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出版者:Springer-Verlag New York Inc

作者:Fine, Benjamin/ Rosenberger, Gerhard

出品人:

页数:358

译者:

出版时间:2006-10

价格:$ 90.34

装帧:Pap

isbn号码:9780817644727

丛书系列:

图书标签:

• 数论
• 初等数论
• 高等数学
• 数学分析
• 代数数论
• 密码学
• 数学竞赛
• 算法
• 离散数学
• 算术

几何拓扑学导论：从欧几里得到高维流形 作者： [此处填写作者姓名，例如：张伟、李明等] 出版社： [此处填写出版社名称，例如：科学出版社、高等教育出版社等] --- 内容提要 《几何拓扑学导论》是一部系统而深入地介绍现代几何学与拓扑学基础概念的教科书。本书旨在为数学专业本科高年级学生及研究生提供坚实的理论基础，并引导读者领略几何与拓扑学之美及其在现代物理学和应用数学中的广泛关联。 全书结构清晰，逻辑严谨，从经典几何学的核心思想出发，逐步过渡到抽象的拓扑空间概念，最终探索微分几何和代数拓扑学的初步议题。本书强调几何直觉的培养，同时严格论证数学定理，力求在直观理解与严谨证明之间找到完美的平衡。 第一部分：基础几何与度量空间 本部分首先回顾并深化了欧几里得几何的基础，为后续的抽象化打下坚实基础。 第一章：欧几里得空间的回顾与扩展 本章从向量空间的基本性质入手，重新审视 $mathbb{R}^n$ 上的内积、范数和距离的概念。重点讨论了正交性、线性变换的几何意义以及正交矩阵的性质。引入了等距变换（Isometries）的概念，并初步探讨了欧几里得几何的刚体运动。随后，将讨论从有限维向量空间推广到更一般的度量空间的概念，为拓扑学的诞生做铺垫。 第二章：度量空间与收敛性 本章是全书向抽象空间过渡的关键。详细介绍了度量空间（Metric Spaces）的定义、例子（如离散度量、$L^p$ 度量）及其基本性质。深入探讨了序列的收敛性、开集与闭集的拓扑概念（在度量结构下的具体体现）、邻域系统。引入了完备性概念，详述了巴拿赫不动点定理及其在微分方程解的存在性证明中的应用。本章将对紧集进行详尽的分析，并证明 Heine-Borel 定理在有限维欧几里得空间中的形式。 第三章：拓扑空间的初步概念 本章正式引入拓扑空间（Topological Spaces）的抽象定义，将其视为对度量空间中“开集”概念的提纯。讨论了基、子基的概念，并研究了拓扑空间的构造方法，如子空间拓扑、商拓扑和积拓扑。本章的重点在于理解连续性在拓扑语境下的定义，并分析连续函数如何保持拓扑性质。 第二部分：连通性、紧致性和连续映射 本部分聚焦于拓扑空间中最重要的两个全局性质：连通性与紧致性，以及它们如何与连续映射相互作用。 第四章：连通性 本章探讨了拓扑空间中“连接”的度量——连通性。定义了连通空间、路径连通空间，并深入研究了它们的等价性（在豪斯多夫空间中）。着重分析了连续映射如何保持连通性，并讨论了构造不连通空间的反例。傅里叶分析中周期函数的基本性质，可以从连通性的角度得到新的理解。 第五章：紧致性 本章详细阐述了紧致性（Compactness）这一核心概念，它本质上是“有限覆盖”性质的抽象化。通过对开覆盖的分析，证明了紧致集的子集依然紧致，以及紧致子集的闭包性质。随后，将证明魏尔斯特拉斯极值定理的拓扑版本，并探讨紧致性在处理积分和概率测度时扮演的关键角色。 第六章：分离公理与豪斯多夫空间 本章研究拓扑空间之间的“分离能力”。详细定义了 $T_1, T_2$（豪斯多夫）、$T_3$ 和 $T_4$ 等分离公理。重点分析了豪斯多夫空间的特性，证明了豪斯多夫空间中紧致子集是闭集的结论，并讨论了积拓扑中分离公理的保持性问题。 第三部分：代数拓扑学的开端 本部分开始将代数结构引入拓扑研究，探索如何用代数不变量来区分拓扑空间。 第七章：基本群与连通性 本章引入代数拓扑学的第一个重要工具：基本群（Fundamental Group） $pi_1(X, x_0)$。定义了路径、路径同伦，并构造了基本群的群结构。重点计算了圆周 $S^1$ 的基本群，并证明了 $pi_1(S^1) cong mathbb{Z}$，这是拓扑学中里程碑式的成果。应用基本群来区分一些简单的拓扑空间（例如，证明圆盘和圆环在拓扑上是不同的）。 第八章：覆盖空间理论初步 本章建立在基本群的基础上，介绍覆盖空间（Covering Spaces）的概念。详细阐述了提升（Lifting）性质，并建立了基本群与覆盖空间之间深刻的对应关系。利用这个对应关系，重新审视了 $S^1$ 的覆盖空间结构，并引入了万有覆盖空间的概念。 第四部分：微分几何的初步接触 本部分将视角从纯粹的拓扑结构转向带有光滑结构的几何，为理解流形打下基础。 第九章：流形的概念 本章介绍了拓扑流形（Topological Manifolds）的定义，重点关注二维流形（曲面）。讨论了局部坐标系、浸入和嵌入的概念。通过例子（如球面 $S^2$、环面 $T^2$）来培养读者的几何直觉。 第十章：光滑结构与切空间 本章引入光滑结构（Differentiable Structure），将拓扑流形升级为光滑流形（Differentiable Manifolds）。定义了光滑映射，并引入了切空间（Tangent Space）的概念，这是微分几何的核心工具。通过切空间，可以开始讨论流形上的向量场和张量场。 结语 本书的最后部分展望了更高级的主题，如奇异同调论、纤维丛和黎曼几何的基础概念，鼓励读者将所学的知识作为进一步探索广阔几何世界的研究起点。 --- 本书特色 1. 深度与广度的平衡： 全面覆盖了从度量空间到基础微分几何的经典内容，确保了扎实的数学基础。 2. 直观驱动： 每一抽象概念的引入都伴随着大量的几何实例和图形辅助说明，帮助读者建立空间想象力。 3. 严格性： 关键定理的证明过程详尽严谨，适合希望深入理解数学论证的读者。 4. 连接性： 强调拓扑学与分析学（度量空间、完备性）以及代数（群论）的内在联系。 本书是数学系学生学习拓扑学、微分几何、几何分析以及理论物理（如广义相对论和弦论）的理想入门教材。

