An Elementary Treatise on Fourier'S pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:William Elwood Byerly

出品人:

页数:287

译者:

出版时间:2003-12

价格:$ 59.33

装帧:

isbn号码:9780486495460

丛书系列:

图书标签:

• Fourier analysis
• Harmonic analysis
• Mathematical analysis
• Trigonometry
• Differential equations
• Physics
• Mathematics
• Calculus
• Engineering
• Scientific computing

现代高等数学中的傅立叶分析：理论、应用与前沿探索 图书简介 本书旨在为读者提供一个全面、深入且富有洞察力的傅立叶分析领域学习体验。我们摒弃了传统教材中对初级概念的过度重复，而是直接聚焦于现代数学和工程应用中最核心、最关键的理论构建与实际操作层面。本书内容覆盖了傅立叶分析的精髓，从古典理论的严谨性到其在当代科学技术中的广阔应用，力求实现理论深度与实践广度的完美结合。 本书结构精心设计，旨在引导读者逐步建立起对该领域的直观理解和严格的数学思维。我们不只是简单罗列公式，而是深入剖析了傅立叶级数和傅立叶变换背后的深刻数学原理，特别强调了函数空间、内积结构以及收敛性理论在支撑整个分析框架中的决定性作用。 第一部分：数学基础与严谨性构建 本部分将傅立叶分析置于泛函分析的坚实基础之上。我们首先回顾必要的拓扑学概念，特别是赋范线性空间与内积空间（希尔伯特空间）的性质，为傅立叶级数提供严格的函数空间背景。 傅立叶级数的重访与深入： 传统教材往往在有限区间内草草收尾，本书则将重点放在$L^2$ 空间上的完备性。我们详细探讨了三角函数的正交性如何自然地导出傅立叶系数的计算，并用狄利克雷核的性质来分析不同类型函数（如分段光滑函数、不连续点）的收敛行为。收敛性分析将超越简单的点态收敛，深入讨论均方收敛（$L^2$ 收敛），这是连接离散傅立叶级数与连续傅立叶变换的关键桥梁。我们还将介绍韦斯特拉斯逼近定理与傅立叶级数之间的关系，揭示其作为“最佳三角多项式逼近”的本质。 傅立叶变换的严格定义与性质： 傅立叶变换的引入将是基于广义函数理论的视角，尽管不完全深入广义函数本身，但会采用更现代的定义方式，关注舒瓦兹空间（Tempered Distributions）的初步概念，以确保对冲激函数（如狄拉克 $delta$ 函数）和常数的处理更加精确。我们详尽推导了傅立叶变换的线性、时移、频移、尺度变换以及最重要的卷积定理。卷积定理的推导将强调其在解决微分方程和积分方程中的核心地位。 Plancherel 定理与 Parseval 恒等式： 本部分的高潮是对能量守恒原理的数学表达。我们严格证明了 Plancherel 定理，阐明了傅立叶变换在 $L^2$ 空间上的等距性质，并详细讨论了 Parseval 恒等式在信号能量、功率谱分析中的直接应用。 第二部分：傅立叶分析在现代科学中的核心应用 理论的价值在于应用。本部分将傅立叶分析视为解决复杂物理和工程问题的通用工具箱。 偏微分方程的求解： 我们将傅立叶变换作为一种强大的求解算子，专门应用于常系数线性偏微分方程（PDEs）。内容重点聚焦于热传导方程、波动方程和拉普拉斯方程在无限域或周期性边界条件下的求解。傅立叶变换如何将 PDE 转化为易于求解的常微分方程（ODE）或代数方程，是本节的核心演示。 信号处理与谱分析： 这一应用领域是傅立叶分析的天然栖息地。我们将引入离散傅立叶变换 (DFT) 及其高效算法——快速傅立叶变换 (FFT) 的核心思想，但不深入算法实现的细节。重点在于采样定理（Nyquist-Shannon 定理）的严格论证及其在数字信号重建中的意义。我们探讨了频谱泄露、窗函数效应，并将其应用于实际的音频处理和图像滤波的初步分析。 概率论与随机过程： 傅立叶分析在描述随机现象方面也扮演关键角色。本书将介绍特征函数（Characteristic Function）的概念，它是概率密度函数的傅立叶变换。通过特征函数，我们可以简洁地推导中心极限定理，并分析随机变量之和的分布。 第三部分：高级主题与现代拓扑学视角 为满足对傅立叶分析前沿有兴趣的读者，本部分将探讨更具挑战性和现代性的主题。 小波分析的引入： 作为傅立叶分析的有力补充，小波分析提供了优越的时频局部化能力。我们将简要介绍短时傅立叶变换 (STFT) 的局限性，并以此为动机，引出连续小波变换 (CWT) 的基本概念，强调其在处理非平稳信号方面的优势。 泊松求和公式的几何解释： 这一公式是离散与连续傅立叶分析之间深刻联系的体现。我们将从格点求和的角度，结合晶格理论和模形式的初步概念，对泊松求和公式进行深入的几何和代数解释，展示其在数论中的强大威力。 近似理论与最优逼近： 深入探讨傅立叶级数作为最佳 $L^2$ 逼近的地位。引入正交多项式（如勒让德多项式）的概念，并将其傅立叶分析的框架进行泛化，展示如何利用不同的正交基系统来优化特定函数的逼近效果。 本书的编写风格追求数学上的清晰、逻辑上的严密和概念上的连贯性。每章都包含精心设计的习题，这些习题侧重于理论的推导和概念的应用深化，而非简单的数值计算，旨在培养读者独立思考和解决复杂问题的能力。本书适合具备扎实微积分和线性代数基础的研究生、高年级本科生以及需要深入掌握傅立叶分析理论的工程师和研究人员。

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