Algebraic topology--homotopy and homology (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einz pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:Springer-Verlag

作者:Robert M Switzer

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1975

价格:USD 74.00

装帧:Unknown Binding

isbn号码:9780387067582

丛书系列:Grundlehren der mathematischen Wissenschaften

图书标签:

• 代数拓扑
• 同伦
• 同调
• 拓扑学
• 数学
• Grundlehren
• 数学基础
• 拓扑群
• 抽象代数
• 代数结构

拓扑学基础：连续形变与代数结构 聚焦于几何直觉与严谨代数工具的融合 本书旨在为读者提供一个深入而全面的代数拓扑学导论，重点阐述如何利用代数工具来研究连续形变的几何性质。代数拓扑学作为现代数学的一个核心分支，架设了直观的几何对象与精确的代数结构之间的桥梁。本书的叙述风格力求平衡直观的几何洞察与严格的数学推理，特别关注了代数拓扑学的两大基石——同伦论与同调论。 第一部分：拓扑空间与连续形变的基础 本书伊始，我们将回顾拓扑学的基本概念，但视角将立即转向那些允许“拉伸而不撕裂”的形变——连续映射。我们首先详细讨论拓扑空间的定义及其基本性质，随后引入等价概念：形变收缩（deformation retraction）和同伦（homotopy）。 1. 拓扑空间与连续性： 经典欧几里得空间的拓扑性质的推广，包括开集、闭集、紧致性和连通性。我们探讨这些性质在连续映射下的保持与变换。 2. 基本群（Fundamental Group）： 作为第一个代数不变量，基本群 $pi_1(X, x_0)$ 被深入剖析。我们使用路径和路径群的概念，清晰地阐述了它如何度量空间中“洞”的存在性。重点讲解了它在圆周 $S^1$ 和环面上的计算，以及它与覆盖空间理论的初步联系。布劳威尔不动点定理和更一般的空间不动点问题的拓扑证明也将在此部分得到阐述。 3. 同伦等价（Homotopy Equivalence）： 我们将同伦关系推广到整个空间层面的等价关系，即同伦等价。这使得我们可以用更简单的空间（如 CW 复合体）来研究复杂空间的拓扑性质。 第二部分：高阶同伦群与纤维化 在初步掌握了基本群之后，本书将系统地介绍更高阶的同伦群 $pi_n(X, x_0)$。虽然高阶群在几何上更难直观理解，但它们在分类纤维丛和理解更高维几何结构方面至关重要。 1. 高阶同伦群的构造： 我们利用球面 $S^n$ 与 $n$ 维球体的映射来定义 $pi_n(X)$，并证明这些群在 $n geq 2$ 时是阿贝尔群。这是代数拓扑中的一个关键转变点。 2. 纤维丛与霍普夫纤维化： 我们引入纤维丛（Fiber Bundles）的概念，特别是向量丛和主丛，展示了高阶同伦群如何在这些结构中扮演角色。霍普夫纤维化 $S^1 o S^3 o S^2$ 将作为理解高维球体之间映射的经典实例被详细分析。 3. 塞尔-黑尔维格序列（Serre Spectral Sequence）： 对于纤维丛 $F o E o B$，我们引入塞尔-黑尔维格序列作为计算群的强大工具，尽管其详细的代数推导可能较为复杂，但我们会强调其在计算 $pi_n(S^k)$ 时的实际应用价值，揭示球面同伦群的复杂性和非平凡性。 第三部分：从同伦到同调——同调论的建立 虽然同伦论提供了强大的不变量，但其计算难度极大。同调论的出现，旨在提供一个更易于计算且更具“线性”特性的代数不变量。本书将同调论的建立过程视为一种“线性化”或“松弛化”同伦概念的尝试。 1. 链复形与边界算子： 我们从离散几何对象（点、线、面）出发，构造链群 $C_n(X)$。关键在于定义边界算子 $partial_n$，并证明其满足 $partial_n circ partial_{n+1} = 0$ 的基本性质——即边界的边界是零。这是后续所有同调理论的基石。 2. 同调群与上同调群： 基于链复形，我们定义循环群 $Z_n = ext{Ker}(partial_n)$ 和边界群 $B_n = ext{Im}(partial_{n+1})$。同调群 $H_n(X)$ 定义为 $Z_n / B_n$。我们详细讨论了 $H_0(X)$ 与连通分支的关系。 3. 马耶-维托里斯序列（Mayer-Vietoris Sequence）： 这是一个计算同调群的强大工具，类似于纤维丛中的塞尔序列。我们通过分解空间 $X = U cup V$ 来构建该序列，并展示其在计算环 $S^1$ 和球面 $S^n$ 同调群中的应用，特别是如何证明 $H_n(S^n) cong mathbb{Z}$ (对于 $n ge 0$)。 4. 欧拉示性数与黎曼-霍奇理论的萌芽： 我们将链复形与有向图的组合结构联系起来，导出欧拉示性数 $chi(X) = sum (-1)^n ext{rank}(H_n(X))$。我们会探讨这个不变量的拓扑意义，并简要提及它与黎曼几何中更深刻的理论（如德拉姆上同调）的联系，尽管后者超出了本书的直接范围。 第四部分：系数群的推广与上同调 本书的最后部分将探讨同调论的推广，引入上同调（Cohomology）的概念，并讨论万有系数定理。 1. 链复形上的上链复形： 我们定义上链群 $C^n(X; G)$，并定义上边界算子 $delta^n$，展示上同调群 $H^n(X; G) = ext{Ker}(delta^n) / ext{Im}(delta^{n-1})$。 2. 万有系数定理（Universal Coefficient Theorem）： 我们将清晰地阐述该定理，说明如何利用系数群 $G$ 上的同调群来完全确定上同调群。这展示了同调与上同调之间的深刻代数关系。 3. 库涅特乘积（Künneth Formula）： 该公式提供了计算两个空间直积的同调群（或上同调群）的方法，连接了代数张量积与拓扑积。 4. 对偶性与应用： 我们讨论了在上同调中自然出现的环结构——上同调环 $H^(X)$。这使得上同调不再仅仅是一组群的集合，而是一个具有乘法结构的代数对象，能够捕捉更精细的几何信息，例如在切丛的稳定性分析中扮演的角色。 本书的最终目标是使读者能够熟练运用同伦和同调工具来分析和区分不同的拓扑空间，理解代数工具如何系统地编码连续形变的本质特征。书中包含大量的例题和详细的证明步骤，旨在培养读者严谨的数学思维和解决代数拓扑问题的能力。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

