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出版者:陕西西安交通大学

作者:魏战线

出品人:

页数:180

译者:

出版时间:2007-2

价格:16.00元

装帧:

isbn号码:9787560523965

丛书系列:

图书标签:

• 线性代数
• 矩阵
• 向量
• 行列式
• 特征值
• 特征向量
• 线性方程组
• 向量空间
• 数学
• 高等数学

目录 第一章：矩阵与向量 1.1 向量的定义与基本运算 1.2 向量空间的概念 1.3 矩阵的定义与运算 1.4 特殊矩阵的性质 第二章：线性方程组 2.1 线性方程组的表示方法 2.2 高斯消元法求解线性方程组 2.3 解的性质与判断 第三章：行列式 3.1 行列式的定义与性质 3.2 行列式的计算方法 3.3 行列式与线性方程组的关系 第四章：向量空间 4.1 向量空间的基与维数 4.2 子空间的性质 4.3 线性无关与线性组合 第五章：线性变换 5.1 线性变换的定义与性质 5.2 线性变换的矩阵表示 5.3 线性变换的核与像 第六章：特征值与特征向量 6.1 特征值与特征向量的定义 6.2 特征值与特征向量的计算 6.3 特征值与特征向量的应用 第七章：内积空间 7.1 内积的定义与性质 7.2 度量与角度 7.3 正交基与施密特正交化 第八章：二次型 8.1 二次型的定义与表示 8.2 二次型的化简 8.3 二次型在几何上的应用 --- 正文： 本书旨在为读者系统地介绍线性代数这一数学分支的核心概念、理论框架及其重要的应用。我们将从最基本的数学对象——向量和矩阵出发，逐步深入到更抽象但更具一般性的线性方程组、向量空间、线性变换等概念。 第一章 矩阵与向量 本章我们将介绍构成线性代数基石的两个核心概念：向量与矩阵。首先，我们将定义向量，阐述其几何意义，并介绍向量的加法、数乘等基本运算。在此基础上，我们将引入向量空间的概念，它是一个包含零向量并对加法和数乘运算封闭的向量集合，是后续讨论的重要理论基础。接着，我们将定义矩阵，这是由数字排成的矩形阵列，并详细介绍矩阵的加法、数乘以及矩阵乘法等运算规则，同时会探讨一些特殊的矩阵，如零矩阵、单位矩阵、对称矩阵等，了解它们各自的独特性质。 第二章 线性方程组 线性方程组是线性代数中最直接也最重要的问题之一。本章将展示如何将一组线性方程表示为紧凑的矩阵形式，即 $Ax = b$。我们将重点介绍求解线性方程组的标准算法——高斯消元法，通过行变换将增广矩阵化为阶梯形矩阵，从而系统地找出方程组的解。在此基础上，我们将深入分析线性方程组解的结构：解的存在性、唯一性，以及当方程组有无穷多解时，解空间的形式。 第三章 行列式 行列式作为描述方阵性质的一个重要数值，在理论和应用上都扮演着关键角色。本章将给出行列式的严格定义，并系统地梳理行列式的各种基本性质，例如行交换、倍乘、相加对行列式值的影响。