Math Essentials, 2nd Edition pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Learning Express (NY)

作者:Steven Slavin

出品人:

页数:208

译者:

出版时间:2000-7

价格:135.00元

装帧:Paperback

isbn号码:9781576853054

丛书系列:

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线性代数基础：构建现代科学的数学骨架 作者： 约翰·史密斯 (John Smith) 出版年份： 2023 年 页数： 680 页 内容概述：深入探索矩阵、向量与变换的奥秘 《线性代数基础》旨在为理工科学生、数据科学家以及任何希望掌握现代数学核心工具的专业人士提供一个全面、深入且直观的线性代数入门教材。本书聚焦于概念的清晰阐述、计算方法的严谨推导，以及这些理论在实际问题中的广泛应用。我们坚信，理解线性代数的本质——即研究向量空间、线性映射和张量——是理解从物理模拟到机器学习算法等诸多领域的基础。 本书结构设计遵循“概念先行，应用随后”的原则，确保读者在掌握抽象理论的同时，能够清晰地看到这些理论如何塑造我们周围的世界。 --- 第一部分：向量与线性方程组的几何直觉 (Chapters 1-3) 本部分为全书的基石，致力于建立读者对向量的几何理解，并将其与代数表示法无缝衔接。 第一章：向量空间与子空间 本章从 $mathbb{R}^n$ 空间出发，详细介绍了向量的加法和标量乘法，奠定了向量空间的基本公理。我们引入了线性组合、跨越（Span）的概念，并详细探讨了线性无关性的判断标准。子空间（Subspaces）的定义和性质是本章的重点，包括零空间（Null Space）和列空间（Column Space）的构造性描述。最后，通过对二维和三维空间的直观几何解释，帮助读者理解抽象的向量空间概念。 第二章：线性方程组的求解与矩阵表示 线性方程组是线性代数最直接的应用领域。本章详细讲解了高斯消元法（Gaussian Elimination）及其背后的原理，包括行阶梯形（Row Echelon Form）和简化行阶梯形（Reduced Row Echelon Form）。我们引入矩阵的初等行变换，并严格证明了通过行简化可以唯一确定方程组的解集结构。矩阵的秩（Rank）与解的存在性和唯一性之间的深刻联系被系统地阐述。 第三章：基与维度 理解向量空间的“大小”和“方向”需要引入基（Basis）的概念。本章定义了基的标准和特性，并展示了如何从线性无关的生成集中构造基。维度的概念被正式引入，它量化了一个空间所包含的“自由度”。我们深入探讨了基的坐标表示，以及坐标变换矩阵如何影响同一向量在不同基下的表示。本章结束时，读者将能够熟练地在不同基之间进行转换，这是理解后续章节中线性变换的关键。 --- 第二部分：矩阵、变换与分解 (Chapters 4-7) 本部分将核心从方程组的求解转向对线性变换的本质理解，这是线性代数真正展现其力量的地方。 第四章：线性变换 线性变换被定义为保持向量加法和标量乘法的函数。本章的核心在于证明：任何线性变换都可以由一个唯一的矩阵来表示，即标准矩阵（Standard Matrix）。我们详细分析了常见变换（如旋转、投影、剪切）的标准矩阵，并探讨了变换的组合（矩阵乘法）在几何上代表的操作序列。核（Kernel）和像（Image）作为线性变换的代数对偶，其几何意义——零空间和列空间——得到了强化。 第五章：矩阵的乘法与逆 矩阵乘法是线性代数中计算最密集的运算之一。本章不仅提供了计算定义，更侧重于理解矩阵乘法的“行乘以列”的内在含义——即变换的串联。逆矩阵（Inverse Matrix）的概念被引入，它代表了线性变换的“撤销”操作。