General Principles of the Method of Least Squares pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Dover Publications

作者:Dana P. Bartlett

出品人:

页数:160

译者:

出版时间:2006-2-24

价格:USD 45.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780486450797

丛书系列:

图书标签:

• Least Squares
• Mathematical Statistics
• Regression Analysis
• Estimation Theory
• Numerical Methods
• Data Analysis
• Scientific Computing
• Error Analysis
• Optimization
• Applied Mathematics

统计推断的基石：从理论到应用的深度剖析 《误差、估计与最优线性组合：现代统计分析的严谨基础》 本书概述： 本书旨在为读者提供一个关于统计推断核心——线性模型、优化原理及其在数据分析中实际应用的全面且深入的视角。我们摒弃了仅仅停留在公式推导的表面，转而致力于揭示支撑现代计量经济学、工程测量、数据科学乃至空间统计学的底层数学和统计学原理。全书结构紧凑，逻辑严密，从概率论与数理统计的基础公理出发，逐步构建起处理不确定性、量化观测误差、并最终实现最优参数估计的理论框架。本书面向的是具备一定微积分和线性代数基础的研究人员、高级本科生、研究生以及需要深入理解数据模型构建过程的专业人士。 第一部分：不确定性的量化与基础概率模型 本部分奠定了全书的理论基石，重点探讨了如何将现实世界中的随机现象转化为可操作的数学模型。 第一章：随机变量的本质与分布函数 本章从测度论的视角审视了随机变量的定义，区分了离散、连续与混合分布。我们详细分析了矩生成函数（MGF）和特征函数（CF）在描述分布特性中的关键作用，并引入了更具物理意义的边缘分布与联合分布的概念。重点讨论了正态分布族在统计建模中的中心地位，包括多元正态分布的协方差矩阵的几何解释。 第二章：大数定律、中心极限定理与渐近理论 统计推断的有效性往往依赖于样本量的趋近。本章深入探讨了不同形式的大数定律（如切比雪夫、柯尔莫戈洛夫）如何保证样本均值的收敛性。核心内容聚焦于中心极限定理（CLT）及其变体——多元CLT，阐明了为何正态分布在统计推断中占据核心地位。此外，我们引入了大样本估计量（如极大似然估计量）的渐近正态性与一致性，为后续的假设检验打下基础。 第三章：统计推断的逻辑框架 本章构建了推断的哲学基础。定义了参数空间、统计量、估计量和检验统计量。详细阐述了点估计的优良标准：无偏性、一致性、有效性（方差最小化）以及充分性。通过最小信息量原则，我们导出了费希尔信息矩阵，并论证了Cramér-Rao下界作为有效性判据的不可逾越性。 第二部分：最优线性估计的构造与代数基础 本部分是全书的核心，专注于构建处理线性关系时的最优估计方法，这部分内容是所有计量模型的基础。 第四章：线性代数在统计模型中的重述 为了精确描述多变量数据结构，本章将统计问题转化为线性代数问题。定义了数据矩阵 $mathbf{Y}$、设计矩阵 $mathbf{X}$ 和误差向量 $mathbf{epsilon}$。深入探讨了矩阵的秩、特征值分解、奇异值分解（SVD）在数据降维和模型识别中的应用。特别关注了矩阵的投影定理，它是最小二乘法几何解释的关键。 第五章：高斯-马尔可夫理论与最优线性无偏估计（BLUE） 本章引入了高斯-马尔可夫（Gauss-Markov）定理。我们假设误差项具有零均值、恒定方差 $sigma^2$ 和非相关性（零协方差矩阵），在此经典假设下，证明了普通最小二乘（OLS）估计量是所有线性无偏估计量中方差最小的。详细推导了 $hat{oldsymbol{eta}} = (mathbf{X}^Tmathbf{X})^{-1}mathbf{X}^Tmathbf{Y}$ 的代数过程，并分析了设计矩阵 $mathbf{X}$ 的病态性（multicollinearity）对估计精度的影响。 第六章：广义最小二乘（GLS）与异方差性处理 当误差项不满足经典假设（例如存在异方差性或自相关性）时，OLS不再是最优的。本章介绍了 广义最小二乘（GLS） 方法。我们引入了协方差矩阵 $mathbf{Omega}$ 的概念，并推导了最优估计量 $hat{oldsymbol{eta}}_{GLS} = (mathbf{X}^Tmathbf{Omega}^{-1}mathbf{X})^{-1}mathbf{X}^Tmathbf{Omega}^{-1}mathbf{Y}$。讨论了如何通过模型识别 $mathbf{Omega}$（如White校正或FGLS方法）来恢复估计量在存在异方差或自相关情况下的有效性。 第三部分：模型假设的检验、模型选择与诊断 本部分关注如何评估模型的适用性和参数估计的可靠性。 第七章：基于F分布的线性假设检验 本章专注于检验线性约束下的参数集合。推导了著名的 $F$ 统计量，用于检验整体显著性（$mathbf{R}oldsymbol{eta} = mathbf{q}$）。详细区分了单约束检验、联合约束检验以及模型嵌套检验（如$R^2$的显著性）。本章提供了严谨的推导，说明了 $F$ 检验如何依赖于误差项的独立同分布正态性假设。 第八章：残差分析与模型诊断 即使参数估计量达到最优，如果模型结构错误或误差假设被违反，推断结论依然不可信。本章系统介绍了残差分析的工具箱：标准残差、学生化残差（Studentized Residuals）和 Cook 距离。重点讲解了如何利用这些工具检测：异常值（Outliers）、高杠杆点（High Leverage Points）以及对误差的正态性、独立性的检验（如Durbin-Watson检验）。 第九章：信息准则与模型选择 在存在多个可行模型结构时，选择最优模型成为关键。本章不局限于$R^2$，而是深入探讨了基于信息论的模型选择准则：赤池信息准则（AIC）和贝叶斯信息准则（BIC）。解释了这些准则如何通过惩罚模型复杂性（参数数量）来平衡模型的拟合优度和稀疏性，从而在预测能力和模型解释力之间做出权衡。 附录：矩阵微积分与随机过程基础 附录回顾了矩阵求导的法则，特别是涉及二次型和迹函数的求导，这些工具在推导最小二乘解时至关重要。同时，简要介绍了马尔可夫过程的基础知识，为后续处理时间序列数据中的自相关问题做准备。 本书特色： 本书的独特之处在于其平衡了理论的严谨性与应用的直观性。每一个理论推导后都伴随着对实际数据场景的思考，强调了“为什么”一个方法比另一个方法更优，而非仅仅是“如何”计算。通过详尽的代数证明和清晰的几何解释，读者将不仅学会应用统计工具，更能理解这些工具背后的数学逻辑。本书旨在将读者从“配方使用者”提升为“模型设计者”。

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