A first course in analysis pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:北京世界图书出版公司

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isbn号码:9789624300444

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现代数学基础：从集合论到拓扑学 一部深入探讨分析学根基的严谨著作 本书旨在为读者提供一个全面而深入的现代数学基础，重点关注分析学、拓扑学和集合论的核心概念。它不仅仅是一本教材，更是一部引导读者进入高等数学抽象世界的路线图，强调严谨的逻辑推理和对数学结构的深刻理解。本书的结构设计，旨在逐步构建读者对现代数学语言的掌握，为后续的深入研究，如实分析、泛函分析乃至代数拓扑，打下坚实的基础。 第一部分：集合论与逻辑的基石 本部分是全书的逻辑起点，我们从最基本的概念出发，建立起所有后续数学结构的骨架。 第一章：朴素集合论与逻辑回顾 我们从集合的直观概念开始，迅速过渡到形式化的定义。讨论集合的构造、子集、幂集，以及集合之间的关系（相等、包含）。本章着重于集合运算（并、交、差、对称差）的代数性质，并利用文氏图进行初步的可视化理解。 随后，对命题逻辑和一阶逻辑进行必要的回顾和形式化。重点讨论量词（全称量词 $forall$ 和存在量词 $exists$）的使用规范、逻辑联结词的真值表，以及如何构建严谨的数学证明。我们引入直接证明、反证法（Reductio ad Absurdum）、对偶原理（Contraposition）和数学归纳法作为核心的证明工具。特别地，我们详细分析了归纳法在证明数列性质和离散结构中的应用，强调其作为数学推理范式的核心地位。 第二章：函数、关系与构造 本章将集合间的结构化映射——关系和函数——置于中心位置。我们定义笛卡尔积，并探讨二元关系的性质，如自反性、对称性、传递性和反对称性。等价关系的引入至关重要，它自然地引出了商集（Quotient Sets）的概念，这是理解抽象结构同构性的关键一步。 函数的概念将从映射扩展到更严格的定义，关注其定义域、值域和图像。我们深入分析单射（Injective）、满射（Surjective）和双射（Bijective）函数的性质，特别是它们在构造逆运算和集合等势性判断中的作用。集合的等势性通过双射来严格定义，这为基数（Cardinality）的概念奠定了基础。 第三章：可数性与不可数性 本章是建立对无限概念理解的关键。我们严格定义可数无限集，并证明$mathbb{N}$（自然数集）、$mathbb{Z}$（整数集）和$mathbb{Q}$（有理数集）都是可数的。我们通过对角线论证法，引入不可数集的概念，并以$mathbb{R}$（实数集）作为典型的不可数集进行展示。康托尔定理（Cantor's Theorem），即任何集合的幂集比它本身“更大”，将作为本章的高潮，明确揭示了无限的不同“大小”。我们也将简要介绍康托尔-伯恩斯坦定理（Cantor-Bernstein Theorem），用以比较任意两个集合的基数。 第二部分：实数系统的构建与分析 本部分的目标是严谨地从更基础的结构（如自然数）出发，构造出实数系统，并建立分析学所依赖的度量结构。 第四章：自然数与整数的构造 我们采用皮亚诺公理（Peano Axioms）来形式化自然数集 $mathbb{N}$。公理体系的介绍旨在展示数学家如何从最少的假设出发，构建起看似平凡却至关重要的结构。基于皮亚诺公理，我们使用递归定义来建立加法和乘法，并证明其基本运算律。 随后，整数集 $mathbb{Z}$ 被定义为有序对等价类（基于自然数的差集），确保了减法的可操作性。