代数数论导引 (平装) pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:湖南教育出版社

作者:张贤科

出品人:

页数:341 页

译者:

出版时间:1999年1月1日

价格:14.0

装帧:平装

isbn号码:9787535525888

丛书系列:

图书标签:

数学
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具体描述

本书从现代数学角度尽可能直接地叙述了代数数论的基本内容，由较易的理想论开始，继而采用了赋值论等方法。包括代数整数环，判别式，诺特环和戴德金环，素分解和分歧理论，赋值理论与完备化，局部域，类数有限性和单位定理，二次域与分圆域，D----特征与数域，zeta----函数，L----函数，类数公式，伊代尔，类域论等。可作为数学研究生和高年级本科生教材或自学教材。

代数数论导引 (平装) 内容简介《代数数论导引》是一本旨在为读者揭示代数数论这一迷人领域奥秘的入门读物。本书以清晰易懂的语言，系统地介绍了代数数论的核心概念、基本工具和重要定理，力求让初学者能够快速掌握代数数论的研究方法，并为进一步深入学习打下坚实的基础。本书内容丰富，涵盖了代数数论从基础到进阶的多个重要方面，旨在培养读者独立思考和解决数学问题的能力。第一部分：整环与域的初步探索本书的起点是代数数论中最基本的结构——整环和域。我们将从定义入手，深入理解它们的性质，并探讨它们之间的联系。群、环、域的公理与基本性质：首先，我们将回顾群、环、域的代数公理，并围绕这些公理展开讨论，例如环的交换性、结合性、分配律，以及零元、单位元、逆元的概念。我们将通过大量的例子，如整数环、多项式环、矩阵环等，来巩固这些抽象概念的理解。理想与商环：理想作为环的“好子集”，在代数数论中扮演着至关重要的角色。我们将详细介绍理想的定义、性质，以及理想生成的概念。接着，我们将深入探讨商环的构造，并展示商环如何从局部上“简化”环的结构，为后续研究整闭整环和局部化打下基础。整环与整元的定义：整环是本书研究的主要对象之一。我们将清晰地给出整环的定义，并重点介绍“整元”的概念。理解整元是代数整数论的核心，我们将通过实例，如平方根 $sqrt{2}$ 在 $mathbb{Q}$ 上的整性，来阐释这一概念。域的扩张与代数扩张：域的扩张是连接不同数域的重要桥梁。我们将介绍域扩张的定义，并重点讨论代数扩张。例如，将 $mathbb{Q}$ 扩张到 $mathbb{Q}(sqrt{2})$，并讨论 $sqrt{2}$ 在此扩张中的代数性质。我们将探讨域扩张的次数，以及复合域扩张的性质。整闭整环：整闭整环是代数数论中研究的核心结构。我们将给出整闭整环的严谨定义，并探讨其关键性质。例如，我们将证明多项式环 $K[x]$ 是整闭的，并在此基础上引入代数数论中的主角——代数整数环。第二部分：代数整数与代数数域本书的核心内容之一便是代数整数及其所在的代数数域。我们将深入研究这些代数对象的结构和性质。代数整数的定义与性质：我们将详细定义代数整数，并给出判断一个数是否为代数整数的标准方法。例如，我们将证明有理数域中的代数整数必须是整数本身。我们将探讨代数整数环的性质，如封闭性、加法和乘法性质。代数数域的定义与例子：代数数域是形如 $mathbb{Q}(alpha)$ 的域，其中 $alpha$ 是某个代数数。我们将介绍代数数域的定义，并给出一些常见的例子，如二次域 $mathbb{Q}(sqrt{d})$ 和三次域。我们将探讨代数数域的次数，以及不同代数数域之间的关系。代数整数环：对于一个代数数域 $K$，我们关心的是其中所有代数整数构成的集合，这形成了一个重要的代数结构——代数整数环。我们将详细讨论代数整数环的构造，并分析其基本性质。