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出版者:北京师范大学出版社

作者:张英伯

出品人:

页数:278

译者:

出版时间:2012-9

价格:29.00元

装帧:

isbn号码:9787303149780

丛书系列:新世纪高等学校教材 数学及应用数学专业主干课程系列教材

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代数学基础（上册）图书简介 本书旨在为读者构建严谨、系统的代数知识体系，是深入学习抽象代数、线性代数及其他高等数学分支的坚实基石。它侧重于代数结构的概念化与形式化，引导读者从具体的算术经验中提炼出普遍的代数规律。 本书结构与内容概述： 全书分为四个核心部分，层层递进，构建起代数世界的宏伟蓝图。 --- 第一部分：集合论与初步逻辑基础 本部分是整个数学大厦的基石，为后续所有代数概念的精确定义和严密论证奠定必要的工具和语言。我们避免陷入纯粹集合论的繁琐细节，而是聚焦于代数结构研究中必需的集合操作和逻辑推理方法。 核心内容涵盖： 1. 集合的基本概念： 集合的定义、元素与集合的关系、空集、全集。集合之间的关系，包括子集、真子集、相等。 2. 集合的运算： 并集、交集、差集、补集。德摩根定律的应用及其在命题逻辑中的对应关系。 3. 笛卡尔积与关系： 介绍笛卡尔积的概念，特别是二元关系的定义。重点讨论等价关系（如相等、同余等）和偏序关系（如 $le, subset$）的性质（自反性、对称性、传递性），并给出大量在群论和环论中至关重要的例子。 4. 函数的概念与性质： 映射的定义、函数的表示法。深入探讨函数的分类：单射（一对一）、满射（映上）与双射（一一对应）。双射在集合的基数比较中的关键作用。 5. 有限集与可数性（初步）： 介绍有限集的概念，以及自然数集 $mathbb{N}$ 的基本性质。初步引入“一一对应”的概念来比较集合的大小，为后续可数无限集的讨论做好铺垫。 教学侧重： 强调集合运算的规律性，理解等价关系对数学对象的“分类”作用，这是构造商结构（如商群、商环）的先决条件。 --- 第二部分：代数结构的雏形——二元运算与初等代数结构 本部分开始正式进入代数世界的中心，探讨在集合上定义的二元运算所蕴含的普遍规律。 核心内容涵盖： 1. 二元运算的定义与性质： 运算的封闭性、结合律、交换律。引入单位元和逆元的概念。 2. 特殊的代数结构（I）： 群的预备知识： 探讨满足结合律、存在单位元和逆元的三元组 $(S, )$ 的性质。通过实例（如整数加法、非零有理数乘法）引导读者认识群的轮廓。 半群与独异点（幺半群）： 结合律的强调。 3. 同余关系与剩余类： 重点剖析整数环 $mathbb{Z}$ 上的模 $n$ 同余关系。证明模 $n$ 同余是一种等价关系，并利用此关系构造出整数模 $n$ 的加法群 $mathbb{Z}_n$。这是读者接触的第一个非平凡的群结构。 4. 二元运算的推广： 探讨具有两个运算（如加法和乘法）的结构，例如半环（Semiring）的概念，为环论的正式引入做思想准备。 教学侧重： 建立“运算+性质=结构”的基本思维模式，并通过整数上的同余运算，将抽象的等价关系转化为具体的、有限的代数实体。 --- 第三部分：群论的奠基——群的正式定义与基本性质 本部分是本书的核心，对群结构进行全面、深入的考察，是理解对称性、变换和抽象代数的关键。 核心内容涵盖： 1. 群的严格定义与实例： 给出群的四条公理。分析经典例子：整数群 $(mathbb{Z}, +)$、非零有理数群 $(mathbb{Q}^, imes)$、矩阵群（如可逆矩阵群 $GL_n(F)$ 的初步介绍）、对称群 $S_n$ 的概念性引入。 2. 子群与陪集： 子群的判定定理。陪集的定义（左陪集与右陪集）。拉格朗日定理的提出与证明——这是有限群理论中最为核心的定理之一，它限制了子群和元素阶的可能性。 3. 生成元与循环群： 由单个元素生成的群——循环群。循环群的性质、阶数。证明所有循环群都与 $mathbb{Z}$ 或 $mathbb{Z}_n$ 同构。 4. 正规子群与商群（商群的构造）： 引入正规子群的概念，解释其作为“特殊子群”的必要性（使得陪集运算具有代数意义）。商群 $G/N$ 的构造和运算规则。这是抽象代数中“分解”思想的第一次完整体现。 5. 群同态与同构： 保持运算结构的映射——同态。同构的概念及其重要性。群同态的基本定理（第一同构定理的初步描述，不一定需要完全形式化，但需展示其结构保持作用）。 教学侧重： 强调拉格朗日定理的强大限制作用，理解正规子群是构造新群（商群）的桥梁，并开始培养将不同群结构进行对比和分类的视角。 --- 第四部分：基础映射与结构分类 本部分将群论的工具应用于对结构进行更细致的分类和理解，为进阶学习中的同态定理和特定群（如交换群）的研究打下基础。 核心内容涵盖： 1. 同态的基本性质： 核（Kernel）与像（Image）的概念，并证明 $ ext{Ker}(phi)$ 总是正规子群。 2. 同构的等价性： 深入探讨同构的传递性、对称性，并阐述同构的本质——两个群在代数结构上是不可区分的。 3. 置换群的深入探讨： 以更严谨的方式研究对称群 $S_n$。对置换进行分解（循环分解）。引入对换（Transpositions）的概念，并讨论交错群 $A_n$（偶置换构成的群）的性质。 4. 交换群（Abelian Groups）的初步分析： 讨论具有交换性质的群，并引入有限交换群的阶数与元素阶数的关系。 教学侧重： 明确同态和同构在代数研究中的地位——它们是连接不同数学对象、发现隐藏相似性的关键工具。 --- 本书特点总结： 本书从最基本的集合语言出发，逐步引入群的结构，重点关注概念的形式化定义、关键定理的严格证明以及典型实例的分析。通过对群、子群、陪集和商群的系统性讲解，读者将掌握处理抽象代数问题的基本方法论，为进一步学习环论、域论以及线性代数中向量空间的结构奠定坚实且不可动摇的代数基础。本书的难度适中，旨在培养读者严谨的数学思维和精确的代数表达能力。

