高等数学（下册） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:吴坚

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2006-1

价格:24.80元

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isbn号码:9787109110229

丛书系列:

图书标签:

• 高等数学
• 数学
• 微积分
• 理工科
• 教材
• 大学
• 下册
• 函数
• 极限
• 导数

好的，这是一本涵盖了大学一年级下学期至大二上学期数学核心内容的教材的详细介绍。 --- 《现代概率论与数理统计基础》 第一部分：概率论基础 第一章：随机事件与概率 本章旨在为读者构建严谨的概率论思维框架，是理解后续所有随机现象分析的基础。我们从日常生活中常见的随机现象入手，引入随机试验、样本空间等基本概念。 1.1 随机试验与样本空间： 详细阐述如何将实际问题抽象为数学模型，清晰界定试验的可能结果集合——样本空间 $Omega$。通过抛硬币、掷骰子等实例，明确离散型和连续型样本空间的区别。 1.2 随机事件及其运算： 随机事件被定义为样本空间的一个子集。本节深入探讨事件的和、积、差等基本运算，并引入德摩根定律等集合论工具在概率论中的应用。特别强调事件的互斥性与对立性的几何意义。 1.3 概率的定义与性质： 考察了概率的古典定义、几何定义，并重点阐述了基于可测空间的公理化定义（柯尔莫哥洛夫公理）。着重推导和证明概率的基本性质，如非负性、规范性、可加性，并利用这些性质解决涉及包含与排斥原理的复杂事件概率计算问题。 1.4 条件概率与独立性： 条件概率是分析事件之间相互影响的关键。本章细致讲解条件概率的定义 $P(A|B) = P(AB)/P(B)$，并讨论其在事件发生后的概率更新过程中的作用。在此基础上，深入探讨事件的独立性概念，区分“相互独立”与“互斥”的本质差异，并引入独立事件组的概念。 第二章：随机变量及其分布 本章将概率论的分析对象从事件扩展到具体的数值化变量，是概率论分析的核心工具。 2.1 离散型随机变量及其分布律： 明确离散型随机变量的定义，系统介绍概率分布列（分布律）的构造与性质。重点分析和熟练掌握二项分布 $B(n, p)$、泊松分布 $P(lambda)$ 的应用场景、期望和方差的计算，以及它们在实际问题（如缺陷品率、罕见事件发生次数）中的拟合。 2.2 连续型随机变量及其概率密度函数： 引入连续型随机变量的概念，讲解累积分布函数（CDF） $F(x)$ 的性质。详细阐述概率密度函数（PDF） $f(x)$ 的定义、性质及其与CDF之间的关系。通过积分运算，讲解如何计算任意区间上的概率。 2.3 常用连续型分布： 详述均匀分布、指数分布、正态分布 $N(mu, sigma^2)$ 的特性。正态分布部分将详细介绍其优美的对称性、无记忆性（指数分布的特性），以及标准正态分布 $Phi(z)$ 的查表应用，为后续的统计推断奠定基础。 2.4 随机变量的联合分布： 扩展到多个随机变量的情况。讨论二维离散变量的联合分布律和二维连续变量的联合概率密度函数 $f(x, y)$。讲解边际分布（边缘分布）的计算方法，以及随机变量的相互独立性的严格判据（密度函数的乘积性）。 第三章：随机变量的数字特征 本章关注如何用少数几个数值量来概括随机变量的集中趋势、离散程度和分布形态。 3.1 数学期望（均值）： 给出离散型和连续型随机变量数学期望的精确定义。深入探讨期望的线性性质 $E(aX+bY) = aE(X)+bE(Y)$，以及期望的乘法性质在独立变量下的简化。 3.2 方差与标准差： 定义方差 $D(X) = E[(X-mu)^2]$，作为度量随机变量取值分散程度的指标。