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出版者:Birkhäuser Boston

作者:Valentin Boju

出品人:

页数:248

译者:

出版时间:2007-08-22

价格:USD 39.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780817645465

丛书系列:

图书标签:

计算机科学
数学
math
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具体描述

The Math Problems Notebook is a collection of nontrivial, unconventional problems requiring deep insight and imagination reminiscent of those discussed at Sunday Math Circles. These circles have become a place for disseminating beautiful mathematics at an elementary level for college students who have a common passion for mathematics.

The problems cover many topics, including number theory, algebra, combinatorics, geometry and analysis, of varying levels of difficulty. The presentation of each topic begins with simple exercises and follows with more difficult problems, challenging enough even for the experienced problem solver. The easier problems focus on basic methods and tools, while the more advanced problems develop problem-solving techniques, intuition and promote further research.

Undergraduates and teachers of advanced mathematics, as well as the casual mathematician will mutually enjoy The Math Problems Notebook.

好的，这是一本名为《The Math Problems Notebook》的图书简介，它专注于数学问题的深度探索与解题技巧的系统梳理，但其中内容与您提供的书名本身无关。 --- 《奥秘解析：数理逻辑的深度探寻与应用》导言：超越公式的边界在现代科学、工程乃至日常决策的广阔领域中，数学不仅仅是一种工具，它更是一种思维模式，一种描述世界底层规律的语言。然而，许多学习者和实践者常常困于公式的堆砌和定义的僵硬，未能真正领会数学思想的精妙与力量。《奥秘解析：数理逻辑的深度探寻与应用》正是为突破这一瓶颈而精心编撰的。本书旨在引导读者超越课本上的标准习题，深入探究那些结构复杂、需要创造性思维才能攻克的数理难题，从而培养出一种坚韧、灵活且富有洞察力的分析能力。本书的焦点在于“过程”而非单纯的“结果”。我们相信，一个问题的解决过程，包含了对概念的深刻理解、对不同数学分支的融会贯通，以及在面对未知时构建清晰逻辑路径的能力。第一部分：基础结构的再审视——从代数到拓扑的桥梁本部分致力于夯实读者的基础知识，但不同于传统的复习手册，我们选取了那些看似基础却蕴含深刻思想的关键概念进行重构。第一章：抽象代数的核心：群、环与域的几何直觉我们从群论出发，探讨对称性在物理学和密码学中的体现。重点分析了非交换群的结构复杂性，并引入了“同态”和“同构”的概念，以直观的方式解释结构保持的映射关系。在环与域的讨论中，我们不再满足于简单的算术运算，而是着重于它们的代数几何背景，例如伽罗瓦理论对多项式根的深刻揭示。这里的习题将要求读者构造特定性质的代数结构，而非简单地验证定义。第二章：实分析的严格性：极限、连续性与测度实分析是微积分的严谨基础，也是泛函分析的起点。本书聚焦于 $epsilon-delta$ 语言的灵活运用，特别是处理序列和函数的收敛性问题。我们花了大量篇幅讨论“一致连续性”与“点态连续性”的差异，并通过反例来强化理解。进阶部分引入勒贝格测度的基本思想，解释为何在某些情况下，集合的“大小”需要一个比黎曼积分更强大的工具来衡量。第三章：离散数学的拓扑视角：图论中的连通性与嵌入图论是连接离散结构与连续空间的重要桥梁。本书不局限于基础的遍历算法，而是深入探讨图的代数表示——邻接矩阵与拉普拉斯矩阵的特征值分析。我们详细讨论了平面图的欧拉公式及其在三维空间投影中的应用，并引入了拓扑学中的基本概念，如基本群，来区分不同“洞”的图结构。第二部分：跨学科的融合——建模与优化真正的数学挑战往往出现在需要将理论应用于复杂、不确定的现实世界时。本部分强调数学建模的艺术，以及如何利用优化理论找到最佳解决方案。第四章：常微分方程（ODE）的定性分析与稳定性在处理ODE时，我们强调相图分析的重要性。对于一阶和二阶系统，我们详细讲解了相平面的结构，包括鞍点、结点、中心和极限环的判断标准。重点放在了李雅普诺夫稳定性理论的应用，这对于控制系统和生态模型的分析至关重要。我们将通过非线性系统的案例，展示解析解的缺失如何引导我们走向对系统行为的精确描述。第五章：概率论：从信息熵到随机过程本章将概率论提升到信息论的高度。我们深入探讨了香农的信息熵、互信息以及它们在数据压缩和机器学习中的基础作用。在随机过程中，我们将重点分析马尔可夫链的稳态分布计算，以及布朗运动的路径依赖特性。对于更高级的读者，我们提供了伊藤积分的直观介绍，为理解金融数学中的随机波动奠定基础。第六章：线性规划与非线性优化：约束条件下的决策优化是工程和经济学的核心。本书首先系统阐述了单纯形法和对偶理论在线性规划中的应用。随后，我们将重点转向非线性优化，如拉格朗日乘数法在等式约束问题中的应用，以及KKT条件在处理不等式约束时的作用。最后的挑战在于理解牛顿法和梯度下降法在高维空间中的收敛行为和局部最优的陷阱。第三部分：高阶思维的磨砺——问题的解构与创造性本部分是全书的精髓，旨在培养读者发现问题深层结构和构造优雅解法的能力。第七章：数论的优雅：丢番图方程与模运算的艺术数论以其简洁的表述和极高的难度著称。我们从费马大定理的背景切入，探讨了二次互反律的威力。核心内容集中在丢番图方程的求解技巧，特别是利用模算术和印度-阿拉伯数字系统中的位值特性来限制解的范围。本章的习题要求读者通过构造同余类来证明某些方程无整数解。第八章：组合学的陷阱与策略：生成函数与递归关系组合数学是计算的艺术。本书摒弃了单纯的排列组合公式罗列，转而深入研究生成函数（Generating Functions）这一强大的代数工具。我们将展示如何利用微积分技巧（如求导、积分）从生成函数的封闭形式中提取序列的显式通项。此外，我们还探讨了普法定理（Pólya Enumeration Theorem）在计算具有对称性的计数问题中的应用。第九章：问题的解构：从难题到已知模型的转化本章是方法论的总结。我们分析了如何将一个看似全新的、复杂的数学问题，逐步分解、抽象并转化为熟悉的数学模型（如转化为图论问题、线性规划问题或微分方程）。我们将展示著名的“黑箱原理”，即识别问题背后的核心数学结构，即便其表象是完全陌生的。通过对一系列历史难题的逆向工程分析，读者将学会如何构建自己的解题框架和验证机制。结语：持续探索的旅程《奥秘解析：数理逻辑的深度探寻与应用》不是一本提供快速答案的指南，而是一张通往数学思维深处的地图。掌握书中的方法，意味着具备了面对任何复杂数理挑战时，能够系统分析、严谨推理并最终找到优雅解决方案的能力。真正的数学之美，在于其无尽的探索空间，我们希望本书能成为您这段旅程中坚实的伙伴。