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出版者:

作者:《成功笔记系列丛书》编写委员会 编

出品人:

页数:103

译者:

出版时间:2007-7

价格:10.00元

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isbn号码:9787810730730

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• 微积分
• 高等数学
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探索宇宙的语言：一部跨越时空的数学史诗 第一章：数字的黎明与几何的疆域 本书并非探讨微积分的成功之道，而是追溯人类心智如何从最原始的计数需求，逐步构建起描述变化与无限的宏伟框架。我们首先将目光投向古老的文明——美索不达米亚的泥板，埃及的莎草纸，以及遥远的巴比伦。在这里，数学并非抽象的理论，而是关乎土地丈量、税收征集和星辰观测的实用工具。 我们将深入探究古希腊数学哲学的巅峰时期。欧几里得的《几何原本》如何以其严谨的公理化体系，为后世所有逻辑推演奠定了基石？这不是关于极限的讨论，而是对“永恒真理”的刻画。书中对平面与立体几何的完美把握，展现了人类对空间形态的最初深刻理解。随后，我们会审视阿基米德——那位被誉为“古代最伟大的数学家”的巨人。他的“求积法”与“穷竭法”，虽然形式上触及了无限分割的边缘，但其核心在于对物理世界中不规则形状面积和体积的精准计算。这是一种对“量”的细致入微的把握，侧重于对已知量进行分解与重组，而非对“变化率”的动态捕捉。 本章的叙事，将聚焦于这些早期数学家如何通过具象化的模型（如圆周率的逼近、抛物线的面积计算），在没有微积分概念的前提下，巧妙地绕过障碍，构建起稳固的数学基础。我们将探讨这种静态、基于构造和分割的思维模式，与后期动态、基于运动和瞬时速率的思维模式之间的根本差异。 第二章：代数之光的崛起与符号的革命 随着历史的推进，我们的视野将转向东方与中世纪的伊斯兰世界。在这个时期，对“数”的理解从单纯的几何量，演化为更具操作性的代数实体。代数（Algebra）一词本身就蕴含着“还原”与“平衡”的意义。 本书将详细阐述波斯数学家花拉子米的工作，他如何系统化地解决了线性与二次方程，将解题过程规范化、流程化。这标志着数学开始摆脱对几何图形的过度依赖，转向纯粹的符号操作。斐波那契如何将印度-阿拉伯数字系统及其零的概念引入欧洲，极大地解放了计算的效率，为日后更复杂的运算铺平了道路。 我们将深入分析韦达（Viète）对数学符号的贡献。他引入了字母来代表未知数和已知常数，使得数学表达式不再是具体的数字组合，而是可以处理“任意量”的通用公式。这种符号化的能力，是将数学从描述特定问题转化为构建普遍规律的关键一步。这一阶段的成就，在于对“未知”的处理能力和对数运算的精细化，但其主要工具仍是代数方程的求解、因式分解以及对指数和对数性质的探索，而非描述速率的瞬时变化。 第三章：解析几何的融合：空间观念的重塑 十七世纪，笛卡尔与费马的出现，是数学史上一次伟大的融合。解析几何的诞生，是将几何的“形”与代数的“数”以前所未有的方式结合起来。 本书将详尽介绍笛卡尔坐标系的建立。如何通过一对相互垂直的轴，将空间中的任意点，转化为一组有序的数字对（x, y）。几何图形（如直线、圆、圆锥曲线）被彻底“代数化”，转化为简单的方程。这使得分析一个曲线的性质，可以直接通过操作其代数表达式来完成。费马在研究切线问题时，已经隐约触及了斜率的概念，但他主要仍是通过代数方法，研究函数的局部行为，而非建立起一套完整的、描述运动的微小变化的理论体系。 本章的重点在于这种“统一”的威力：我们学会了用代数工具来描述静态的几何结构。这为后来的微积分提供了描述函数的“舞台”，但此时，我们仍然停留在对静态曲线特性的分析上，对曲线在某一点的“倾斜程度”的理解，更多依赖于割线的代数运算，而非极限概念的引入。 第四章：数的本质：概率论与无穷序列的早期萌芽 在微积分的严格理论建立之前，许多数学家在处理不确定性与无限分割时，已经积累了重要的经验。 我们将考察帕斯卡与费马在研究赌博问题时，如何奠定了概率论的基础。对“期望值”和“机会”的量化，是人类首次系统性地量化“不确定性”，这与微积分对“确定性变化”的描述形成了有趣的对照。 此外，我们会回顾对无穷级数的早期探索。例如，祖诺夫的悖论（如阿喀琉斯追不上乌龟）激发了数学家对“无限求和”的思考。虽然牛顿和莱布尼茨最终使用极限来解决这些悖论，但早期的尝试，如奥雷姆对调和级数发散性的证明，展示了人们对无穷序列求和的渴望与困惑。这更像是一种对“量之和”的直觉判断，缺乏现代极限理论的严密性。 第五章：工程与天文的驱动：对精确性的不懈追求 最后，本书将转向十七世纪的实际需求。望远镜的发明揭示了天体运行的复杂性，而新兴的机械学和物理学则要求更精确的运动定律。 开普勒对行星轨道的精确计算，以及伽利略对抛体运动的研究，都迫切需要一种工具来描述物体在极短时间内的速度和路径的改变。这些都是工程和天文学的实际挑战，它们催生了对瞬时速率的迫切需求。 本章描绘了数学家们在解决这些物理问题时，如何不断尝试新的代数操作，如何通过观察大量割线的变化来“猜测”切线的斜率。这是一种基于经验观察和具体案例的摸索过程，反映了数学理论发展与实际应用需求的紧密互动。我们看到的是为了解决特定物理问题而进行的方法试验，而非一套普适的、基于逻辑严密的理论系统。 总而言之，本书是一部关于人类认知如何从计数、丈量，通过代数化、几何化，一步步逼近描述动态世界的历史叙事。它关注的是数学思想演变中的每一个关键转折点，以及那些为后来的伟大综合（即微积分的诞生）奠定基础的、但本身并非微积分的辉煌成就。

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