本章强化了对归纳法在证明中作为“工具箱”的核心价值。 第五章：有理数与实数的构造 有理数集 $mathbb{Q}$ 通过 $mathbb{Z}$ 上的等价关系（基于分数对）被形式化地构造出来。这一构造过程是集合论在代数结构构建中的经典应用。 实数集的构造是本课程的里程碑。我们将重点介绍戴德金分割（Dedekind Cuts）或柯西序列（取决于教学侧重，本书倾向于分割法）作为构造 $mathbb{R}$ 的方法。通过戴德金分割，我们严格定义了实数，并证明了实数集满足有序域的性质，以及最重要的完备性（Completeness）。完备性，即任何非空、有上界的有理子集都有实数上确界（Supremum），是分析学区别于代数和离散数学的根本特征。 第六章：拓扑预备：点集拓扑基础 在深入分析学之前，有必要引入现代数学中处理“邻近性”和“收敛性”的通用语言——拓扑学。本章主要关注度量空间（Metric Spaces），这是分析学中最直观的拓扑结构。 我们定义了度量函数，并探讨了实数线上欧几里得度量 $ ext{d}(x, y) = |x - y|$ 的性质。基于度量，我们定义了开球（Open Balls）和开集（Open Sets）。接着，定义闭集（Closed Sets）、邻域（Neighborhoods）、聚点（Limit Points）和内点（Interior Points）。本章将这些概念推广到一般的度量空间 $(X, d)$ 上，为后续的收敛性讨论奠定基础。 第三部分：极限、连续性与收敛性 本部分将前面建立的完备性和拓扑概念应用于数列和函数，定义分析学的核心概念。 第七章：序列与收敛性 我们将数列（实数序列）定义为从自然数到实数的函数。收敛性的严格定义 $epsilon-N$ 是本章的重点。我们将证明，在一个度量空间中，序列的收敛性是唯一确定的。本章随后讨论有界序列、单调收敛定理，并深入探讨柯西序列（Cauchy Sequences）。完备性的真正威力体现在完备度量空间的定义上：一个度量空间是完备的，当且仅当它的每一个柯西序列都收敛于空间内的某一点。我们将证明 $mathbb{R}$（连同欧几里得度量）是完备的。 第八章：连续函数与拓扑保持 在本章中，我们将“接近性”的概念从代数语言（极限）提升到拓扑语言（邻域）。我们首先定义了函数在一点的连续性（$epsilon-delta$ 定义），然后用拓扑术语推广到整个空间。在一个度量空间中，函数 $f: X o Y$ 连续，当且仅当 $f$ 将开集映为开集（或者说，原像保持开集性）。 我们证明了连续函数的基本性质：有限集在连续映射下的像仍是有限集；两个连续函数的复合仍然是连续的。对于实值函数，我们将讨论如介值定理（Intermediate Value Theorem）和极值定理（Extreme Value Theorem）等在完备空间上的重要结论。 第九章：序列与函数的极限 本章将极限的概念从序列的收敛性扩展到函数的极限。我们分析了极限存在的充分必要条件，以及处理多变量函数（或函数在某个点邻域内的行为）时，如何使用限制性路径（Paths）来证明极限不存在。 我们还将考察函数序列的点态收敛（Pointwise Convergence）和一致收敛（Uniform Convergence）。一致收敛的引入是分析学与拓扑学交叉的又一关键点。我们将展示，只有一致收敛才能保证极限函数的连续性，并引入Weierstrass M-Test作为函数序列一致收敛性的重要判据。 结论：迈向更广阔的领域 本书的结构旨在确保读者不仅能“使用”分析工具，更能“理解”这些工具背后的严谨性与必然性。通过对集合论和拓扑学的详尽铺垫，读者将具备扎实的现代数学思维，能够自信地进入更高阶的分析领域，如勒贝格积分理论或度量空间的深入结构分析。本书所构建的完备性和连续性的框架，是通往所有现代数学分支的必经之路。