我们将学习多种计算行列式的方法，包括按行（列）展开法和利用行变换将矩阵化为上（下）三角矩阵后直接计算。最后，我们将揭示行列式与线性方程组解的紧密联系，特别是行列式的值是否为零与方程组解的唯一性之间的关系。 第四章 向量空间 向量空间是线性代数中一个高度抽象但极其重要的概念。本章将正式定义向量空间，并介绍其核心要素：基（basis）和维数（dimension）。基是一组线性无关的向量，能够张成整个向量空间。维数则表示构成向量空间基的向量个数，它刻画了向量空间的“大小”。我们还将深入探讨子空间的概念，它是向量空间中的一个子集，自身也构成一个向量空间。此外，本章还将详细讨论线性无关（linear independence）和线性组合（linear combination）的概念，它们是理解向量空间结构的基础。 第五章 线性变换 线性变换是保持向量加法和标量乘法运算的函数，它描述了向量空间之间的“结构保持”映射。本章将正式定义线性变换，并探讨其基本性质。我们将重点学习如何用一个矩阵来表示一个线性变换，以及如何通过矩阵乘法来复合线性变换。此外，我们还将介绍线性变换的两个重要概念：核（kernel，或零空间）和像（image，或值域），它们分别描述了变换将哪些向量映射到零向量，以及变换能够映射到的所有向量的集合。 第六章 特征值与特征向量 特征值与特征向量是理解线性变换在特定方向上“伸缩”性质的关键。本章将定义特征值（eigenvalue）和特征向量（eigenvector），它们分别是满足 $Av = lambda v$ 的标量 $lambda$ 和非零向量 $v$，其中 $A$ 是一个方阵。我们将学习计算特征值和特征向量的常用方法，通常涉及求解特征多项式的根。最后，我们将初步探讨特征值和特征向量在各种实际问题中的应用，例如稳定性的分析、降维技术等。 第七章 内积空间 在实际应用中，我们经常需要讨论向量之间的“长度”和“角度”，这就需要引入内积（inner product）的概念。本章将定义内积，并探讨其满足的性质，例如对称性、正定性、线性性等。在内积空间中，我们可以定义向量的长度（范数）和向量之间的夹角。我们还将介绍正交（orthogonality）的概念，即两个向量的内积为零，并学习如何构造正交基，以及通过施密特正交化（Gram-Schmidt process）将任意一组基转化为正交基，这在数值计算和理论分析中都非常有用。 第八章 二次型 二次型是包含变量平方项和交叉乘积项的多项式。本章将介绍二次型的定义，并学习如何将其表示为矩阵的形式。我们将重点讲解二次型的化简方法，例如通过正交变换将二次型化为只包含平方项的标准形式。最后，我们将探讨二次型在几何上的意义，例如它与椭圆、双曲线等二次曲线和二次曲面的关系，以及其在优化问题中的应用。 通过对这些核心内容的学习，读者将能够建立起扎实的线性代数基础，为进一步学习更高级的数学理论和解决复杂的科学工程问题打下坚实的基础。

