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出版者:广西民族出版社

作者:元鲁

出品人:

页数:245 页

译者:

出版时间:2006年08月

价格:12.00元

装帧:平装

isbn号码:9787536351400

丛书系列:

图书标签:

• 数学分析
• 数学分析
• 高等数学
• 微积分
• 实分析
• 函数
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• 积分
• 数学

现代代数基础与应用 本书导言 本书旨在为读者提供一个深入而严谨的现代代数基础，重点关注群论、环论和域论的核心概念、基本结构及其在数学和相关学科中的应用。不同于传统侧重于分析学的教材，本册将视角完全转向代数的抽象结构世界，探究其内在的逻辑美感和强大的工具属性。我们假设读者已具备扎实的微积分和线性代数背景，能够理解集合论的基本概念和函数映射的性质。 第一部分：群论的基石 第一章首先建立群的公理化定义，并系统阐述了群的构造性原理。我们将从最简单的例子入手，如整数加法群 $mathbb{Z}$ 和非零有理数乘法群 $mathbb{Q}^$，过渡到对称群 $S_n$ 和二面体群 $D_n$ 等非阿贝尔群。重点分析了子群、陪集与拉格朗日定理，这是理解有限群结构的关键。 第二章深入探讨了群同态与同构，引入了正规子群和商群的概念。我们详细剖析了第一、第二和第三同构定理，这些定理是连接不同群结构之间关系的桥梁。特别是，我们将运用这些定理来分析有限阿贝尔群的结构，为后续环论中的理想结构分析奠定基础。 第三章聚焦于作用（Actions）。群作用的理论不仅在代数内部具有重要性，更在几何和组合学中扮演核心角色。我们详细讲解了轨道-稳定子定理，并利用Burnside引理和Polya计数定理解决实际的计数问题，例如计算项链或立方体的不同染色方式。 第四章是关于结构分解的探讨。对于有限群，Sylow定理是不可或缺的工具。本章会详尽证明Sylow第一、第二、第三定理，并展示如何运用这些定理来确定特定阶数的群的可能结构，例如阶为 $p^2$ 或 $pq$ 的群的分类。我们将展示有限 $p$-群的一些特殊性质，如中心的存在性。 第二部分：环论的拓扑与算术 第五章将视角转向环。本书定义了环、交换环、单位环，并详细区分了零因子、整环和域。我们对环的同态和同构进行了系统的研究，并自然地引出了环中的重要概念：子环、理想（Ideals）和商环。这部分内容与群论中的正规子群和商群形成鲜明的对照和类比。 第六章专门处理理想的结构。我们将重点研究主理想域（PID）和唯一分解域（UFD）。在整环中，我们定义了整除性、最大公约数（GCD）和最小公倍数（LCM）。欧几里得整环作为PID的特例将被深入分析，例如 $mathbb{Z}$ 和高斯整数环 $mathbb{Z}[i]$。 第七章讨论了多项式环的性质。我们将证明多项式环 $F[x]$（其中 $F$ 是一个域）是主理想域，并利用带余除法进行多项式运算。本章的重点是不可约多项式的概念，这直接导向了域的扩张理论。 第三部分：域与伽罗瓦理论的引入 第八章是通往现代代数核心应用的关键一步：域扩张。我们定义了扩张域、度数、代数元和超越元。张量积和有限域扩张的性质将在本章被详细考察。我们将特别关注最小多项式和域的扩张次数之间的关系。 第九章深入探讨了分裂域和有限域。有限域（Galois Fields）的构造是本章的亮点，我们将证明对于任何素数幂 $q$，都存在一个阶为 $q$ 的域 $mathbb{F}_q$，并且所有阶为 $q$ 的域都是同构的。我们还将探索有限域的乘法群的循环性。 第十章以伽罗瓦理论为终章，尽管本书的篇幅限制了对一般伽罗瓦理论的全面展开，但我们致力于建立其核心思想。我们将定义伽罗瓦群，并讨论伽罗瓦扩张的性质，特别是基本定理的初步阐述，展示如何利用群论工具来研究方程的可解性问题。本章旨在激发读者对超越方程（如五次及以上方程）不可解性的代数根源的理解。 应用与展望 贯穿全书的例子和练习旨在巩固理论知识，并展示代数结构在密码学（如椭圆曲线群）、编码理论（如有限域的应用）和拓扑学（如基本群）中的潜在联系。本书的结构旨在培养读者对抽象结构进行精确推理的能力，为后续深入学习代数几何、代数数论或更高级的表示论打下坚实的基础。本书的叙述力求清晰、逻辑严密，旨在成为一本既适合自学，又适合作为专业课程教材的参考书。

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这本书在辅助工具和延伸阅读方面的设计，体现出极高的专业水准和对读者未来发展的关怀。在每一章的末尾，作者都提供了一个“高级主题展望”板块，这个板块的内容通常会超越本课程的要求范围，直接衔接到泛函分析、微分几何甚至概率论中的相关概念。例如，在讲完勒贝格积分的初步概念后，展望部分就提到了测度空间的构造和$L^p$空间的初步概念，并附上了相关的专业文献推荐。这对于我们这些有志于继续深造的学生来说，简直是雪中送炭。我个人就是通过这个板块，发现了好几本对我后续研究极具启发性的专业著作。另外，书中对符号系统的规范性也值得称赞，它几乎没有使用任何模糊不清的符号，对于每一个新引入的符号，都会给出极其清晰的定义和使用范围，这极大地减少了阅读和理解上的歧义。这种对细节的极致把控，使得这本书不仅是一本学习教材，更像是一本随时可以翻阅的、具有极高参考价值的数学手册。

