Riemannian Geometry and Geometric Analysis pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Jurgen Jost

出品人:

页数:532

译者:

出版时间:2001-12-06

价格:USD 62.95

装帧:Paperback

isbn号码:9783540426271

丛书系列:

图书标签:

• 本科
• 数学
• Riemannian Geometry
• Geometric Analysis
• Differential Geometry
• Manifolds
• Curvature
• Topology
• Analysis
• Mathematics
• Geometry
• Partial Differential Equations

拓扑学基础与黎曼几何前沿：从流形到曲率的严谨探索 图书简介 本书旨在为读者提供一个全面且深入的拓扑学和黎曼几何的入门与进阶指南。它侧重于从最基础的集合论概念出发，逐步构建起微分拓扑、流形理论，并最终导向黎曼几何的核心——测地线、曲率张量与连接的深刻理解。本书的结构经过精心设计，旨在平衡理论的严谨性与概念的直观性，特别关注那些在现代几何物理和纯数学研究中至关重要的基础工具和核心概念。 第一部分：拓扑空间的构建与基础 本书的开篇将从点集拓扑这一基石开始。我们将详细阐述拓扑空间、开集、闭集、邻域、连续函数的严格定义。重点将放在拓扑空间上的基础结构，如紧致性和连通性。紧致性的讨论将不局限于欧几里得空间，而是深入探讨其在任意拓扑空间中的重要性，并引入Tychonoff 定理的直观意义。连通性部分，我们将区分路径连通性和连通性，并探讨它们在判断空间结构上的差异。 随后，我们进入代数拓扑的初步探索。虽然本书的重点不在于复杂的同调理论，但理解同伦群的基础概念是理解高维几何的必要铺垫。我们将引入基本群（$pi_1$）的概念，通过圆周、球面等基本例子展示如何利用它来区分拓扑空间。关于映射的度数的讨论也将作为连接拓扑与分析的重要桥梁。 第二部分：微分拓扑与光滑流形 这是全书的骨架部分。我们将从局部欧几里得空间的概念出发，严谨地定义光滑流形（Differentiable Manifold）。一个 $n$ 维光滑流形 $M$ 的定义依赖于图册（Atlas）和坐标变换。我们对坐标变换的光滑性要求将确保微分结构的一致性。 在流形上建立微积分是下一步的关键。我们将定义切空间（Tangent Space） $T_pM$。切空间并非仅仅是局部坐标系下的向量空间，而是对流形上“方向”的精确捕捉。我们将展示切空间是如何由向量场（Vector Fields）生成的，并深入探讨光滑函数在切空间上的作用。 紧接着，本书将系统地介绍张量场的概念。从切向量和余切向量开始，我们将构建张量代数，涵盖协变张量和反协变张量。李括号（Lie Bracket）作为衡量两个向量场之间“非对易性”的工具，其定义和性质将被详尽推导。 为了在流形上进行积分和微分操作，微分形式（Differential Forms）是不可或缺的工具。我们将定义 $k$ 阶微分形式，介绍楔积（Wedge Product），并定义外微分（Exterior Derivative） $d$。我们将详细证明 $mathrm{d}^2 = 0$ 这一关键性质，并阐述其在德拉姆上同调中的基础地位。斯托克斯定理（Stokes' Theorem）的广义形式将作为本部分的高潮，它将拓扑积分与流形上的微分运算完美统一起来。 第三部分：黎曼几何的基石——度量与联络 黎曼几何的核心在于“度量”和“曲率”。本书将引入黎曼度量（Riemannian Metric） $g$——一个定义在每个切空间上的正定、对称、光滑的二次型。度量赋予了流形长度、角度和体积的概念。我们将利用度量来构造黎曼体（Riemannian Volume Form），并定义上指标（Raising Indices）和下指标（Lowering Indices）的操作，这使得协变和反协变张量之间可以自由转换。 度量在微分几何中的应用，要求我们必须能够“平行移动”切向量。这引出了联络（Connection）的概念。我们将首先定义仿射联络，并详细分析其两大核心性质：挠率（Torsion）和斜率（Skew-symmetry）。 本书的核心贡献之一是对列维-奇维塔联络（Levi-Civita Connection）的推导。我们将证明，在任意黎曼流形上，存在唯一一个无挠率（Torsion-free）且度量兼容（Metric Compatible）的联络。这个联络的系数——克里斯托费尔符号（Christoffel Symbols）的计算方法将被详尽展示。 第四部分：曲率与测地线 黎曼几何的灵魂在于曲率。我们将利用列维-奇维塔联络来定义协变导数（Covariant Derivative） $ abla$。协变导数是我们衡量向量场在流形上如何“变化”的标准工具。 基于协变导数，我们将构建黎曼曲率张量（Riemann Curvature Tensor） $R$。我们将展示曲率张量的定义：它衡量了向量场在沿着一个闭合回路平行移动时，其方向发生的变化。我们将详细讨论曲率张量的第一和第二种范德蒙恒等式（First and Second Bianchi Identities），这些恒等式是几何结构深刻对称性的体现。 为了简化分析，我们将引入里奇曲率（Ricci Curvature）和斯卡拉曲率（Scalar Curvature）。里奇曲率张量（$mathrm{Ric}$) 是黎曼张量的一个缩并，它揭示了体积的局部变化率，在爱因斯坦场方程中有核心地位。 最后，我们将探讨测地线（Geodesics）。测地线是流形上“最短路径”或“最直路径”的推广。我们将证明测地线方程是通过变分原理得到的欧拉-拉格朗日方程，其形式为 $ abla_{dot{gamma}} dot{gamma} = 0$。我们将探讨测地线的完备性，以及它们如何通过曲率信息来描述空间的弯曲程度。 本书最后将简要展望极值曲面理论、霍奇理论，以及黎曼几何在广义相对论和热力学中的实际应用，为有志于进一步研究的读者指明方向。全书的推导力求清晰、逻辑自洽，旨在使读者能够独立地进行现代微分几何的研究。

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