数学 第三册(选修II) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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数学——探索真理的阶梯（代介绍） 引言：数学之美的宏大序章 数学，这门古老而常新的学科，是人类智慧的结晶，是理解世界运行规律的终极语言。它不仅仅是数字和公式的堆砌，更是逻辑推理的艺术，是抽象思维的殿堂。当我们仰望星空，追溯宇宙的起源；当我们沉浸于微观粒子，探究物质的基本构成；当我们设计精密的算法，驱动未来的科技发展，背后都离不开数学的坚实支撑。 本书的编纂，旨在引领学习者跨越初级阶段的门槛，步入更广阔、更深刻的数学世界。我们深知，每一次对知识的深入挖掘，都伴随着对思维的重塑与升华。因此，本书的编排策略，聚焦于构建坚实的理论框架，同时注重培养学生运用数学工具解决实际问题的能力。 第一篇：函数与极限——描绘动态世界的蓝图 本篇聚焦于微积分的基石——函数与极限。函数是刻画事物间相互依赖关系的核心概念，从最基础的代数函数，到更复杂的超越函数，它们如同精确的刻度尺，量化着变化的速度与趋势。 1.1 函数的深入剖析： 我们将从集合论的角度重新审视函数的定义，确保读者对“映射”的理解滴水不漏。随后，深入探讨有理函数、无理函数的图像特征、周期性、奇偶性等性质。特别地，三角函数的周期延展与和差化积、倍角公式的灵活运用，是理解周期性现象（如波的传播、交变电流）的关键。指数函数与对数函数，作为描述自然界中指数增长与衰减现象（如放射性衰变、复利计算）的有力工具，其互反关系和对数运算的性质将被详尽阐述。 1.2 极限的本质与应用： 极限是连接离散与连续的桥梁，是微积分的灵魂所在。我们不会满足于直观的理解，而是会探究$epsilon-delta$ 语言的严谨定义，这是对“无限逼近”概念的精确数学描述。通过极限的理论，我们将分析数列的收敛性、函数的左极限与右极限，并重点讨论无穷小与无穷大的概念及其相互关系。掌握极限的计算技巧，特别是利用洛必达法则（在后续章节中会更深入介绍其原理）处理不定式，将是本篇的核心能力之一。 1.3 连续性与间断点： 函数的连续性是保证我们能够进行微分和积分的前提。本节将详细讲解闭区间上连续函数的性质，例如介值定理和极值定理。同时，对函数在某点处或某一区间内可能出现的各种间断点（如跳跃型、可去型、无穷型）进行分类讨论，加深对函数图像“不连续”之处的理解。 第二篇：导数——量化瞬时变化的利器 导数是描述事物瞬时变化率的数学工具，它将宏观的平均变化转化为微观的精确衡量，是物理学、经济学乃至工程学中不可或缺的核心概念。 2.1 导数的定义与几何意义： 从切线的斜率出发，自然地引出导数的定义。本部分将强化导数作为瞬时变化率的物理意义，例如速度是位移函数对时间的导数，角速度是角度对时间的导数。 2.2 求导法则的系统梳理： 我们将系统性地推导和应用基本的求导法则：和、差、积、商的求导法则。复合函数的链式法则的掌握至关重要，它是处理复杂函数求导的万能钥匙。此外，反函数的求导法则，以及隐函数求导法，将为后续解析几何的深入学习打下坚实基础。 2.3 基本初等函数的导数： 对幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数的导数公式进行系统记忆与推导，并辅以大量例题，确保读者能够熟练、准确地计算出各类函数的导数。 2.4 导数的应用： 导数的应用是本章的重点和难点。 函数的单调性与极值判断： 利用一阶导数的正负性确定函数的增减区间，利用导数为零的点寻找极值点。 函数的凹凸性与拐点： 引入二阶导数，判断函数的凹凸性，并确定拐点的位置。结合一阶和二阶导数分析，可以完整地描绘出一个函数的“草图”。 最值问题： 解决实际生活中的优化问题，例如如何使铁皮盒的用料最省，如何使运输的成本最低，这些都转化为求函数在给定区间上的最大值或最小值问题。 第三篇：积分——累积求和的艺术 如果说导数是“切开”事物来看其变化，那么积分就是“拼合”事物来看其总量。积分是求和的极限过程，是微积分的另一半基石。 3.1 定积分的概念与几何意义： 本节将从黎曼和的概念出发，理解定积分是如何通过“无限分割”和“无限求和”来逼近不规则图形的面积。定积分的几何意义——曲线下面积的计算，是理解其后续应用的基础。 3.2 牛顿-莱布尼茨公式（微积分基本定理）： 这是连接微分与积分的桥梁，是整个微积分理论体系中最辉煌的成就之一。我们将详细讲解如何利用原函数（不定积分）来计算定积分的值，极大地简化了计算过程。 3.3 不定积分的求解方法： 不定积分的求解是计算的基础。我们将系统学习换元积分法（凑微分法）和分部积分法，这是求解不定积分的两大核心技巧。通过大量的练习，培养对积分形式的敏感性，学会何时使用第一类换元法，何时使用第二类换元法，以及何时需要运用分部积分法。 3.4 定积分的应用拓展： 定积分的应用远超面积计算。本部分将扩展到： 曲线所围图形的面积计算： 包括直角坐标系下的面积，以及利用绝对值处理上下函数关系不定的情况。 旋转体的体积计算： 理解如何将三维的体积问题转化为定积分的累积过程（圆盘法和圆环法）。 弧长计算： 计算曲线沿某一方向延伸的总长度。 结语：迈向更高阶的逻辑世界 本书的全部内容，构建了一个从函数概念出发，到导数精确度量变化，再到积分有效累积总量的完整逻辑链条。学完此册，学习者将不再局限于代数的静态计算，而是能够驾驭描述动态世界和复杂形变的强大工具。每一个公式的背后，都凝结着人类对自然界规律的深刻洞察。掌握这些，便如同获得了一把钥匙，能够开启通往更深奥、更精妙的数学世界的大门。接下来的学习旅程，将更加考验思维的严谨性与创造性。

