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出版者:清华大学出版社

作者:赵维义 编

出品人:

页数:276

译者:

出版时间:2007-11

价格:29.00元

装帧:

isbn号码:9787302156567

丛书系列:

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• 大学物理
• 物理实验
• 实验教程
• 高等教育
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• 物理学
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《微积分基础与应用：理论、方法与实例精讲》 第一部分：微积分学的基石与核心概念 第一章：极限的严谨构建 本章深入探讨微积分学的逻辑起点——极限。从直观的数列收敛概念出发，我们引入 $varepsilon-delta$ 语言，对极限的严格定义进行细致的剖析和训练。重点讨论了函数极限的性质，包括极限的四则运算、局部保号性、以及夹逼定理。此外，本章还详细讲解了一阶和二阶极限的计算技巧，特别是利用洛必达法则和等价无穷小代换处理 $0/0$ 和 $infty/infty$ 型不定式。我们通过大量的几何和物理背景实例（如切线斜率的极限定义）来展示极限在建立连续性概念中的关键作用。 第二章：连续性与不连续点 连续性是微积分大厦的另一根支柱。本章首先定义了函数在一点和区间上的连续性，并基于极限的性质推导出连续函数的代数运算规律。我们详细分析了闭区间上连续函数的重要性质，如有界性定理和介值定理，这些定理在证明存在性问题中具有不可替代的地位。随后，本章系统分类了函数的不连续点，包括第一类（跳跃不连续、可去不连续）和第二类（无穷不连续、震荡不连续），并结合实际函数图像进行辨析和归类练习。 第三章：导数的定义、几何意义与基本计算 导数是描述瞬时变化的数学工具。本章从平均变化率过渡到瞬时变化率，给出导数的精确定义，并结合曲线的切线斜率和瞬时速度等经典物理背景，阐明其几何和物理意义。我们系统推导并总结了基本初等函数的求导公式（幂函数、三角函数、指数函数和对数函数），并着重讲解了复合函数求导的链式法则（Chain Rule）的运用。此外，隐函数求导法和参数方程求导法也被纳入本章的重点训练内容。 第四章：微分的理论与应用 本章阐述了微分的概念，它与导数的关系，以及微分在近似计算中的应用。我们深入探讨了高阶导数的计算方法，并引入泰勒公式（Taylor's Formula）作为函数局部线性近似的推广。泰勒公式的拉格朗日余项和佩亚诺余项的推导及其在误差分析中的应用是本章的难点和重点。 第二部分：微分学：变化率的深度探索 第五章：微分中值定理与导数的应用 中值定理是连接函数性质与导数特性的桥梁。本章详细阐述了罗尔定理（Rolle's Theorem）、拉格朗日中值定理（Mean Value Theorem）和柯西中值定理，并清晰界定了它们各自的应用前提和结论。基于中值定理，本章展开讨论了导数在函数性态分析中的应用，包括单调性判定、极值点的判别（一阶和二阶导数判别法），以及函数的凹凸性分析和拐点的确定。通过这些工具，我们实现了对函数图像的完整描绘。 第六章：不定积分：微分的逆运算 不定积分作为微分的逆运算，是微积分的核心组成部分。本章首先定义了原函数和不定积分的概念，并列举了基本积分公式。接下来的重点在于掌握积分技巧：分部积分法（Integration by Parts）和三角代换法。本章对有理函数和简单无理函数的积分方法进行了详尽的分类讲解和步骤演示，确保读者能够熟练应对不同形式的被积函数。 第七章：定积分：累积量的计算 本章将定积分定义为黎曼和（Riemann Sum）的极限，从几何上阐释了它表示的面积、体积等累积量概念。牛顿-莱布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula）的推导和应用是本章的核心，它展示了微分和积分之间的深刻联系。此外，本章还探讨了定积分的性质，如增值定理，并引入了广义积分（Improper Integrals）的概念，分析了其收敛性的判断标准。 第八章：定积分的应用 定积分的实际应用是理解其价值的关键。本章系统讲解了定积分在几何学中的经典应用，包括平面图形的面积计算、旋转体的体积计算（圆盘法、壳层法）、曲线的弧长计算以及曲面的面积计算。我们将物理学中的功、质心、转动惯量等概念引入，展示定积分如何精确量化涉及连续变化的物理量。 第三部分：超越一维：多元微积分的初步 第九章：多元函数与偏导数 本章将一元函数拓展到多变量环境。我们引入空间直角坐标系、曲面和多元函数的概念，并定义了多元函数的极限和连续性。偏导数的定义、计算方法以及混合偏导数（Schwarz定理）的性质被详细阐述。链式法则在多变量情况下的推广是本章的关键难点。 第十多样函数微分的应用 本章聚焦于多元函数微分的应用。包括利用梯度（Gradient）确定函数增长最快的方向，以及方向导数的计算。切平面和法线的概念在三维空间中的应用被明确界定。此外，我们讲解了极值问题的处理，包括使用二阶偏导数判别多元函数的极值点（Hessian 矩阵的概念引入）以及最优化问题的初步讨论。 附录：基础数学回顾与工具 本附录简要回顾了高中阶段必需的代数、三角函数和指数、对数函数的基本性质，作为学习微积分的必要准备。同时，提供了一系列常用的极限值、导数表和积分表，方便读者查阅和巩固知识。 本书特色： 本书的编写旨在为读者构建扎实的微积分理论基础，注重概念的严谨性与计算技巧的熟练掌握。每一个新概念的引入都辅以明确的几何或物理模型支撑，帮助读者理解“为什么”以及“如何做”。章节之间逻辑递进，难度层层递升，特别强化了对中值定理、泰勒公式和积分技巧的综合训练。本书不仅适用于需要系统学习微积分的理工科学生，也适合需要复习和深化理解的工程技术人员。我们强调在解决复杂问题时，理论与实践相结合的重要性。