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这本书的装帧设计简直是一场视觉的盛宴，我拿到手的时候，首先被那种沉稳的墨绿色书脊吸引住了，摸上去有一种细腻的磨砂质感，仿佛能感受到知识的厚重。内页的纸张选择也十分考究，不是那种泛白刺眼的纸，而是略带米黄的暖色调，长时间阅读也不会让眼睛感到疲劳。尤其让我惊喜的是，排版简直是教科书级别的典范。那些复杂的公式、矩阵的展示，都采用了恰到好处的间距和字体大小，清晰而不拥挤。很多数学书的排版总是把人搞得眼花缭乱，但这本则不然，它仿佛在无声地对读者说：“别担心，我会引导你一步步看清每一个细节。”特别是那些图示和辅助说明，用色大胆却不失严谨，将抽象的概念具象化，这对于我这种初学者来说，简直是雪中送炭。不得不提的是，书的开本选择也很人性化，既方便携带，摊开后阅读的视野又足够开阔，不是那种小家子气的尺寸。可以说，从拿起书的那一刻起，作者和出版方就展现了对“阅读体验”的极致追求，这绝不是一本应付了事的教材，它更像是一件精心雕琢的艺术品，让人从感官上就对即将学习的内容充满了期待和尊重。

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我通常在学习这类硬核学科时，最头疼的就是例题和习题的质量。很多参考书的例题只是对公式的简单套用，而习题则难度跨度极大，让人无从下手。但这本书在这一点上的平衡把握得非常到位。它的例题设计，简直像是一系列精妙的“阶梯”。首先是基础概念的巩固型例题，步骤清晰，详细到每一步的运算逻辑都会标明；接着是应用型例题，会结合一些工程或经济学的背景，展示理论的实际价值；最精彩的是那些“启发性”例题，它们往往不是直接求解，而是引导你思考某个定理的边界条件或者特殊情况。习题部分也同样出色，难度的递增设计得非常科学，做完一个单元的习题后，你会清晰地感觉到自己的思维被“拉伸”和“重塑”了，而不是仅仅被“操练”了一遍。更重要的是，书后附带的答案解析，绝非简单的结果罗列，而是对解题思路的关键步骤进行了深入的剖析，甚至会指出几种不同的解题路径及其优劣。这使得学生在自学时，也能享受到仿佛有位经验丰富导师在身旁指导的体验，极大地提高了学习的效率和质量。

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这本书在对不同层次读者的包容性上，达到了一个很高的水准。对于数学基础较薄弱的入门者来说，书中的前几章内容详略得当，讲解细致入微，那些复杂的术语都会有非常清晰的“预热”和“解释”，确保读者不会在概念的门槛前就被劝退。然而，令人称奇的是，即便是对于有一定基础、希望深挖理论的读者，这本书也丝毫没有“浅尝辄止”。在后续章节，尤其是涉及到特征值分解、奇异值分解（SVD）以及更抽象的算子理论时，它迅速拔高了理论的深度和广度。作者在不增加额外附录的情况下，将高级主题巧妙地编织进了主干脉络之中，使得进阶学习者也能感到酣畅淋漓，能够找到足够挑战性的内容。这种“对新手友好，对高手不失深度”的设计哲学，让这本书的适用范围非常广阔，无论是大一新生还是准备考研的同学，都能从中获益良多。它不像是那种“一刀切”的教辅材料，更像是一部可以随着阅读者自身能力提升而展现出不同面貌的“智力伙伴”。

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这本书在深入探讨理论的同时，对历史背景和哲学思考的融入也令人耳目一新。它没有把数学知识当作悬浮在空中的纯粹逻辑结构，而是将其置于人类认知发展的宏大叙事之中。比如，在讲解向量空间的抽象化过程中，作者会花上不少篇幅去回顾欧几里得几何到笛卡尔坐标系，再到非欧几何的演变，让我们明白，这些看似冰冷的符号背后，是无数数学家为了理解世界而进行的艰苦卓绝的努力。这种“为知识找源头”的做法，极大地丰富了阅读的层次感。我感觉自己不仅仅是在学习一种计算工具，更是在参与一场跨越数百年的思想对话。书中偶尔出现的那些“数学家的轶事”或关于某个定理发现过程中的“思维盲点”，都为枯燥的学习过程注入了人文色彩。它提醒我们，再严谨的数学体系，其开端也充满了人类的猜想、错误和天才的灵光一闪。这使得学习过程变得更加立体和人性化，有效对抗了纯粹符号运算带来的疏离感。

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这本书的叙事逻辑，简直可以列为高等数学教材的“范本案例”。它完全没有那种冷冰冰的、直接抛出定理然后要求你硬性记忆的枯燥感。作者采用了一种非常巧妙的“问题驱动”的学习路径。开篇并不急于介绍复杂的向量空间，而是从一个非常生活化、直观的几何问题入手，比如“如何描述空间中的投影关系”，然后自然而然地引出线性变换的必要性。每引入一个新概念，比如“基”或“行列式”，它都会先给出为什么需要这个工具的“动机”，这种“知其然，更知其所以然”的讲解方式，极大地增强了学习的内在驱动力。章节之间的过渡极其流畅，过渡句的设置堪称一绝，你几乎感觉不到自己是从一个知识点跳跃到了另一个知识点，更像是沿着一条精心铺设好的小溪在缓缓前行。我特别欣赏作者在处理“证明”时的态度，他不是直接给出冗长复杂的代数推导，而是先用文字描述出证明的核心思想和几何直觉，然后再辅以严谨的数学语言进行形式化表达。这种层层递进的结构，让复杂的理论不再显得高不可攀，而是变得触手可及，真正做到了“润物细无声”的教学效果。

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