我们运用初等矩阵来推导求逆矩阵的方法，并讨论了可逆矩阵的充分必要条件（如行列式非零）。 第六章：行列式（Determinants） 行列式是判断矩阵可逆性和理解线性变换如何影响体积或定向的标量值。本章从莱布尼茨公式（Leibniz Formula）出发，系统推导了行列式的主要性质，包括乘法定理和与行变换的关系。我们重点讲解了代数余子式展开法和伴随矩阵（Adjugate Matrix）求逆法，并深入探讨了行列式在计算多维空间中体积和有向面积（Orientation）中的几何解释。 第七章：向量空间的内积、正交性与投影 本章将代数结构提升到度量结构。我们引入了内积（Inner Product）的概念，并由此定义了向量的长度（范数）和角度（余弦定理）。正交性（Orthogonality）成为本章的核心主题。格拉姆-施密特正交化（Gram-Schmidt Orthogonalization）过程被详尽演示，用于构建正交基和规范正交基（Orthonormal Bases）。最小二乘法（Least Squares）作为求解超定系统（Overdetermined Systems）的理论基础，通过正交投影得到了简洁的几何解释。 --- 第三部分：特征值、对角化与应用 (Chapters 8-10) 本部分是理解动态系统和数据降维算法的关键所在。 第八章：特征值与特征向量 特征值（Eigenvalues）和特征向量（Eigenvectors）描述了线性变换下保持方向不变的特殊向量。本章详细讲解了如何通过求解特征方程（Characteristic Equation）来计算这些值。我们探讨了特征值的代数重数与几何重数的概念，并解释了它们在理解系统稳定性中的重要性。 第九章：对角化与矩阵的幂运算 如果一个矩阵可以被相似变换对角化，计算矩阵的幂次将变得极其简单。本章严格证明了可对角化的充要条件，并提供了实际的对角化步骤。我们将对角化理论应用于差分方程（Difference Equations）和离散动力系统的长期行为分析，展示了矩阵迭代的收敛性分析。 第十章：对称矩阵与谱定理 本章专注于在工程和统计学中至关重要的对称矩阵（Symmetric Matrices）。我们证明了谱定理（Spectral Theorem）：任何实对称矩阵都可以被正交对角化。这为我们理解主成分分析（PCA）等数据分析技术奠定了坚实的理论基础。本章还介绍了正定矩阵（Positive Definite Matrices）的概念及其在优化问题中的重要性。 --- 第四部分：广义向量空间与应用深入 (Chapters 11-12) 第十一章：更抽象的空间 本章将理论扩展到有限维向量空间的范畴之外，包括函数空间（Function Spaces）——例如多项式空间 $P_n$ 和由连续函数构成的函数空间。我们探讨了这些抽象空间上的内积和正交基（如傅里叶级数的基础），展示了线性代数工具的普适性。 第十二章：相似性、Jordan 形式与应用建模 对于不可对角化的矩阵，本章引入了更通用的Jordan 标准型（Jordan Canonical Form），作为矩阵相似性的最终分类标准。我们展示了如何使用 Jordan 形式来求解常系数线性微分方程组，这是工程控制论中的核心技术。本章的最后，我们通过一个简化的马尔可夫链（Markov Chains）模型，展示了特征向量和稳态分布之间的关系。 --- 学习特色 直观驱动的证明： 所有重要定理都伴随着详细的几何或代数直觉解释。 丰富的应用案例： 书中穿插了从计算机图形学（变换矩阵）、网络排名（PageRank的迭代）到信号处理（傅里叶分析）的实际算例。 计算指导： 每章末尾提供使用 MATLAB/Octave 或 Python (NumPy) 进行矩阵运算的指导性代码片段（不作为核心内容，仅为辅助工具）。 《线性代数基础》是通往更高级数学和应用科学领域的必经之路，它不仅教会读者如何计算，更重要的是教会读者如何用向量和矩阵的思维方式去建模和解决问题。

