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出版者:人民大学

作者:运怀立

出品人:

页数:227

译者:

出版时间:2007-10

价格:19.00元

装帧:

isbn号码:9787300084923

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空间、变换与结构：高等数学的基石 本书致力于深入探讨高等数学中一个核心且基础的领域——线性代数。 线性代数不仅仅是抽象的理论集合，它是现代科学、工程、计算机科学乃至经济学中不可或缺的语言和工具。本书旨在为读者构建一个扎实、直观且富有应用前景的线性代数知识体系。 本书的结构设计遵循从基础概念到复杂应用层层递进的逻辑。 我们首先从最直观的几何直觉出发，介绍向量的本质及其在二维和三维空间中的表示与运算。通过对向量加法、数乘以及线性组合的细致剖析，读者将建立起对“空间”这一概念的初步认知。 随后，我们将引入矩阵的完整概念。 矩阵不再仅仅是数字的矩形阵列，而是线性变换的代数表示。本书将花费大量篇幅阐述矩阵乘法的几何意义——即一系列几何操作（如旋转、拉伸、投影）的复合。我们将详细探讨矩阵的秩、列空间、零空间和行空间，这些概念共同构成了理解线性映射本质的关键。特别地，矩阵的逆、行列式的计算及其在求解线性方程组中的核心作用，将被置于极其重要的地位。我们不仅会展示如何计算行列式（通过代数定义和拉普拉斯展开），更会深入挖掘其几何意义——行列式值代表了变换后空间体积的缩放因子。 线性方程组的求解是线性代数的应用之源。 本书将全面介绍求解线性方程组的高斯消元法和 LU 分解等基本算法。我们强调理解高斯消元法背后的原理，即通过行等价变换将复杂系统转化为易于求解的阶梯形或简化阶梯形，从而精确确定解的存在性与唯一性。这部分内容将辅以大量的实例和算例分析。 进入理论的核心，本卷将详细解析“向量空间”和“子空间”的抽象结构。 我们将严格定义向量空间的基本公理，并展示如何验证特定集合（如多项式空间、函数空间）是否构成一个向量空间。基（Basis）和维数（Dimension） 是连接具体计算与抽象结构的桥梁。通过理解如何找到一组基来张成整个空间，读者将掌握如何用坐标来唯一描述空间中的任意元素，这是从几何直觉过渡到代数表达的关键一步。 线性变换的深入探讨是本书的亮点之一。 我们将分析不同线性变换的性质，并展示如何利用相似矩阵的概念来寻找一个更“简洁”的表示（如对角化形式），从而简化对变换的分析。 特征值与特征向量的理论占据了举足轻重的地位。 这些特有数值和向量揭示了线性变换在哪些方向上仅仅表现为纯粹的缩放，而不改变方向。我们将展示特征值的计算方法（求解特征多项式），并详细探讨对角化的条件。特征值理论的应用极为广泛，从常微分方程的解法到稳定性分析，都离不开它们。 对于不可对角化的矩阵，本书将引入 Jordan 标准形的概念。 虽然在某些基础课程中可能略过，但 Jordan 标准形是理解所有线性变换结构、尤其是在处理不可约系统时的理论终点。我们将用清晰的步骤指导读者如何构造 Jordan 块和确定 Jordan 标准形。 本卷的最后部分聚焦于内积空间及其重要分支——最小二乘法和正交性。 1. 内积与范数： 引入内积的概念，它允许我们在抽象向量空间中定义长度（范数）和角度（正交性）。 2. 正交基与 Gram-Schmidt 正交化过程： 展示如何将任意基转化为一组正交基，这极大地简化了投影和最小二乘问题的计算。 3. 正交投影： 解释投影的几何意义，即在特定子空间中寻找“最近”的近似解。 4. 最小二乘法： 这是处理超定系统（方程数多于未知数）的强大工具。我们将证明最小二乘解实际上就是观测值向量在系数矩阵列空间上的正交投影，并推导出正规方程组的解法。 此外，对称矩阵的理论在应用中也占据特殊地位。 我们将证明实对称矩阵的特征值必为实数，并且它们总可以被正交对角化。这在主成分分析（PCA）和二次型理论中具有不可替代的作用。 本书的特色在于强调“为什么”和“如何应用”。 我们避免了纯粹的公式堆砌，而是力求通过几何直觉、应用驱动的案例分析来巩固理论知识。从计算机图形学中的三维变换，到数据科学中的降维技术，再到工程中的振动分析，读者将在阅读过程中不断体会到线性代数作为现代科学语言的强大生命力。 目标读者群包括： 物理、化学、计算机科学、数据科学、工程学专业的本科生及研究生，以及任何希望系统性掌握线性代数理论和计算技巧的自学者。通过本书的学习，读者将能够熟练运用矩阵运算解决复杂的实际问题，并为后续学习更深层次的数学（如泛函分析、微分几何或高级机器学习理论）打下坚实的基础。