详细推导方差的计算公式 $D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$，并分析方差的性质，特别是当 $X$ 和 $Y$ 相互独立时，方差的相加性。 3.3 矩与不等式： 介绍原点矩和中心矩，如三阶矩（偏度）和四阶矩（峰度）在描述分布形状中的作用。重点学习和应用切比雪夫不等式，理解它如何在不完全了解分布形态的情况下，为概率提供一个通用的界限估计。 3.4 协方差与相关系数： 当分析两个随机变量的关系时，协方差 $ ext{Cov}(X, Y)$ 成为关键。阐释协方差的正负号所揭示的线性关系方向。最终，引入相关系数 $ ho_{XY}$，将其标准化，使其值域固定在 $[-1, 1]$ 内，作为衡量线性相关强度的精确指标。 --- 第二部分：数理统计基础 第四章：大数定律与中心极限定理 本章是连接概率论与统计推断的桥梁，解释了为什么我们可以用样本信息来估计总体特征。 4.1 大数定律： 阐述契比雪夫大数定律和更强的强大数定律。通过严谨的数学描述，说明大量重复试验的平均结果会依概率收敛于或几乎必然收敛于其期望值，这是频率学派统计推断的理论基石。 4.2 中心极限定理（CLT）： 毫无疑问，这是概率论中最重要的定理之一。本章深入剖析中心极限定理的内涵——无论总体分布如何，只要样本量足够大，样本均值的分布将趋近于正态分布。详细讲解标准化的过程，并展示CLT如何使得统计推断中的许多方法（如假设检验和置信区间）能够依赖于正态性。 第五章：统计估计 本章关注如何利用从总体中抽取的样本数据，来推断未知的总体参数。 5.1 估计量的性质： 引入点估计的概念，并从无偏性、有效性（最小方差）、一致性三个核心指标来评价估计量的优劣。重点分析样本均值 $ar{X}$ 和样本方差 $S^2$ 作为参数估计量的优良性质。 5.2 矩估计法与极大似然估计法（MLE）： 教授两种主要的点估计构造方法。矩估计法通过令样本矩等于总体矩来求解未知参数。极大似然估计法则通过最大化样本出现的概率（似然函数）来确定参数值，这是现代统计学中应用最广泛的方法，本节将演示其在不同分布下的具体求解过程。 5.3 区间估计（置信区间）： 将参数估计从一个点扩展为一个范围。详细讲解置信水平的含义。根据总体方差已知或未知、样本量大小等不同情况，系统推导和应用Z分布、t分布（学生t分布）、$chi^2$ 分布来构建总体均值 $mu$ 和总体方差 $sigma^2$ 的置信区间。 第六章：统计推断基础（假设检验初步） 本章是统计推断的另一半，关注如何根据样本信息对总体的某种未知特性做出决断。 6.1 假设检验的基本原理： 明确原假设 $H_0$ 与备择假设 $H_1$ 的设定。详细解释第一类错误（犯弃真错误）和第二类错误（犯取伪错误）的概率 $alpha$（显著性水平）和 $eta$。引入检验统计量和拒绝域的概念。 6.2 常见参数的单样本假设检验： 基于前面学到的分布知识，本节重点介绍对总体均值 $mu$（使用 Z 检验或 t 检验）和总体比例 $p$ 的单侧及双侧检验的完整步骤和判据。 6.3 卡方 ($chi^2$) 分布与拟合优度检验： 介绍卡方分布的性质及其与自由度的关系。通过拟合优度检验（Goodness-of-Fit Test）和独立性检验（Contingency Table Analysis），展示如何检验观测数据的分布是否符合某一理论分布，或两个分类变量之间是否存在关联。 --- 适用对象： 本书是为理工科、经济管理类专业学生设计的，是学习随机过程、时间序列分析、金融工程、数据科学及机器学习等高级课程的坚实基础。要求读者具备微积分（求导、积分、级数）的基础知识。 本书特色： 结构严谨，逻辑清晰，从概率论的基本公理出发，逐步过渡到数理统计的实际应用。例题设计紧密结合工程和实际问题，旨在培养学生利用随机性工具分析复杂系统的能力。

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