）这一核心概念，用大量的实例说明哪些形变（如拉伸、弯曲、扭曲）被拓扑学认为是等价的，哪些操作（如切割、打孔）会改变其拓扑类型。 我们将深入讨论基本群（Fundamental Group）和同调群（Homology Groups）的构造及其应用。基本群如何捕捉空间中“洞”的数量和性质，并以此区分圆环面和球面。同调论的引入，特别是奇异同调，将展示如何通过链复形和边界算子来系统地计算高维拓扑空间的结构，这完全是关于空间固有性质的讨论，与数据拟合或误差分析无关。 本部分对“形状”的理解是定性的，关注的是那些在连续形变下保持不变的内在属性。我们精心设计了许多反直觉的例子，例如克莱因瓶和实射影平面，来展示非嵌入空间的复杂性。 第二部分：流形与微分结构 在建立起拓扑基础后，本书转向了微分流形的概念。流形被定义为局部看起来像欧几里得空间的拓扑空间，强调坐标图册（Atlas）和转移映射（Transition Maps）的平滑性要求。本部分详细解释了如何赋予一个拓扑空间一个微分结构，使其可以进行微积分运算。 我们将讨论切空间（Tangent Space）的构造，这是理解流形上局部线性行为的关键。切向量场、向量场流（Flows of Vector Fields）和微分形式（Differential Forms）的定义和运算（如楔积、外微分）构成了我们分析流形结构的主要工具。本部分会详细阐述德拉姆上同调（de Rham Cohomology），这是一种基于微分形式的拓扑不变量，提供了比代数拓扑更精细的结构信息，完全聚焦于光滑函数的性质。 第三部分：黎曼几何与曲率的量度 本书的最后一部分进入了黎曼几何的核心，即在流形上引入度量——黎曼度量（Riemannian Metric）。这使得我们可以在流形上定义长度、角度和体积，从而对“形状”进行局部量化。 我们将严谨地定义黎曼联络（Riemannian Connection）、平行移动（Parallel Transport）和测地线（Geodesics）——流形上“最短路径”的推广。测地线的概念完全是从几何意义上定义的，与统计学中的优化路径无关。 最重要的核心概念是黎曼曲率张量（Riemann Curvature Tensor）。本书会详细推导曲率张量的定义，并解释它如何捕捉空间在任意切平面上的“弯曲”程度。我们将探讨几种重要的截面曲率（Sectional Curvature）的实例，例如高斯曲率（Gauss Curvature）在二维流形上的几何意义，以及里奇曲率（Ricci Curvature）和标量曲率（Scalar Curvature）在描述局部体积膨胀或收缩方面的作用。 本书最终将展示爱因斯坦场方程的几何原型——里奇曲率与物质能量张量的关系（此处仅从几何结构上讨论，不涉及物理场论的细节），以及霍奇理论（Hodge Theory）如何将黎曼度量下的上同调与微分形式的解联系起来，提供了一个将拓扑、分析和度量融为一体的完整几何框架。 总结： 《空间几何的精妙》是一部专注于理论几何深度的著作，它旨在引导读者掌握从抽象拓扑到具体曲率测量的全过程。全书的重点在于如何通过数学工具精确地描述和区分不同类型的空间结构，其内容完全聚焦于纯粹的几何学和拓扑学理论，不涉及任何概率论、随机过程、模型拟合或数据分布分析等统计学范畴的议题。本书适合具有坚实微积分和线性代数基础的研究生及高年级本科生。

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这本关于形状统计与分析的书籍，我只能说，它提供了一个极其全面且深入的视角来审视我们周围世界的几何形态。从一开始，作者就将读者引入了一个由点、线、面构成的复杂而迷人的宇宙。书中对拓扑学基础的阐述极为扎实，即便是对这个领域初涉足的读者，也能通过清晰的图例和循序渐进的解释，领悟到形状的本质属性，例如连通性和孔洞的存在如何影响我们对一个物体的分类。我特别欣赏作者在处理高维数据时的那种游刃有余。书中不仅停留在传统的欧几里得空间，更大量地引入了流形学习的概念，这对于处理复杂的生物医学图像数据或材料科学中的微观结构分析来说，无疑是如虎添翼。例如，书中关于形状协方差矩阵的详尽讨论，帮助我理解了如何量化和比较不同样本集之间的形态差异，这在质量控制和模式识别中具有极高的实践价值。对于希望将理论知识转化为实际应用的研究人员而言，书中提供的算法伪代码和应用案例分析，简直就是一份宝藏。它不仅仅是告诉我们“是什么”，更重要的是教我们“如何做”，使得理论与实践之间的鸿沟被有效地弥合。这本书的深度和广度，足以让它成为任何想在几何数据分析领域深耕的学者案头必备的参考书。

