Outlines & Highlights for Partial Differential Equations by Strauss, ISBN pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:AIPI

作者:Cram101 Textbook Reviews

出品人:

页数:112

译者:

出版时间:2007-08-29

价格:USD 11.95

装帧:Paperback

isbn号码:9781428834828

丛书系列:

图书标签:

• Partial Differential Equations
• Strauss
• Mathematics
• Calculus
• Differential Equations
• Engineering
• Science
• Textbook
• Study Guide
• ISBN

偏微分方程理论基础：从经典到现代的系统性探索 （本书旨在提供一个全面且深入的偏微分方程（PDEs）理论框架，内容涵盖经典分析方法、现代泛函分析工具以及对实际应用问题的处理。） --- 第一部分：基础与经典方程的分析（Foundations and Classical Equations） 本部分首先建立分析和拓扑的基础，为后续的PDEs研究奠定严格的数学语境。我们将详细探讨测度论、$L^p$ 空间、Sobolev 空间的基本性质，这些是现代PDE理论的基石。 第一章：泛函分析预备 拓扑空间与度量空间： 完备性、Baire 范畴定理在PDE中的初步应用。 Banach 空间与Hilbert 空间： 线性算子、有界线性泛函、Riesz 表示定理。 $L^p$ 空间理论： 积分的严格定义、Minkowski 不等式、完备性证明。 函数空间与嵌入定理： Sobolev 空间 $W^{k,p}$ 的定义、容许性（admissibility）概念。 第二章：一阶PDE与特征线法 本章聚焦于线性与非线性一阶方程，这是理解更高阶方程的必要铺垫。 线性一阶方程（对流方程）： 形式推导、沿特征线（characteristics）的求解方法、解的唯一性和适定性。 拟线性与非线性一阶方程（如Hamilton-Jacobi方程）： 几何光学方法。 方法的局限性： 激波（shocks）的出现与不适定性问题，为后续引入弱解概念做准备。 第三章：拉普拉斯方程与椭圆型方程 椭圆型方程是研究稳态问题的核心，本章侧重于其正则性和边界值问题。 经典解的性质： 最大值原理（Maximum Principle）的严格证明及其在唯一性中的作用。 弱解的概念： 变分原理（Variational Principles）与能量最小化方法。 Sobolev 空间中的弱解： 狄利克雷问题（Dirichlet Problem）的弱形式建立。 正则性理论： 利用梯度的估计（如梯度估计）证明弱解即是经典解（光滑性提升）。 边界值问题： 柯曼定理（Poincaré Inequality）与有限元方法的理论基础。 第四章：热传导方程与抛物型方程 抛物型方程描述了扩散和耗散过程。 热方程（Heat Equation）： 基本解（Fundamental Solution）的构造与性质，傅里叶变换方法的应用。 初值问题： 求解、解的唯一性（依赖于初始条件）。 关于时间变量的正则性： 抛物型方程的解在时间上的光滑性提升。 边界条件的影响： 混合边界条件下的解的存在性探讨。 第五章：波动方程与双曲型方程 双曲型方程描述了波的传播现象。 波动方程（Wave Equation）： 达朗贝尔公式（d’Alembert’s Formula）的推导及其对有限光速的物理意义。 柯西问题（Cauchy Problem）： 能量积分法（Energy Methods）在证明解的适定性中的应用。 非齐次方程： 积分方程表示法与格林函数（Green’s Function）的应用。 特征线与超前/滞后效应： 双曲型方程的因果结构分析。 --- 第二部分：先进分析工具与现代理论（Advanced Techniques and Modern Theory） 本部分深入探讨解决复杂PDEs所需的现代数学工具，特别关注分布理论和算子理论。 第六章：傅里叶变换与分布理论 分布（Distributions）是处理不连续解和基本解的关键工具。 测试函数空间与分布的定义： 广义函数的代数与拓扑结构。 基本解的构造： 利用分布理论精确计算拉普拉斯算子、波动算子和热算子的基本解。 卷积（Convolution）： 分布与函数的卷积性质，及其在求解非齐次方程中的应用。 第七章：Sobolev 空间的高级性质与嵌入 深化对函数空间结构的研究，这是现代PDE分析的核心。 Rellich-Kondrachov 嵌入定理： 紧致性（Compactness）的严格证明，在变分法中至关重要。 Sobolev 空间中的微分算子： 算子的定义、连续性与闭合性。 迹（Trace）理论： 函数在边界上的性质，边界积分的精确定义。 第八章：椭圆型方程的算子理论视角 将椭圆型算子视为从函数空间到其对偶空间的映射，使用算子理论进行分析。 椭圆算子的最大值估计： 柯西序列与线性算子的连续性。 Lax-Milgram 定理： 建立连续、双线性、强制（coercive）形式与椭圆型方程弱解存在性的桥梁。 算子理论框架下的正则性提升： 椭圆型方程的提升原理（Elliptic Regularity Theory）。 第九章：时间演化方程的半群理论 利用半群理论（Semigroup Theory）分析抛物型和波动方程的演化解。 生成算子（Generator）： 椭圆算子作为无限小生成元。 $C_0$ 连续半群： 抽象柯西问题（Abstract Cauchy Problem）的解的结构。 应用： 分析线性热方程和线性波动方程在无限维空间中的解的渐进行为。 --- 第三部分：非线性问题与应用（Nonlinear Problems and Applications） 本部分聚焦于自然科学中最具挑战性的非线性偏微分方程，并讨论它们的物理和几何背景。 第十章：非线性椭圆方程：变分法 欧拉-拉格朗日方程： 泛函的变分原理。 紧凑性方法与直接法： 利用能量泛函的下界和序列的极限点来构造解。 局部极小值： 泛函的临界点如何对应于非线性方程的解。 第十一章：非线性对流与守恒律 非线性双曲型方程（如 Burgers 方程）： 激波的形成与稳定性分析。 黎曼问题： 初始数据不连续时的解的构造。 熵条件（Entropy Condition）： 保证物理上合理的解（如，熵解的唯一性）。 弱解的正则性： 引入半熵不等式来选择物理解。 第十二章：自由边界问题与变分不等式 变分不等式： 描述带有非光滑约束的物理系统（如接触问题）。 随机控制与自由边界： 解的定性分析，如何确定自由边界的位置。 黏滞汉姆-雅可比方程（Viscous Hamilton-Jacobi）： 在最短路径和成本函数问题中的应用。 第十三章：数学物理中的重要方程举例 Navier-Stokes 方程： 湍流的基础，讨论全局解存在性的困难（如千禧年问题）。 非线性泊松方程： 临界指数下的渐进行为。 薛定谔方程（Schrödinger Equation）： 涉及保守系统的非线性演化。 本书的结构旨在使读者从经典的求解技术过渡到现代的泛函分析工具，最终能够独立地分析和处理具有复杂边界或非线性项的实际偏微分方程问题。每章后的习题设计旨在巩固理论，并鼓励对不同分析方法的深入比较与批判性思考。

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