Numerical Approximation of Partial Differential Equations (Springer Series in Computational Mathemat pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Alfio Quarteroni

出品人:

页数:544

译者:

出版时间:1997-03-20

价格:USD 139.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9783540571117

丛书系列:Springer Series in Computational Mathematics

图书标签:

• 数学
• Numerical Analysis
• Partial Differential Equations
• Finite Element Method
• Finite Difference Method
• Computational Mathematics
• Approximation Theory
• Numerical Simulation
• Mathematical Modeling
• Scientific Computing
• PDEs

《数值逼近：深入解析偏微分方程的计算方法》 内容概要： 本书旨在为高等院校的数学、物理、工程学等专业的学生及研究人员提供一套全面且深入的关于偏微分方程（PDEs）数值解法的理论框架与实践指南。全书结构严谨，内容涵盖了从基础的离散化理论到前沿的高效迭代算法，重点突出，旨在培养读者扎实的理论基础和解决复杂工程问题的能力。 第一部分：基础理论与一维问题 本书伊始，首先回顾了偏微分方程的基本概念及其在自然科学与工程中的重要地位，特别是热传导方程、波动方程和泊松方程等经典模型。随后，重点引入了数值分析的核心思想——离散化。 1. 离散化基础： 详细阐述了如何将连续的PDE问题转化为可计算的代数系统。我们深入讨论了算子逼近理论，包括截断误差和收敛性分析的基本工具。费米定理（Fermionic Theorem）和Lax等价定理是本部分的核心内容，为后续所有方法的稳定性与收敛性奠定了理论基石。 2. 有限差分法（FDM）的构建： 有限差分法作为最直观的数值方法，占据了重要篇幅。我们不仅介绍了中心差分、前向差分、后向差分的构造，还详尽分析了它们在不同边界条件下的表现。对于一维的常微分方程（ODE）初边值问题，我们详细推导了欧拉法、龙格-库塔法（特别是经典的四阶RK4）的局部误差与全局误差分析。对于一维抛物型方程（如热传导方程），我们系统地分析了显式、隐式和Crank-Nicolson格式的稳定性和精度，并使用冯·诺依曼（von Neumann）稳定性分析法进行了严格论证，清晰展示了显式格式的条件稳定性和隐式格式的无条件稳定性。 3. 傅里叶分析在波动方程中的应用： 针对一维波动方程，我们利用傅里叶级数方法，展示了如何精确求解周期边界条件下的解，并以此为基础引出了数值方法的色散关系分析。通过对比不同网格下的数值色散和数值耗散现象，读者可以深刻理解数值方法对物理现象的保真度影响。 第二部分：多维问题的处理与有限元方法（FEM）的引入 随着问题维度的增加，有限差分法的网格正交性要求带来了极大的不便。本部分转向更具几何适应性的数值方法，特别是二维和三维问题的处理。 4. 有限差分法在二维及三维问题中的扩展： 我们探讨了二维泊松方程（拉普拉斯方程）的离散化，详细介绍了五点模板和更精细的九点模板的构建。针对多维扩散和对流-扩散问题，我们讨论了迎风格式（Upwind Scheme）在处理高Peclet数流动（即对流主导）时的重要性，以及如何利用人工粘性（Artificial Viscosity）来稳定数值解。 5. 变分原理与弱形式： 有限元方法（FEM）的强大之处在于其对复杂几何形状的适应性。本部分系统地介绍了变分原理在物理问题中的起源。我们推导了椭圆型方程的弱形式（Variational Formulation），并着重解释了基本引理（如Lax-Milgram定理）在保证解存在性和唯一性中的作用。 6. 有限元基础构建： 详细介绍了单元的选择（如线性三角形单元、双线性四边形单元），形函数（Shape Functions）的构造及其性质（如单位和一致性）。在空间离散化后，如何通过组装刚度矩阵（Stiffness Matrix）和载荷向量（Load Vector）来构建全局线性系统是本部分的重点。我们提供了详细的组装过程实例，并对低阶有限元的插值误差进行了分析。 第三部分：高阶精度、非结构化网格与高级算法 为了追求更高的计算效率和更少的网格依赖性，本书引入了超越标准线性插值的技术和处理复杂线性系统的工具。 7. 高阶方法与谱方法： 介绍了如何通过构造更高阶的插值多项式来提高精度，例如使用二次或三次插值。对于具有光滑解的问题，我们深入探讨了谱方法（Spectral Methods），特别是傅里叶谱法和切比雪夫谱法。这些方法通过全局基函数的正交性实现指数级的收敛速度，其原理和应用场景与有限差分和有限元方法形成了鲜明对比。 8. 处理对流项： 对流-扩散方程（Convection-Diffusion Equations）是计算流体力学（CFD）中的核心难题。本节专门针对这些方程，探讨了需要克服数值振荡（Oscillations）和伪影（Artifacts）的挑战。我们详细分析了Stabilized Finite Element Methods（如Streamline Upwind Petrov-Galerkin, SUPG）的构造和应用，这些方法是处理高Peclet数问题的关键。 9. 线性系统的求解器： 无论是FDM还是FEM，最终都会归结为求解大型、稀疏线性方程组 $Ax=b$。本部分聚焦于迭代解法。我们对直接法（如Cholesky分解）的局限性进行了讨论，并重点介绍了 Krylov 子空间方法，包括共轭梯度法（CG）（用于对称正定系统）、双共轭梯度法（BiCGSTAB）和广义最小残量法（GMRES）（用于一般非对称系统）。此外，为了加速收敛，我们详细阐述了预处理技术（Preconditioning），特别是代数多重网格法（AMG）的基本思想和结构，强调了其在处理大规模问题中的决定性作用。 第十章：非结构化网格上的方法与网格生成 在实际工程应用中，处理复杂边界和几何形状需要非结构化网格。我们简要介绍了有限体积法（FVM）的核心思想，即基于守恒律在控制体积上的积分形式。探讨了如何在三角形或四面体网格上构建通量平衡方程，以及如何保证内部通量的守恒性。 结论与展望： 本书最后总结了数值求解PDEs的通用流程，并对当前的研究热点进行了展望，包括自适应网格加密技术（Adaptive Mesh Refinement, AMR）、异构计算环境下的并行求解策略以及机器学习在数值方法加速中的潜在应用。本书力求为读者提供一个坚实的理论基础，使其能够自信地选择、实现并分析适用于任何给定物理问题的最有效的数值方案。

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