我们将给出 $K=mathbb{Q}(sqrt{d})$ 的代数整数环的明确形式，例如，当 $d equiv 2, 3 pmod{4}$ 时，代数整数环是 $mathbb{Z}[sqrt{d}]$；当 $d equiv 1 pmod{4}$ 时，代数整数环是 $mathbb{Z}[frac{1+sqrt{d}}{2}]$。范数与迹：范数和迹是研究代数数域中代数整数的重要工具。我们将介绍范数和迹的定义，并探讨它们的性质。例如，我们将计算 $K=mathbb{Q}(sqrt{d})$ 中元素的范数和迹，并分析它们与整除关系的关系。我们将证明，若 $a$ 是代数整数环中的一个元素，那么其范数 $N(a)$ 也是整数。迹与判别式：迹的进一步应用体现在判别式的计算。我们将定义域扩张的判别式，并展示如何利用判别式来判断一组元素的线性无关性。我们将计算 $K=mathbb{Q}(alpha)$ 的判别式，并阐述判别式在代数数论中的重要作用，例如它与代数整数环的结构密切相关。第三部分：理想论与唯一因子分解代数整数环在许多情况下并不满足唯一因子分解（UFD）的性质，这促使了理想论的发展。本书将深入介绍理想论，并展示其如何克服代数整数环的因子分解障碍。理想的定义与性质的深化：我们将重新审视理想的定义，并深入研究它们的性质，例如主理想、极大理想、素理想等。我们将探讨理想之间的运算，如和、积、交等，并研究它们在代数整数环中的行为。戴德金整环：戴德金整环是具有许多良好性质的整环，它们是代数数论研究的核心对象。我们将给出戴德金整环的定义，并证明代数整数环都是戴德金整环。我们将探讨戴德金整环的几个等价定义，包括每个非零理想都是唯一可分解为素理想的积。素理想的唯一分解：这是理想论中最核心的定理之一。我们将证明在戴德金整环中，每个非零理想都可以唯一地分解为素理想的乘积。这个定理极大地推广了整数环中算术基本定理的思想。类数：类数是衡量代数数域的代数整数环“偏离”唯一因子分解程度的一个重要不变量。我们将定义类数，并阐述其几何和算术意义。我们将提及类数不为1的例子，例如 $mathbb{Q}(sqrt{-5})$ 的代数整数环。理想的逆元：为了更好地构造理想的因子分解，我们需要引入理想的逆元概念。我们将定义理想的逆元，并证明在戴德金整环中，每个非零理想都有唯一的逆元。这将使我们能够定义一个关于理想的群结构，即理想类群。第四部分：狄利克雷单位定理与数论应用狄利克雷单位定理是代数数论中一个里程碑式的成果，它刻画了代数整数环中的单位群结构。单位的定义与性质：在一个环中，单位是具有乘法逆元的元素。我们将研究代数整数环中的单位群，并探讨其结构。狄利克雷单位定理：本章的重点是狄利克雷单位定理。我们将详细陈述该定理，并给出其证明的思路和关键步骤。该定理表明，代数整数环中的单位群是一个有限生成阿贝尔群，其秩由域的次数和实嵌入的数量决定。应用与实例：我们将通过一些具体的例子来展示狄利克雷单位定理的应用。例如，我们将利用该定理来研究二次域中的单位，并解决一些著名的丢番图方程，如佩尔方程。模形式与二次互反律的初步接触（选讲）：本书将对一些与代数数论紧密相关的数学领域进行初步的介绍。我们将简要提及模形式的概念，并展示代数数论如何为理解模形式提供工具。此外，我们还将初步介绍二次互反律，并说明代数数论在证明和推广二次互反律方面的作用。结论《代数数论导引》旨在为读者打开一扇通往代数数论世界的大门。通过循序渐进的学习，读者将能够理解代数整数、代数数域、理想论以及狄利克雷单位定理等核心概念，并初步接触到代数数论在数论其他分支中的深刻应用。本书力求以严谨又不失生动的笔触，引领读者在抽象的代数世界中发现规律，在看似离散的数论问题中寻找联系，最终培养出扎实的数学思维和解决问题的能力。本书内容丰富，例题典型，是数学专业学生、研究人员以及对数论和代数理论感兴趣的读者的理想读物。