高等数学习题课教程 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:

作者:

出品人:

页数:370

译者:

出版时间:2003-9

价格:30.00元

装帧:

isbn号码:9787562920106

丛书系列:

图书标签:

• 高等数学
• 数学辅导
• 大学教材
• 学习指南
• 习题集
• 微积分
• 线性代数
• 概率论
• 数学分析
• 教程

《现代数学的探索之旅：从微积分到拓扑的精彩世界》 本书并非一本传统的“习题课教程”，而是旨在引领读者踏上一段深入探索现代数学核心概念的旅程。我们不局限于死记硬背公式或解题技巧，而是着力于揭示数学思想的演进脉络，展示不同数学分支之间的深刻联系，并鼓励读者以一种更加自由、更富创造力的方式去理解和运用数学。 第一章：微积分的再认识——函数、极限与连续性的几何直觉 在本章中，我们将重新审视微积分的基石——函数、极限与连续性。与其直接罗列定义和定理，我们更倾向于通过丰富的几何图景和直观的物理模型来唤醒读者对这些概念的理解。我们会探讨无穷小量和无穷大量的几何意义，理解导数作为瞬时变化率的物理背景，以及积分如何通过“分割-逼近”的思想来解决面积、体积等问题。我们将深入探讨洛必达法则背后的极限思想，以及柯西中值定理所蕴含的函数行为的平滑性。此外，我们还会触及一些看似“不那么好处理”的函数，例如狄利克雷函数，通过分析它们的性质，来加深对连续性和不连续性的理解。本章的目标是让读者对微积分的核心思想建立起牢固的直观认识，为后续更复杂的数学概念打下坚实的基础。我们将通过一些精心设计的思考题，引导读者将微积分的思想应用于解决实际问题，例如优化问题、速率问题以及曲线的分析。 第二章：空间想象的跃迁——向量代数与多维几何的魅力 向量代数是连接几何与代数的桥梁，在本章中，我们将从二维向量空间出发，逐步过渡到三维甚至更高维的空间。我们不再仅仅将向量视为带有大小和方向的箭头，而是将其看作是线性空间的元素，理解向量加法、数乘、点积和叉积的几何意义及其代数运算规则。我们将探索点积与角度、投影之间的关系，理解叉积在计算面积和判断方向上的作用。本章的重点在于发展读者的多维空间想象能力。我们将介绍直线、平面在三维空间中的方程表示，理解它们之间的位置关系（平行、相交、垂直）。通过对曲面方程的初步探索，例如球面、椭球面的方程，读者将开始领略高维几何的奥妙。我们将引入向量函数，理解其在描述曲线运动中的作用，并初步接触曲线的切向量和法向量。此外，我们还会简要介绍线性无关、基底、维度等线性代数的基本概念，为理解更高维度的向量空间打下基础。本章的思考题将侧重于利用向量工具解决空间中的几何问题，例如求解点到直线/平面的距离，判断向量是否共面等。 第三章：分析的深度探索——级数、积分变换与傅里叶分析的和谐 在微积分的基础上，本章将深入探索数学分析的精髓。我们将从无穷级数入手，理解其收敛性的判别方法，包括比值判别法、根值判别法、比较判别法等。我们更关注级数在表示函数、求解微分方程等方面的应用。泰勒级数和麦克劳林级数将作为重要的工具，帮助我们理解复杂函数的局部近似，并为积分变换打下基础。我们将重点介绍傅里叶级数及其在周期函数分解方面的强大威力。理解傅里叶级数如何将一个复杂的周期信号分解为一系列简单的正弦和余弦波，这在信号处理、图像分析等领域有着广泛的应用。我们将进一步探讨傅里叶变换，理解它将时域信号转化为频域表示的能力，以及其在求解偏微分方程等问题中的重要作用。本章还将简要介绍积分变换，如拉普拉斯变换，理解它们如何将微分方程转化为代数方程，从而简化求解过程。我们将通过一些经典的例子，如热传导方程、波动方程的傅里叶级数解，展示分析工具的强大力量。思考题将侧重于级数的收敛性分析，以及傅里叶级数和傅里叶变换在实际问题中的应用。 第四章：抽象的语言——集合论、关系与函数的内在逻辑 集合论是现代数学的语言，本章将带领读者领略其简洁而强大的力量。我们不再将集合仅仅视为物体的堆积，而是将其看作是数学对象的载体，理解集合的运算（并、交、差、补）及其性质。我们将深入探讨集合之间的关系，理解等价关系和偏序关系所蕴含的数学结构。我们将重新审视函数，从集合论的视角来理解函数的定义域、值域、单射、满射、双射等概念。我们将讨论函数的复合运算，以及逆函数的存在条件。本章的重点在于培养读者的抽象思维能力，理解数学对象是如何通过集合和关系来构建的。我们将介绍一些重要的集合，如自然数集、整数集、有理数集、实数集、复数集，并探讨它们之间的包含关系和运算性质。我们还将引入一些集合论中的基本证明技巧，例如数学归纳法。通过对一些经典集合论问题的探讨，例如可数集与不可数集的区分，读者将初步体会到集合论的深刻思想。思考题将侧重于集合运算的证明，以及函数性质的分析。 第五章：结构的魅力——群论、环论与域论的初步接触 在本章中，我们将开始接触代数结构，理解数学对象如何在特定的运算规则下表现出丰富的内在结构。我们将从最基础的群论入手，理解群的封闭性、结合律、单位元和逆元的存在性。我们将探讨置换群、对称群等经典的群例子，理解群在描述对称性方面的作用。我们将介绍子群、陪集、正规子群等概念，为理解群的分解和同态映射打下基础。在此基础上，我们将介绍环和域的概念。理解环的加法群结构和乘法运算，以及域作为一种特殊的环，其乘法运算在非零元素下构成一个阿贝尔群。我们将通过矩阵环、多项式环等例子，来具体展示代数结构的运算规则。本章的目标是让读者初步领略代数结构的抽象之美，理解不同数学对象可能共享相似的结构属性。我们将探讨一些简单的代数方程求解问题，以及模运算在构造域中的应用。思考题将侧重于验证代数结构的性质，以及分析简单代数结构的构成。 第六章：连续性与离散性的交融——拓扑学的直观入门 拓扑学被誉为“几何学中的橡皮泥”，它研究的是在连续变形下保持不变的几何性质。在本章中，我们将从直观的度量空间出发，理解邻域、开集、闭集等基本概念。我们将探讨连续函数在拓扑学中的定义，理解拓扑等价的概念。我们将通过二维图形的例子，例如圆、圆盘、球面，来理解拓扑性质，例如连通性、紧致性等。我们将简要介绍一些重要的拓扑空间，如欧几里得空间，以及一些经典的拓扑问题，例如柯西积分定理所蕴含的路径无关性。本章的重点在于培养读者的空间抽象能力，理解数学对象在更一般意义下的“形状”和“连接性”。我们将通过一些有趣的例子，例如区分环和球，来展示拓扑学的直观魅力。思考题将侧重于判断空间是否具有某些拓扑性质，以及理解拓扑变换的含义。 结语：数学的无限可能 本书的旅程并非终点，而是现代数学广阔世界的一个缩影。我们希望通过这些章节的探索，激发读者对数学的持久兴趣，培养独立思考和解决问题的能力。数学不仅仅是一堆公式和定理，它是一种思维方式，一种理解世界、塑造未来的强大工具。愿这本书成为您探索数学世界、发现其无限可能性的一个起点。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