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这本书的语言风格，用一个词来形容，那就是“克制”。它几乎没有使用任何能调动读者积极性的描述性语言，所有的文字都像是在陈述一个既定的事实，冷峻而高效。我在阅读关于误差分析的那一章时，深切体会到了这一点。标准的理论介绍部分，讲解了系统误差和随机误差的区分，以及如何运用最小二乘法拟合数据。但是，当涉及到如何处理“异常值”或者“粗差”时，描述得过于理论化，缺乏实际操作中的案例分析。例如，书中提到要通过“卡方检验”来判断数据是否符合预设模型，但对于如何在实际的电表中读数出现明显偏差时，是应该直接剔除，还是尝试进行多次测量取平均，书中的指导显得有些含糊不清，更像是要求你心中已经有了标准答案。这使得我在尝试将书本理论应用于我自己的实验室操作时，总感觉缺少了一座桥梁，那些严密的数学定义似乎离实际的实验台面有段距离，我更希望看到一些“过来人”的经验之谈，比如“当你的数据点偏离趋势线超过这个值时，你该怎么做”。

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关于配套资源的缺失，是这本书给我留下的最深刻印象之一。在这个时代，一本实验教程往往会附带在线资源，比如配套的虚拟仿真软件链接、实验数据模板文件（如Excel或Python脚本），或者至少是针对部分复杂计算的解答提示。然而，这本书似乎完全是孤立的一本纸质教材，没有提供任何可以扫描的二维码或网址链接指向额外的辅助材料。这使得当我们遇到一个非常耗时的、需要大量计算才能得出最终结果的实验时，我们只能完全依靠纸笔和计算器来完成分析部分，无法利用现代计算工具来加速验证过程，从而限制了我们探索更多实验参数变化的可能性。我试着去查找一些在线论坛或教学社区，看看有没有人分享基于这本书的电子版辅助资料，但收效甚微，这让我感觉到这本书在与当前教学环境的融合度上，显得有些滞后了。

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这本书在插图和图表的质量上，暴露出了明显的年代感。大部分的电路图和物理结构示意图，虽然在拓扑结构上是准确的，但其线条的精细度和清晰度远不如当代出版物。很多示意图似乎是直接从早期的胶片或者扫描件中转化而来的，边缘的锯齿感比较重，特别是当涉及到细微的几何角度或复杂的接线方式时，观察起来比较费劲。例如，在讲解一个分立元件电路的搭建时，我不得不对照着书上的图纸和自己手中的实际元件，反复确认电阻的颜色码和电容的极性，因为图中的标识并不足够突出和清晰。而关于数据记录的表格设计，也显得比较简陋，缺乏现代软件界面中那种直观的输入提示或单位标注的强制性要求，基本上是留白等待学生自己填写，这在一定程度上增加了手动记录时出错的概率。

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这本书的封面设计相当朴实，没有那种花里胡哨的视觉冲击力，更像是上世纪八十年代那种严谨的教科书风格。拿到手里能感觉到纸张的分量，不是那种轻飘飘的铜版纸，而是略带磨砂质感的纸面，翻起来有一种沙沙的触感。我本来期待能在扉页上看到一些关于作者学术背景或者实验教学理念的介绍，但很遗憾，这部分内容几乎是空白的，除了标准的版权信息和目录之外，就没有多余的寒暄了。内页的排版布局，虽然清晰，但字体选择和行间距处理，显得有些拥挤，尤其是当涉及复杂的公式推导时，眼睛需要更费力地去追踪那些符号的走向。很多公式的推导过程被压缩得非常紧凑，似乎默认读者已经具备了非常扎实的微积分基础，可以直接跳过中间的繁琐步骤。这一点对于初次接触实验物理的同学来说，可能会是一个不小的挑战，感觉作者的视角更偏向于指导已经有一定基础的进阶学习者，而不是作为入门的引导者。整本书的装帧工艺看起来非常耐用，但美学上的考量显然被放在了次要的位置。

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从内容组织结构来看，这本书的章节安排似乎遵循了一种非常传统的、以物理现象分类的逻辑，而非以“实验技能”的递进关系来组织的。比如，光学实验和电磁学实验被并列放置，中间缺少一个将两者连接起来的过渡性内容，比如关于精密测量仪器通用操作规范的介绍。我原本期待书中能有一个专门的章节，集中讲解万用表、示波器、高斯计等常用仪器的最佳使用方法和常见故障排除，但这些实用的“生存指南”似乎被分散地、零星地嵌入到各个具体的实验步骤中了。翻阅目录时，我注意到对某些基础概念的讲解，比如“有效数字的保留原则”，并没有在全书开头集中阐述，而是每次在新的实验单元中出现时才被提及。这种碎片化的知识点呈现方式，让我回顾或查找特定基础知识时，需要花费更多时间去定位，而不是像在一个集中的参考手册中那样一目了然。

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