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这本书最让我印象深刻的一点是它对于数学历史和思想背景的穿插介绍。在讲解某些关键定理的诞生过程时，作者没有采用那种冷冰冰的知识灌输方式，而是带我们“回到过去”，看看那些伟大的数学家们是如何一步步攻克难题的。比如，在讨论到高斯消元法或拉格朗日乘数法时，书里会简要提及这些方法是如何在特定的历史需求下被发明和完善的。这种“讲故事”的方式，极大地激发了我对数学的兴趣，它让我意识到，数学的发展从来都不是一蹴而就的，而是充满了人类智慧的探索和斗争。这种人文关怀的融入，使得原本枯燥的符号运算变得有血有肉，让我对这门学科产生了更深层次的敬意。它让我明白，学习数学不仅仅是掌握工具，更是参与到人类文明长河中的一场智力探险。

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坦白讲，我拿到这本厚厚的《数学 第三册（选修II）》时，心里是有些忐忑的，毕竟“选修”两个字就意味着难度升级。但阅读体验完全超出了我的预期。这本书的叙述风格极其严谨，可以说是对数学逻辑的完美诠释。它不像某些教材那样，为了追求简洁而牺牲了清晰度，而是每一个逻辑跳跃点都提供了充分的支撑和严密的论证链条。特别是关于空间几何和向量代数的部分，作者对于三维坐标系的转换和矩阵变换的解释，简直是教科书级别的范本。我过去在学习这些内容时总是容易混淆，但这本书通过引入一些巧妙的几何直觉辅助证明，让我一下子抓住了核心。更让我赞赏的是，书后配套的练习题设计得极具层次感，从基础的巩固练习到富有挑战性的综合应用题，覆盖面广，深度适中。做完一套练习题，我感觉自己的思维清晰度和解决复杂问题的能力都得到了显著提升，这不仅仅是知识的积累，更是一种思维方式的重塑。

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我必须指出，这本书在处理一些“灰色地带”或者说教材中经常被一带而过的内容时，展现出了极大的勇气和深度。《数学 第三册（选修II）》并未回避那些在实际应用中可能导致困难的边界情况和理论上的微妙之处。例如，在涉及到某些广义积分的收敛性判断时，书中并没有仅仅给出“收敛”或“发散”的结论，而是深入探讨了判断标准背后的积分定义和极限操作的严格性。这种对细节的执着，对我这样一个追求精确性的学习者来说，简直是福音。它训练的不仅仅是计算能力，更是对数学论证的“批判性思维”。在某些章节，作者甚至提出了开放性的问题，鼓励读者去思考“如果修改一个前提条件，结果会如何变化？”，这种引导超越了应试教育的范畴，真正触及了高等数学研究的精髓。这本书无疑是为那些渴望深入理解而非仅仅通过考试的人准备的。

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对于自学者来说，一本好的教材的“可读性”至关重要，而这本《数学 第三册（选修II）》在这方面做得非常出色。它的排版设计考虑到了长时间阅读的需求，字体大小适中，行距舒适，关键概念和公式都有醒目的标注和框选，使得我在查阅和回顾时能够迅速定位重点。而且，书中的术语定义非常精确，几乎没有歧义。我特别喜欢它在每章末尾设置的“自我检测”环节，这些小测验不是简单的选择题或填空题，而是需要学生进行简短的论述或反思，迫使我们停下来思考自己对本章核心概念的掌握程度。这种主动学习的设计，比被动接受知识有效得多。总而言之，这本书的整体呈现质量极高，无论是从装帧的耐用性到内文的逻辑流畅性，都体现了出版方对教育质量的认真态度。

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这本《数学 第三册（选修II）》简直是为我这种对高等数学充满好奇心却又常常感到无从下手的学习者量身定做的！这本书的编排实在是太巧妙了，它没有一开始就堆砌那些令人望而生畏的定理和公式，而是用一种非常亲切、循序渐进的方式引导我们进入更深层次的数学世界。我尤其欣赏作者在引入新概念时所采用的那些生动活泼的例子，它们往往来源于我们日常生活中能接触到的现象，比如简单的概率问题、甚至是工程设计中的优化考量。这种贴近实际的设计，极大地降低了初学者的心理门槛，让我觉得数学不再是高高在上、遥不可及的学问，而是解决实际问题的有力工具。读完前几章，我对微积分有了全新的认识，不再是机械地套用公式求导数、求积分，而是真正理解了“变化率”和“累积”的本质含义。那些详尽的图示和步步为 রাজস্ব的推导过程，简直是视觉上的盛宴，即便是最复杂的论证，也能被拆解得清晰明了。不得不说，这本书为我后续深入学习奠定了极其坚实的基础，那种豁然开朗的感觉，真是太棒了。

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