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这本书在构建知识体系的宏观视角上做得非常出色，这是很多同类教材所缺乏的。作者没有把线性代数当作一堆孤立的定理和公式的集合，而是始终强调“几何直觉”和“矩阵的本质”这两条主线。在介绍相似变换、特征值和特征向量这些看似高深的 टॉपिक 时，作者总是能巧妙地将它们与旋转、拉伸等几何变换联系起来，让人能从画面感上把握其意义。再比如，它在讲解线性方程组的求解过程中，反复强调了行空间、列空间和零空间这三大基本子空间的关系，并且清晰地展示了它们如何共同决定了解的存在性和唯一性。读到后面，你会发现所有的概念，比如正交性、最小二乘法，都像是自然而然地从这些基本空间的概念中生长出来的，结构感非常强。这种自上而下的组织方式，使得我对整个学科的内在联系有了更宏大的把握，而不是零散的知识点堆砌，极大地增强了学习的成就感和内在驱动力。

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这本书的语言风格有一种老派学者的沉稳，但又不失现代数学的活力。它在处理复杂推导时，倾向于使用精确且不含糊的数学语言，这对于建立严谨的数学思维至关重要。然而，在阐述定理的意义和应用背景时，作者又会转换成一种更具启发性的口吻，像是与一位有经验的前辈在深入探讨。我特别欣赏它对一些历史背景的穿插介绍，比如高斯消元法的起源，或者矩阵理论的发展历程，这些小插曲让冰冷的数学多了一丝人情味和厚重感，也让我更能理解为什么某些概念会被这样定义和发展。这种平衡拿捏得非常到位，使得阅读过程既有挑战性，又不至于让人望而却步。对于追求学术深度的读者来说，这本书提供的不仅仅是解题工具，更是一种严谨的思维范式和探究精神的熏陶。

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我发现这本书在例题和习题的设置上有着独到的匠心。它不是简单地堆砌题目数量，而是注重例题的代表性和梯度设计。基础例题的步骤分解得极其详尽，每一步的推导思路都清晰可见，相当于一位耐心的老师在旁边手把手地指导你如何思考。更妙的是，在讲解完一个知识模块后，紧跟着的习题往往能够精准地考察到前面知识点的应用和理解深度。我特别喜欢它在习题后附带的“陷阱分析”部分，很多时候我们做错题不是因为不会，而是因为思维定势或者忽略了某个关键假设，这本书把这些常见的思维误区一一指了出来，并且告诉我们如何去规避，这种“避坑指南”对自学者来说简直是无价之宝。我做完一组习题后，会特意去翻阅对应的解析，解析的质量极高，不仅给出了标准答案，更重要的是阐述了背后的数学原理和多种可能的解题路径，拓宽了我的解题视野。这种高质量的练习反馈机制，极大地提高了我的学习效率，让我不再是盲目地刷题，而是带着目的去理解和消化知识点。

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这本书的装帧设计真的很有意思，封面配色大胆又不失稳重，让人忍不住想翻开看看。内页纸张质感细腻，触感舒适，印刷清晰，排版布局也很科学，看着一点也不累。我注意到作者在章节安排上花了很多心思，逻辑衔接非常自然，从基础概念的引入到复杂定理的推导，过渡得恰到好处，不会让人感到突兀。而且，书里对一些核心概念的解释特别深入，不是那种教科书式的干巴巴的描述，而是结合了很多直观的例子和图示，让抽象的数学思想变得具体可感。比如，讲到向量空间的时候，作者用了好几个生活中的场景来类比，我一下子就明白了之前怎么也绕不过去的那些弯弯绕绕。这本书的语言风格介于学术严谨和亲切讲解之间，既保证了数学的准确性，又照顾到了初学者和自学者的接受度，读起来非常流畅。我尤其欣赏它在引入新知识点时，总会先回顾一下相关的前置知识，让人能很快进入状态，避免了知识点的断层。对于一个想扎扎实实学好这门学科的人来说，光是能沉浸在这样精心设计的阅读体验中，就已经是一种享受了。

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我注意到这本书在跨学科应用方面的探讨也颇有建树，它没有将线性代数局限在纯数学的象牙塔内。在讲解矩阵分解（如SVD）的部分，作者花了相当大的篇幅来阐述这些工具在数据科学、图像处理甚至经济模型中的实际作用。它用非常易于理解的案例说明了为什么这些代数工具是解决实际问题的钥匙。比如，通过一个简单的例子演示了如何用特征值分解来降低数据的维度，保留主要信息，这比单纯看公式推导要直观得多。这种对“为什么学”的解答，是驱动我继续深入学习的重要动力。它成功地搭建了一座从抽象理论到具体应用的桥梁，让我清晰地认识到线性代数不仅仅是高等数学的一个分支，更是现代科学和工程技术的核心语言。对于希望将理论知识应用于工程或量化分析领域的读者来说，这本书的视野和深度是非常令人满意的。

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