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这本书的阅读过程，与其说是学习，不如说是一场智力上的马拉松。我必须承认，有些章节的难度是相当大的，尤其是在处理那些涉及到复杂代数结构和高级解析技巧的部分时，我需要频繁地查阅附录和参考文献，甚至不得不暂时跳过一些极难的证明，先掌握其核心思想和结论。然而，即便是这样，我也从未产生想要放弃的念头。这归功于作者独特的章节组织结构。每一个主要部分结束时，都会有一个“回顾与展望”的小节，它不仅总结了本章的核心成就，更重要的是，它会清晰地指出这些成就如何为下一章的挑战铺平道路。这种前瞻性的引导，极大地增强了阅读的连贯性和整体性。它让你始终明白自己身处宏大理论体系的哪个位置，从而在高强度的学习中保持清晰的方向感。这本书不仅仅是知识的集合，它更像是一份精心绘制的数学地图。

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我向我几位正在攻读应用数学的朋友推荐了这本书，他们的反馈也印证了我的观点：它在严谨性与可读性之间找到了一个近乎完美的平衡点。我个人特别欣赏作者在案例选择上的独到眼光。书中穿插的那些关于黎曼猜想的历史争论和费马大定理的最终证明过程的概述，虽然不是本书的主线，但它们如同夜空中的繁星，点亮了整个理论框架。它们让数论不再是冷冰冰的符号游戏，而是充满人类智慧光芒和不懈探索精神的伟大事业。这本书成功地激发了我深入钻研的渴望，它没有把结论当作终点，而是将每一个证明都视为通往更深层次问题的阶梯。如果你想寻找一本能够激发你对数学本质产生深刻思考的读物，这本数论著作绝对是值得你投入时间的上乘之作，它教给你的，远不止是公式本身。

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说实话，这本书的深度是毋庸置疑的，但更让我印象深刻的是它在处理“难点”时的那种克制与巧妙。比如，涉及到代数数论的引子部分，很多书籍要么过于简化导致失真，要么直接丢出大量高级概念让人望而却步。这本书的处理方式是先用非常直观的例子，比如高斯整数环，来构建一个“熟悉”的环境，让我们在其中体会到欧几里得域的局限性。然后，作者才慢慢引入抽象的结构概念，整个过渡是平滑且自然的，就像是坐着电梯从地面缓缓上升到高空观景台，而不是直接被弹射上去。我感觉作者深谙“慢工出细活”的道理，他宁愿花更多的篇幅来确保读者对前置概念的完全掌握，也不愿匆忙地推进到下一个复杂定理。对于我这种需要反复咀嚼才能内化的学习者来说，这种细致入微的教学态度，是这本书最宝贵的财富。

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这本书，我得说，拿到手的时候还挺惊喜的，装帧设计很有品味，那种沉甸甸的质感让人感觉这不是一本普通的教材。我本来还担心内容会过于枯燥，毕竟是数论，但翻开目录，我就被吸引住了。作者的叙述方式非常细腻，不像有些教科书那样只是堆砌公式和定理，而是更注重逻辑的铺陈和思想的引导。比如，在介绍初等数论的基础概念时，作者会巧妙地穿插一些历史背景的小故事，让你明白这些理论是如何一步步发展起来的，而不是生硬地接受它们。我尤其喜欢它在证明过程中的那种“手把手”的风格，每一步的推导都交代得清清楚楚，即便是面对复杂的模算术定理，也能让你在脑海中构建起清晰的逻辑链条。读起来不像是被动接受知识，更像是在和一位经验丰富的导师进行深入的探讨。对于那些想真正理解数论精髓，而不是仅仅为了应付考试的读者来说，这本书无疑提供了一个极佳的起点和伴侣。它不仅仅是一本工具书，更像是一部数学思想的传记。

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我花了整整一个周末来消化这本书的前几章，最大的感受就是“视野的开拓”。过去我对数论的理解非常碎片化，只停留在中学阶段对素数和公因数的简单认识上。但这本书显然将层次拔高了一个维度。它对丢番图方程的讨论，简直是一场精彩的数学侦探游戏，作者没有急于给出结论，而是引导我们像侦探一样，通过限制条件、奇偶性分析以及模运算的工具，逐步缩小搜索范围，最终锁定解的存在性。那种解题的乐趣和成就感，是通过其他很多纯代数的书籍难以体会的。而且，作者非常注重理论与应用的结合，虽然核心是纯数学，但时不时会抛出一个与密码学或算法设计相关的实例，让你意识到这些看似抽象的数字游戏，实际上是支撑现代信息安全的基石。这种“知其所以然”的阅读体验，让我对数学这门学科的敬畏感又加深了几分。这本书的排版也值得称赞，大量的空白和清晰的章节划分，让长时间阅读也不容易产生视觉疲劳。

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