内容上，这本书的深度和广度令人咂舌，它似乎涵盖了代数拓扑学中从经典到现代的诸多关键分支，但又不是那种浅尝辄止的百科全书式罗列。作者对关键定理的阐述，特别是关于史丁罗德（Stenrod）平方和庞加莱对偶性的讨论，简直是教科书级别的典范。我特别欣赏作者在证明某些复杂定理时，引入的那些巧妙的“小技巧”和“辅助构造”，这些往往是普通教材中一笔带过，但恰恰是真正理解精髓所在的地方。对于那些希望将代数拓扑作为未来研究工具的读者来说，这本书提供的背景知识和前沿连接非常宝贵。它不仅仅是教你如何计算同调群，更深层次上，它在教你如何“用代数思维去观察空间结构”，这种思维模式的转变，是其价值的集中体现。读完某几个章节后，你会有一种“原来如此”的豁然开朗感，这是检验一本数学著作是否优秀的试金石。

评分☆☆☆☆☆

这本书的章节组织逻辑简直是一场数学上的“漫游探险”，从最基础的拓扑概念出发，如同铺设坚实的基石，然后逐步引导读者进入同伦群和奇异同调的宏伟殿堂。作者在引入新概念时，总是先给出清晰的直觉性解释，随后立刻跟上严格的定义和证明，这种循序渐进的方式极大地降低了初学者的畏难情绪。我发现，作者似乎非常擅长在看似抽象的结构中，挖掘出它们与几何直觉的内在联系，这使得原本枯燥的代数操作变得生动起来。特别是对于“陪集空间”和“纤维丛”等核心概念的处理，那种层层剥开、抽丝剥茧的论证过程，让人在茅塞顿开的同时，也对数学证明的严密性有了更深的体会。这套叙述体系，绝非那种将所有困难都推给读者的“快餐式”教材能比拟的，它要求你投入时间，但回报是扎实且深刻的理解，真正做到了“授人以渔”。

评分☆☆☆☆☆

这本书的“习题设计”部分，简直是一场精心布置的智力挑战赛。它们绝非那种简单的机械计算，而是巧妙地穿插在正文论述的缝隙之中，既巩固了刚刚学到的理论，又往往作为下一节内容的“预告”或“延伸阅读”。我注意到，习题的难度梯度设置得非常科学，从基础概念的检验，到需要综合运用多个定理的综合性大题，再到一些启发性的、几乎可以算作小型研究问题的开放性探讨。完成这些习题的过程，就像是在遵循一位经验丰富的导师的指导，每一步的探索都有明确的目的性。有些习题本身就是重要的引理，作者巧妙地将证明的“重担”交给了读者，使得读者在攻克难题时，获得的成就感是无可替代的。这套习题体系，完全可以作为独立的研究训练手册来使用，远超一般教材“附录”的定位。

评分☆☆☆☆☆

从教学法的角度来看，这本书展现出一种对数学本质的执着追求，它避免了现代教材中常见的、为了迎合市场而进行的过度“简化”或“可视化”。作者坚持认为，拓扑学的真正美感在于其逻辑的纯粹性，因此，即便是图示部分，也大多是辅助性的拓扑图或示意性配图，而非占据版面过多篇幅的、过于简化的彩色插图。这种“克制”的态度，反而让读者更专注于内在的数学结构本身。对于那些已经有一定数学基础，渴望深入理解代数拓扑内在逻辑和哲学基础的读者而言，这本书是近乎完美的。它教会你的不仅仅是一套计算工具，更是一种看待数学问题的独特视角，一种对空间和连续性的深刻洞察力，这种能力的培养，是任何快速入门指南所无法提供的，它需要时间、耐心，以及对数学美学的深刻敬意。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计和装帧质量着实令人印象深刻，那种古典与严谨并存的德式风格，让人一眼就能感受到其内容的厚重与学术气息。我尤其喜欢它使用的纸张质感，印刷清晰，即便是复杂的公式和图表也能看得一清二楚，这对于研读拓扑学这种需要精细观察的学科来说，简直是福音。初次翻阅时，那种翻动书页带来的沙沙声，仿佛就能将人带入那个纯粹的数学世界。排版布局也十分考究，适当的留白使得密集的数学符号不至于让人感到窒息，阅读体验远超许多当代追求“扁平化”设计的教材。它不仅仅是一本工具书，更像是一件精心制作的工艺品，体现了出版方对知识传承的敬意。那种老派的、专注于内容的排版哲学，反而成了它最大的优点，让你知道你正在接触的是经过时间考验的经典著作。这种实体书的质感，是电子阅读器永远无法替代的，它承载了知识的重量和历史的厚度，让人在捧读时自然而然地生出敬畏之心。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