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从整体的叙事风格和编排逻辑来看，这本书的作者似乎拥有一种独特的“数学历史感”。它不像有些教材那样是冷冰冰的公式集合，而是将知识点置于其产生的历史背景中去讲解。比如在介绍泰勒公式的推广及其局限性时，作者穿插了对十九世纪数学家们在处理函数逼近问题上的争论和探索的简短描述。这种叙事方式极大地提升了阅读的趣味性。我感觉自己不是在被动地接收知识，而是在跟随一位博学的导师，进行一场跨越时空的学术漫步。这种“讲故事”的技巧，使得原本枯燥的证明过程变得富有画面感和张力。更重要的是，这种处理方式让读者明白，每一个数学结论的诞生都不是一蹴而就的，而是经历了无数次的修正、辩论和升华。这对于培养未来研究人员所需的批判性思维是至关重要的。它教会我们不仅要问“是什么”，更要追问“为什么会是这样”，以及“在当时人们是如何发现它的”。

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我花了大量时间研究了这本书的习题部分，坦白地说，难度曲线设置得非常合理，可以说是层层递进，富有挑战性但绝不至于让人感到挫败。初期的练习题基本是巩固基础概念的“热身”，它们帮你把那些基本操作和定义牢牢刻在脑子里，确保你不会在后续的难题中因为基础不牢而功亏一篑。但真正的价值体现在中后期的“思考题”和“研究性问题”上。这些题目往往需要你跳出书本上现有的框架，将好几个章节的知识点融会贯通，进行一次小型的“证明设计”。我记得有道题目是关于黎曼积分的上和与下和之间关系的深入探讨，它不像标准教材那样直接给出结论，而是引导你从构造特定的函数序列入手，去感受和逼近那个极限状态。这种设计极大地锻炼了我的逻辑构建能力和严密性。而且，书后还附带了非常详尽的解题思路提示（注意，不是完整的解答），这些提示往往只点到关键步骤，剩下的“临门一脚”需要自己去补齐，这种“若即若离”的引导方式，恰到好处地保留了数学学习中独立思考的乐趣和成就感。对于想要真正吃透这门学科的人来说，这套习题体系是无价之宝。

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这本书的排版和装帧确实是下了一番功夫的，拿到手上就能感受到一种沉甸甸的质感，这对于一本理工科的教材来说，是相当难得的。内页的纸张选择了哑光的那种，长时间阅读眼睛不容易疲劳，这一点对于我们这些需要啃厚厚数学书的学生来说简直是福音。更让我欣赏的是，作者在一些关键定理的推导过程中，使用了非常清晰的图示和流程图来辅助说明，那些原本在脑子里转了好几圈都理不清的抽象概念，通过这些可视化工具一下子就变得直观多了。比如在讲到一致收敛性时，那种“epsilon-delta”的定义往往让人望而生畏，但书中通过一个精心绘制的、动态变化的函数族图像来解释，效果立竿见影。而且，书中的例题选择也十分巧妙，它们不仅紧密围绕着章节的核心概念，更重要的是，很多例题的设置本身就蕴含着一种数学思想的启发性，不像有些教辅书那样只是机械地重复公式。我记得有一道关于反常积分敛散性的题目，它通过一个非常生活化的物理情景引入，让人在解题的过程中，仿佛真的在进行一场智力探险，而不是单纯的符号游戏。总而言之，从阅读体验和辅助理解的角度来看，这本书的设计者绝对是站在读者的角度深思熟虑过的。

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这本书在理论的深度挖掘上，展现出一种近乎“偏执”的严谨性，这对于一个追求数学本质的学习者来说，简直是醍醐灌顶。很多其他教材为了照顾初学者，会对一些深入的拓扑性质或者泛函分析的预备知识一带而过，但这本书却毫不避讳地将这些底层逻辑铺陈开来。例如，在处理完基本的序列收敛后，作者用了相当大的篇幅去讨论度量空间和完备性的概念，并且非常细致地证明了巴拿赫不动点定理，这不是简单的套用，而是从构造性证明的角度，一步步展示了为什么这个定理在完备空间中总是成立。这种深挖不仅仅是知识的堆砌，更像是在揭示数学大厦的承重结构。我特别喜欢作者在论证过程中使用的那些“对比分析”的手法，比如将实数分析中的Cauchy列与更广义空间中的完备性要求进行对比，这样能让读者清晰地意识到，我们在某一特定系统（如$mathbb{R}^n$）中习以为常的性质，在更抽象的结构中需要付出怎样的代价才能维持。这种层层剥离、直抵核心的做法，让人在掌握知识的同时，也培养了一种对数学结构本质的敬畏之心。

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