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这本书的内容编排堪称艺术品级别的严谨。它从最基础的集合论和度量空间开始，层层递进，直至触及现代计算几何的前沿课题。对于一个希望构建扎实理论基础的读者来说，这本书的价值无可估量。它没有回避那些看似晦涩难懂的数学证明，反而将其作为理解概念深层逻辑的关键。例如，在讨论形状的正则化和平滑处理时，作者引用了大量的泛函分析工具，并清晰地阐述了为什么某些平滑核函数比其他函数更能保持形状的拓扑完整性。在方法论上，这本书显示出一种罕见的平衡感——它既不完全偏向于纯理论的推导，也不至于沦为一本简单的应用手册。它详尽地比较了不同形状描述符（如傅里叶描述符、球谐函数等）的优缺点，并给出了如何在特定约束条件下进行最优选择的指导原则。对于我来说，最实用的部分是关于形状配准（Shape Registration）的算法比较。书中对迭代最近点（ICP）算法的局限性进行了深刻剖析，并提出了基于能量最小化的更鲁棒的解决方案。这本书需要的阅读时间投入是巨大的，但回报也是成倍增加的。

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这本书在处理离散数据与连续形状之间的桥接方面，提供了一套非常精妙的数学工具箱。对于那些主要处理点云数据或三角网格模型的工程师而言，书中关于离散微分几何的章节无疑是提供了至关重要的理论支撑。作者清晰地解释了如何将连续空间中的导数、曲率等概念，准确地映射到有限元或有限差分结构上，而不丢失其关键的几何信息。书中关于形状特征提取的讨论，远远超出了简单的度量，而是转向了“几何不变性”的探索。例如，如何找到一个内在的、不依赖于观察角度或空间位置的特征向量来唯一标识一个形状的本质。这种深度挖掘激发了我在进行特征工程时的全新思路。此外，书中关于形状数据的可视化技术也值得称赞，它不仅展示了如何绘制三维模型，更重要的是，如何将高维形状空间中的相似性映射到二维或三维可感知的空间中，以便于人类直观地理解数据分布。总而言之，这本书是一次深刻的智力探险，它为理解和量化“形式”提供了最坚实的数学基石。

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读完这本书，我感觉自己的思维模式仿佛被某种精密的几何工具重新校准了一般。它彻底颠覆了我过去那种将形状视为简单描边或轮廓的肤浅认知。作者的叙事风格非常具有引导性，像一位经验老道的向导，带领我们穿梭于各种抽象的数学结构之中。其中关于“形状嵌入”的章节令我印象尤为深刻。它探讨了如何将不规则的三维或更高维的形状，用一组更紧凑、更易于处理的参数向量来表示，这在涉及形变分析（Deformation Analysis）的应用中至关重要。书中对黎曼几何在形状空间构建中的应用进行了相当详尽的介绍，特别是关于测地线距离的计算方法，这比传统的欧氏距离更能真实地反映两个形状之间的“自然”差异。对于从事动画制作或计算机图形学的同行来说，书中关于刚性变换、相似性变换以及仿射变换对形状不变性的影响的讨论，提供了非常严谨的数学基础。我个人特别喜欢书中对“形状的统计学特征”的深度挖掘，它不再满足于均值和方差的简单描述，而是深入到核密度估计和贝叶斯框架下对形状分布的建模，这使得我们对数据集中“典型”和“异常”形状的理解上升到了一个新的层次。

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初拿到这本书时，我曾担心其内容会过于偏向某一个特定的应用领域，比如仅专注于生物形状或仅关注工业零件。然而，事实证明我的担忧是多余的。这本书展现了一种令人敬佩的普适性和抽象性。它将“形状”这个概念从具体的物理实体中剥离出来，置于纯粹的数学框架下进行审视。书中对“对称性”的讨论尤其精彩，它不仅仅停留在简单的反射或旋转对称，而是将其提升到了群论的高度，分析了不同对称群在形状空间的流形结构上留下的印记。这种深度使得它能够适用于分析星系团的结构、蛋白质的折叠模式，乃至复杂的金融时间序列的形态。我特别注意到，作者在涉及不确定性量化时所采取的策略。他们很早就引入了随机过程和形状扰动的概率模型，这使得读者能够理解，在现实世界的测量误差下，一个形状的“真实”特征究竟应该如何界定。这本书不是用来快速查阅公式的工具书，而更像是一部需要伴随演算纸和咖啡一同细品的经典著作，它要求读者具备高度的专注力和一定的数学背景，但一旦进入状态，便会发现其论述的逻辑链条是如此的坚不可摧。

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