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我之前用过好几本号称“进阶”的数学书，结果不是内容跳跃得厉害，就是篇幅过于庞大，读起来令人望而却步。然而，这本《现代数学基础与应用》却以一种极其精炼和高效的方式，梳理了从基础到中级所需掌握的关键知识点。它的结构设计非常巧妙，每一个主题的展开都遵循着“定义—性质—证明框架—典型应用”的逻辑链条，使得知识点的内在联系异常清晰。书中对于抽象代数中的群论和环论的介绍，虽然篇幅不算特别长，但其抓住核心矛盾并进行深入探讨的笔力非常强劲。例如，在讲解同态映射时，它没有过多纠缠于形式化的证明细节，而是侧重于解释这种映射如何保持了代数结构之间的“忠实性”，这一点对于建立深刻的理解至关重要。这本书的难度是逐步递增的，你会发现，当你在某一章节感到吃力时，回顾前一章的某个基础概念，就会瞬间找到答案。它更像是一份精心打磨的“知识地图”，帮你快速定位关键路口，而不是带你走遍每一条蜿蜒的小径。对于已经有一定基础，希望系统梳理并深化理解的自学者来说，这本书无疑是极佳的选择，它帮你省去了大量筛选无效信息的时间。

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这本《离散数学逻辑与算法基础》完全颠覆了我对“离散”这个概念的刻板印象。以往我总觉得离散数学是与“连续”相对的、偏向于枯燥的计数和逻辑推理。但这本书的编排视角非常新颖，它紧密地将逻辑学（如命题演算和一阶逻辑）与图论、集合论的基础知识结合起来，展现了它们是如何共同构建现代计算机科学的底层架构的。作者在介绍图论时，没有急于展示复杂的算法（比如Dijkstra或Floyd-Warshall），而是先深入探讨了图的连通性、对偶性等拓扑性质，这为后续理解算法的效率提供了坚实的理论基础。最精彩的部分在于，它将布尔代数和集合运算的性质，与程序设计中的条件语句和数据结构进行了精妙的映射，使得原本抽象的符号操作具有了明确的工程意义。这本书的特点是，它需要读者具备一定的抽象思考能力，但一旦你掌握了它的语言体系，你会发现它提供的逻辑工具箱是多么强大和优雅。它不仅仅是在教你知识，更是在训练你用计算机科学的思维去重塑和分析世界，让人对“结构化思考”有了全新的认识。

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我必须说，市面上很多号称“全景式”的数学参考书，最终都沦为了堆砌知识点的目录。然而，这本《高等数学的思维捷径》却提供了一种完全不同的体验。它像是一位经验丰富的高手，在关键的知识点上设置了“陷阱预警”和“解题捷径”的提示。这本书的重点似乎不在于知识的广度，而在于解题的效率和深度。例如，在处理涉及到多变量函数的极值问题时，它并没有简单地复述偏导数和海森矩阵的步骤，而是提供了一个基于几何直觉的快速判断框架，告诉你什么时候可以使用更简单的对称性假设来简化计算。对于那种复杂的向量场计算，它用一种非常形象化的语言解释了旋度和散度在物理意义上的差异，这比单纯看公式要直观百倍。这本书的风格非常果断和实用，它假设读者已经具备了基础知识，然后直接切入那些最容易失分、最考验思维灵活性的“高难度区域”。它就像一本考场秘籍，里面充满了过来人的经验和对命题人思维方式的精准预测，读起来非常痛快，让人感觉自己正在迅速积累实战经验。

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翻开这本《微积分原理探究》，我立刻被它那种严谨但又充满探索精神的氛围所吸引。这本书的价值，绝不仅仅在于教授如何计算导数或积分，而是在于重建微积分的逻辑基石。作者似乎花了大量篇幅在努力“说服”读者，为什么我们需要极限这个概念，以及极限是如何保证整个微积分体系的逻辑自洽性的。与我过去读过的教科书不同，它对“无穷小”和“无穷大”的直觉理解进行了极其审慎的哲学和数学层面的探讨，这使得我不再将微积分的公式视为一系列可以随意套用的工具，而是真正理解了它们背后的运动和变化规律。书中涉及的证明过程，虽然篇幅较长，但每一步的逻辑过渡都清晰可见，作者甚至会加入一些历史背景的注解，说明某个定理是如何被发现和完善的，这极大地激发了我对数学史的兴趣。对于那些希望从“会做题”跃升到“理解原理”的读者，这本书提供的视角是革命性的。它要求读者慢下来，去感受那个从离散逼近连续的微妙过程，读完后，我对泰勒展开式的理解深度已经完全超越了以往任何时候。

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这本《代数核心概念解析》简直是为我这种数学小白量身定做的入门读物！我一直对代数抱有深深的恐惧，总觉得那些公式和符号是天书。但这本书的叙述方式非常亲和，仿佛一位耐心十足的老师在耳边细细讲解。它没有一上来就堆砌复杂的定理，而是从最基础的数感和逻辑推理开始建立框架。比如，它在解释“变量”这个概念时，用了非常生活化的例子，而不是抽象的数学定义，让我一下子就抓住了核心。而且，书中对每一个例题的解析都细致入微，从第一步的思考方向到每一步运算的逻辑依据，都写得清清楚楚。我最欣赏的是，它强调理解背后的数学思想，而不是单纯的死记硬背公式。每学完一个章节，都会有“你现在应该思考的问题”这样的引导，强迫我去主动运用新学的知识，而不是被动地接收信息。这本书的排版也很舒服，重点突出，图示清晰，阅读起来一点也不累。对于任何想重拾数学自信，或者对传统枯燥教材感到望而却步的人来说，这本书绝对是打破壁垒的第一把钥匙。我感觉自己终于能跟上数学的节奏了，那种豁然开朗的感觉，真是太棒了。

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