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翻开“A First Course in Analysis”，我立刻被其严谨的学术风格所吸引。这本书的文字表述准确而精炼，没有丝毫的拖泥带水，这对于学习分析学这样一门需要高度精确的学科来说，是至关重要的。我希望书中在引入每一个新的定义或定理时，都能给出充分的动机和铺垫，让我明白为什么要引入这个概念，它解决了什么问题，以及它与之前学习的内容之间有什么联系。我尤其看重书中对一些关键定理的证明过程。一本好的分析学教材，其证明过程应该是清晰、逻辑严密、并且易于跟随的。我期待书中能够用多种不同的方式来证明同一个定理（如果可能的话），或者在证明的关键步骤给出详尽的解释，帮助我们理解其背后的逻辑。此外，我希望书中能够有比较详细的目录和索引，方便我在阅读过程中随时查阅，或者回顾已经学习过的内容。这本书给我的感觉，它在尽一切可能地为读者提供一个高质量的学习体验，让我在追求数学真理的道路上，少走弯路，多一份收获。

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从这本书的装帧和书名来看，“A First Course in Analysis”就给我一种非常专业、权威的感觉。我个人对数学的历史和哲学方面也颇感兴趣，希望这本书在介绍数学概念的同时，也能适当地穿插一些相关的历史背景或者一些思考性的问题。比如，某些定理的提出是如何受到当时数学发展需求的驱动的，或者某个概念的引入给整个数学领域带来了怎样的变革。这样的内容能够极大地增加学习的趣味性，也能帮助我们更深入地理解数学的价值和意义。我期待书中能够有一些“思考题”或者“拓展题”，这些题目不一定要求严格的证明，但能够激发我们对问题的思考，培养我们独立钻研的能力。例如，围绕某个定理，提出一些“如果……会怎样？”的问题，引导我们去探索数学的可能性。这本书给我的感觉，它不仅仅是一本传授知识的工具书，更是一位能够启发我们思考、激发我们对数学热爱的引路人，它希望我们能够成为主动的学习者，而不是被动的接受者。

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拿到“A First Course in Analysis”这本书，最直观的感受就是它的编排非常清晰，逻辑性极强。我喜欢它将每个重要的概念都进行了单独的章节划分，并且在每个章节内部，又将内容细致地分解成小节，这样使得学习过程非常有条理，不会感到迷失。我特别期待书中对函数空间、度量空间等进阶概念的介绍，虽然它们可能对初学者来说有一定的挑战性，但我相信这本书一定会用它特有的方式，将这些复杂的概念变得易于理解。我希望书中能够提供丰富的例证，并且这些例子的选择都非常有代表性，能够帮助我从不同角度去理解同一个概念。此外，我非常看重书中对于证明技巧的讲解。一本好的分析学教材，不仅要教会你“是什么”，更要教会你“怎么证明”，以及“为什么这么证明”。我期待这本书能够在这个方面做得出色，让我能够掌握分析学研究的基本方法和思维方式。这本书给我的感觉，它在努力构建一个完整的知识体系，让读者在学习的过程中，能够逐步建立起对分析学全局的认知，而不是碎片化的知识点堆砌。

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最近我一直在寻找一本能够真正帮助我理解数学分析核心思想的书籍，而“A First Course in Analysis”恰恰给我带来了惊喜。这本书的叙述方式非常吸引人，它不是那种枯燥乏味的定理罗列，而是通过一个个生动有趣的例子来解释抽象的概念。我尤其欣赏作者在讲解过程中展现出的严谨性，但同时又保持了语言的流畅和可读性，这对于初学者来说至关重要。它让我感觉作者在用心揣摩我们这些第一次接触分析学的读者的感受，尽量避免使用过于专业的术语，或者在必要时给出清晰的解释。我期待书中能够有大量的练习题，并且这些练习题的难度能够循序渐进，从基础的概念巩固到一些稍微复杂一些的应用。解决这些问题能够让我更好地检验自己的理解程度，也能够让我体会到分析学在解决实际问题中的应用价值。这本书给我的感觉就像是在一步步地教你如何思考，如何构建数学证明，而不是简单地灌输知识。我希望它能够教会我如何“看到”数学中的逻辑，如何享受证明的乐趣，最终培养我对数学分析的深刻理解和长久兴趣。

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这本书的封面设计有一种复古的质感，书名“A First Course in Analysis”字体优雅，初次拿到它，就有一种想要深入探索的冲动。我尤其喜欢它纸张的触感，厚实而不失细腻，翻阅时沙沙的声音，仿佛是开启知识殿堂的序曲。在拿到这本书之前，我对分析学这个领域充满了好奇，但又有些畏惧，总觉得它是一门高深莫测的学科。然而，当我翻开这本书，看到它清晰的排版、合理的内容划分，以及那些恰到好处的插图（如果书中确实有的话，那真是太棒了！），我的担忧便消散了不少。每一章的开头都似乎在用一种友好的方式引导读者，没有那种一开始就扑面而来的艰深晦涩。我特别期待书中对一些经典分析概念的介绍，比如极限、连续性、收敛性等等，希望它能用一种循序渐进、易于理解的方式来阐述，而不是堆砌枯燥的定义和复杂的证明。我希望这本书能真正成为我踏入分析学世界的坚实第一步，让我能够建立起扎实的基础，为日后更深入的学习打下良好的根基。这本书给我的第一印象是，它不仅仅是一本教科书，更像是一位耐心而睿智的老师，随时准备为我解答疑惑，引领我穿梭在数学的逻辑之美中。

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