The structure of compact groups pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Walter De Gruyter Inc

作者:Hofmann, Karl Heinrich/ Morris, Sidney A.

出品人:

页数:858

译者:

出版时间:

价格:3037.00元

装帧:HRD

isbn号码:9783110190069

丛书系列:De Gruyter Studies in Mathematics

图书标签:

• 数学
• 拓扑学
• 群论
• 紧群
• 李群
• 代数拓扑
• 抽象代数
• 数学分析
• 高等数学
• 结构理论

紧凑群的结构：一场探索群论深层奥秘的旅程 《紧凑群的结构》并非仅仅是对一个数学概念的枯燥阐述，而是一次深入群论核心，揭示数学世界中一种特殊而又普遍存在的结构——紧凑群——的内在运行机制的精彩旅程。这本书邀您一同走进一个既充满抽象之美，又与物理、几何、拓扑等诸多领域紧密相连的数学天地。 什么是紧凑群？ 在开始探索其结构之前，我们首先需要理解“紧凑群”的含义。简单来说，一个群是一个集合，其中定义了一种二元运算，满足结合律、存在单位元以及每个元素都有逆元。而“紧凑”则是一个拓扑学的概念，它指的是一个集合在某种拓扑结构下是“有限的”且“封闭的”，无论这个集合包含多少元素，我们总能在其中找到有限的子集来“覆盖”整个集合，并且这些子集的“边界”也包含在集合内。 将这两个概念结合起来，紧凑群便是同时具备群结构和紧凑拓扑结构的数学对象。这种结合赋予了紧凑群非凡的性质和丰富的内涵。它们不像无限离散群那样“稀疏”，也不像无限连续群那样可能“过于分散”，而是以一种精巧而有序的方式组织起来。从最基本的整数群、圆周群，到更复杂的李群，许多我们熟悉的数学对象都蕴含着紧凑群的影子。 为何要研究紧凑群的结构？ 研究紧凑群的结构，就像是在研究一个精密齿轮的运作原理。理解了它的内部构造，我们就能预测它的行为，洞察它的潜力，并将其应用于更广泛的领域。以下是研究紧凑群结构的关键意义所在： 揭示数学结构的普适性： 紧凑群的结构理论为我们提供了一种理解不同数学领域中相似结构的方法。许多看似不同的现象，在抽象的群论视角下，可能都指向了相同的紧凑群结构，这极大地促进了数学的统一和发展。 服务于物理学的基本定律： 在现代物理学中，对称性扮演着至关重要的角色。而群论正是描述对称性的语言。紧凑群，特别是紧致李群，是描述基本粒子物理学（如标准模型）和凝聚态物理学中对称性的核心工具。理解它们的结构，对于理解物质世界的运行规律至关重要。例如，描述SU(2)对称性的球形对称群SO(3)，在量子力学中描述角动量，在粒子物理学中描述弱相互作用，都与紧凑群的结构息息相关。 推动几何和拓扑学的深入发展： 紧凑群与流形、纤维丛等几何和拓扑概念有着深刻的联系。例如，庞加莱猜想的证明就离不开对三维球面（一个紧致流形）的对称性的深入分析，而这种对称性可以用紧凑群来描述。研究紧凑群的结构，有助于我们理解这些高维空间的几何性质，并解决一些长期存在的数学难题。 构建更强大的数学工具： 紧凑群的结构理论为我们提供了强大的分析工具，例如哈尔测度和表示论。哈尔测度使得我们能够在紧凑群上定义不变的积分，这对于研究群的平均性质和分析性质至关重要。而表示论则允许我们将抽象的群元素映射到线性代数中的矩阵，从而利用线性代数的方法来研究群的性质，极大地拓宽了我们的分析手段。 《紧凑群的结构》将带您探索什么？ 这本书将带领读者一步步深入探索紧凑群的迷人世界，其内容涵盖了从基础概念到前沿理论的多个层面： 第一部分：基石——群与拓扑的融合 群论基础回顾： 我们将简要回顾群的基本定义、重要性质以及常见的例子，为后续的学习打下坚实基础。这将包括群的子群、陪集、正规子群、商群等核心概念。 拓扑空间与紧致性： 拓扑学的基本概念，特别是紧致性的定义和重要性质，将得到清晰的阐述。我们将理解为何紧致性对于我们后续分析群结构至关重要，以及它如何限制了群的“大小”和“形状”。 拓扑群的定义与基本性质： 将群的代数结构与拓扑结构融合，我们正式引入拓扑群的概念。读者将了解拓扑群的基本性质，例如连续性、可分性等，以及它们如何影响群的运算。 第二部分：核心——紧凑群的结构定理 哈尔测度： 这是紧凑群结构理论的灵魂之一。我们将详细介绍哈尔测度的概念，理解它如何在紧凑群上定义一个“体积”或“概率”的概念，并且该测度在群的乘法运算下是“不变”的。这将是后续讨论表示论和积分性质的基础。 紧凑群的表示论： 这是理解紧凑群结构最强大的工具之一。我们将深入探讨有限维酉表示的理论，理解如何将抽象的群元素映射到向量空间中的酉算子。读者将学习到不可约表示的概念，以及任何表示都可以分解为有限个不可约表示的直和。 彼得-外尔定理（Peter-Weyl Theorem）： 这是连接紧凑群表示论与傅里叶分析的桥梁。我们将详细阐述彼得-外尔定理，理解它如何表明紧凑群上的函数空间可以由群的表示函数（矩阵元的系数）构成一个完备正交系。这为我们在紧凑群上进行傅里叶分析奠定了理论基础。 李群与紧致李群： 我们将引出更具结构性的“李群”概念——既是群又是光滑流形的数学对象。特别是“紧致李群”，它们是紧凑群中最重要和最常遇到的类型。我们将探讨它们的局部结构和全局性质，以及它们在现代数学和物理学中的广泛应用。 第三部分：应用与拓展——紧凑群的深远影响 物理学中的对称性： 深入探讨紧凑群如何在粒子物理学（如SU(N)群在夸克模型和规范理论中的应用）、核物理学和凝聚态物理学中描述基本对称性。例如，我们将看到SO(3)如何描述自旋对称性，U(1)如何描述电磁对称性，以及更复杂的李群如何描述更基本的相互作用。 几何与拓扑的交叉： 探索紧凑群在流形、同调论、纤维丛等几何和拓扑概念中的作用。例如，我们可能看到紧致李群作为流形的自同构群，或者在研究黎曼流形的度量时扮演的角色。 代数群与调和分析： 讨论与紧凑群密切相关的代数群概念，以及在紧凑群上的调和分析（如傅里叶变换、卷积等）的原理和应用。 阅读《紧凑群的结构》，您将获得什么？ 严谨的数学思维训练： 本书将通过清晰的逻辑和严谨的证明，锻炼读者的抽象思维能力和解决复杂数学问题的能力。 洞察数学世界的统一性： 您将深刻体会到，看似不同的数学分支之间存在着深刻的内在联系，而紧凑群的结构理论正是连接这些分支的重要纽带。 理解现代科学的基础： 掌握紧凑群的结构，将为您理解现代物理学、几何学、拓扑学等前沿领域的研究提供坚实的理论基础。 开启探索的视角： 本书将为您打开一扇通往更深层数学结构的大门，激发您对数学世界更广阔的探索热情。 《紧凑群的结构》是一本献给所有对数学、理论物理、高等几何等领域充满好奇与热情的读者的书籍。它将带您领略数学之美的极致，感受抽象推理的魅力，并为您理解我们所处的世界提供更深刻的视角。这是一次值得您全身心投入的智力冒险。

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