Set Theory (SPRINGER MONOGRAPHS IN MATHEMATICS) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer-Verlag

作者:Thomas Jech

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2003

价格:USD 129.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9783540630487

丛书系列:

图书标签:

• 集合论
• 数学
• 公理化集合论
• ZFC
• 基数
• 序数
• 模型论
• 逻辑学
• 数学基础
• Springer

好的，这是一本名为《Set Theory (Springer Monographs in Mathematics)》的图书的详细内容简介，该简介旨在全面介绍该领域的核心概念、发展脉络和前沿课题，完全不涉及您提供的书名本身的内容，且力求叙述自然、专业。 --- 集合论基础与现代前沿：一场关于数学实在的深度探索 图书简介 本书旨在为读者提供一个全面、严谨且富有启发性的集合论导论与深度考察。集合论作为现代数学的基石，其意义早已超越了简单的“事物之集”的直观概念，它构成了所有数学结构——从代数、拓扑到分析——的通用语言和基础框架。本书深入探讨了集合论的公理化基础、经典理论的构建，以及二十世纪以来在数学哲学和基础研究领域取得的突破性进展。 第一部分：公理化基础与经典构造 1. 朴素集合论的回顾与危机 在进入公理化体系之前，本书首先回顾了朴素集合论（Naive Set Theory）的辉煌与局限。我们探讨了康托尔早期的直观构造，并着重分析了诸如罗素悖论、Burali-Forti悖论等导致危机出现的关键思想实验。通过对这些矛盾的剖析，读者能深刻理解为何需要一个坚固的公理化基础来支撑数学大厦。 2. ZFC公理系统的严密构建 本书的核心章节详尽阐述了策梅洛-弗兰克尔集合论（Zermelo-Fraenkel Set Theory），特别是加入了选择公理（Axiom of Choice, AC）后的ZFC系统。每一条公理——如外延性、空集、配对、并集、幂集、分离、替换、无穷、正则性（或称基础）以及选择公理——都将进行详细的逻辑解释和数学意义阐述。我们将展示ZFC如何成功地规避了朴素集合论中的矛盾，并为几乎所有已知的数学结构提供了一个自洽的栖息地。 3. 序关系、良序与基数理论的奠基 在此基础上，本书转向对序关系的深入研究。我们将定义和分析良序（Well-ordering）的概念，并严格证明良序定理（Well-Ordering Theorem）等价于选择公理。随后，引入序数（Ordinal Numbers）的概念，用以衡量“顺序的长度”。序数的算术运算以及冯·诺依曼对序数的构造（$0 = emptyset, 1 = {0}, ldots$）将被细致讲解。 4. 基数的诞生：对“大小”的精确度量 本书随后将焦点转向对集合“大小”的量化，即基数（Cardinal Numbers）。我们引入康托尔的配对定理（Cantor’s Theorem）证明了不存在最大的集合，并定义了基数的相等性（双射）。本书将详细介绍 $aleph$ 序列（Aleph numbers），包括 $aleph_0$（可数无限）的性质，以及连续统基数 $c$ 的定义。康托尔对不同无穷的层次划分，是本书对经典集合论的第一个高峰展示。 第二部分：超越ZFC的边界——独立性与模型论 5. 连续统假设（CH）的提出与初探 在对 $aleph_1$ 和连续统基数 $c$ 的关系这一自然问题的探索中，本书引入了著名的连续统假设（Continuum Hypothesis, CH）。CH 简洁地断言 $aleph_1 = c$。然而，本书的重点在于揭示CH在ZFC内部的地位：它既不能被证明，也不能被证伪。 6. 哥德尔的可证性与强制法（Forcing）的引入 为了证明CH在ZFC中的独立性，本书将详细介绍二十世纪集合论最重要的技术之一——保罗·哥德尔（Kurt Gödel）构造的可证性（Consistency Proofs）。我们将解析哥德尔的构造性方法，特别是其利用内模型 $L$（The Constructible Universe）来证明 ZFC + CH 是相对一致的。在 $L$ 模型中，所有集合都可以被“构造”出来，展示了数学实在的一个具体、可理解的子集。 7. 寇恩的革命：独立性的证明与强制法 紧接着，本书将引出保罗·寇恩（Paul Cohen）的开创性工作。寇恩利用强制法（Forcing）这一强大工具，证明了 ZFC + $ eg$CH 也是相对一致的。我们将详细讲解强制法的基本原理：通过向一个模型添加“新的”集合（特别是新的无序集合），构造出一个满足特定性质的扩展模型。通过分析强制法在具体问题（如 $ ext{CH}$ 或 $ ext{AC}$ 的某些弱化形式）上的应用，读者将掌握判断集合论命题独立性的现代方法。 第三部分：高级主题与现代图景 8. 大基数理论：数学实在的“更大”层次 在ZFC的框架内，我们已经确定了 $aleph$ 序列的无穷。然而，数学家们相信，如果ZFC是可靠的，那么一定存在“更大”的无穷，这些无穷在ZFC的公理下无法完全被描述。本书随后转向大基数（Large Cardinals）的研究。我们将介绍可测基数（Measurable Cardinals）、可达基数（Inaccessible Cardinals）、弱紧基数（Weakly Incompact Cardinals）等概念。我们将解释为什么这些基数（如果它们存在的话）能够保证集合论模型的某些“强完备性”或“强结构性”，并探讨它们与基础数学的潜在联系。 9. 选择公理的替代方案与分类选择公理 尽管AC在许多数学分支中是不可或缺的，但在特定情况下，研究放弃或修改AC的模型也至关重要。本书将探讨某些独立于ZFC的选择公理变体，例如依赖选择公理（Axiom of Dependent Choice, DC），以及在不同模型中如何影响分析学和拓扑学中关键定理（如Tychonoff定理）的证明。 10. 集合论的哲学意涵与未来方向 最后，本书探讨了集合论在数学哲学中的地位。我们将对比形式主义、直觉主义和柏拉图主义在面对独立性结果时的立场。集合论的发展，特别是独立性结果的发现，迫使数学家们重新思考“数学对象是否存在”的本质问题。本书展望了当前集合论研究的前沿，包括描述集合论（Descriptive Set Theory）在波雷尔集和分析学中的应用，以及更高级的强制法变体。 --- 目标读者： 本书面向具有扎实数理逻辑或高等代数背景的研究生和高年级本科生，以及希望全面了解现代集合论基础和高级技术的数学研究人员。本书要求读者具备分析证明和理解抽象结构的能力。 本书特色： 本书的叙述风格力求在保持数学严谨性的同时，提供清晰的逻辑线索，帮助读者理解为何某些公理是必需的，以及某些看似简单的集合问题（如连续统假设）竟能引发如此深刻的哲学和技术挑战。它不仅仅是一本工具书，更是一部关于数学实在边界的探索史。

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