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《代数学基础（上册）》这本书，在引入“格”（Lattice）这一概念时，其结构和逻辑安排都显得格外巧妙，让我得以在不知不觉中领略到其独特的美感。在我看来，格的概念虽然来源于序理论，但其在代数结构中扮演着重要的角色，尤其是在研究某些环的性质时。这本书并没有直接跳到抽象的格定义，而是先从“偏序集”的概念入手，回顾了偏序集中的“上确界”（join）和“下确界”（meet）的概念，并用集合的并集和交集作为直观的例子。然后，作者将这两个运算推广到一般的集合上，并引入了“格”的定义，即一个满足特定公理（例如结合律、交换律、吸收律）的代数结构。我特别欣赏书中对“布尔格”（Boolean Lattice）的讲解。布尔格是格论中的一个重要分支，它与逻辑运算有着紧密的联系。作者通过例子，例如集合的幂集在并集和交集运算下的格结构，以及命题逻辑中的真值表，来展现布尔格的特性。此外，书中还探讨了“有界格”、“模格”等概念，并给出了它们在代数和组合数学中的应用。例如，他详细讲解了某些环的理想格，以及这些格的结构如何反映了环的性质。这些内容让我对格这一概念有了全新的认识，也为我后续学习更高级的代数和序理论打下了坚实的基础。

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《代数学基础（上册）》这本书，在讲解“代数”这一概念时，其严谨性与生动性并存的风格，给我留下了深刻的印象。在我看来，“代数”这个词本身就充满了神秘感，它似乎概括了数学中许多抽象而又强大的工具。这本书并没有简单地给出“代数”的定义，而是先从“域上的向量空间”和“环”的概念入手，为我们构建了一个清晰的理解脉络。作者指出，一个“代数”可以看作是一个结合了环和向量空间结构的数学对象，它在一个域上具有加法、乘法和标量乘法，并且这些运算之间遵循特定的分配律和结合律。我特别欣赏书中对“结合代数”的深入剖析。它详细阐述了结合代数的定义，以及其所具有的丰富性质，例如“子代数”、“理想”和“商代数”。书中列举了大量具体的例子，例如多项式环、矩阵代数、四元数代数等，这些例子都生动地展示了代数结构的多样性和重要性。此外，书中还探讨了“李代数”和“李群”等概念，虽然这些内容在本册中只是初步涉及，但已经让我感受到了代数在描述连续对称性方面的强大力量。我感觉自己不再是被动地接受信息，而是主动地参与到数学的构建过程中，去理解和欣赏代数之美。

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在《代数学基础（上册）》这本书中，我被作者处理抽象概念的艺术所深深吸引。很多数学书籍在介绍抽象代数结构时，往往会直接给出定义，然后进行一些例子的演算，这对于初学者来说，很容易感到理论脱离实际，难以理解。但是，这本书的作者似乎深谙此道，在引入“环”的概念之前，他巧妙地铺垫了“交换半群”、“幺半群”等一系列预备知识，并且在讲解过程中，始终不忘将这些抽象的概念与具体的数学对象联系起来。例如，在介绍“环”的定义时，作者先从整数集合的加法和乘法运算出发，分析了这些运算所遵循的规律，例如加法的交换律、结合律、存在零元和负元，以及乘法的结合律和分配律。然后，在此基础上，他自然而然地引出了“环”的定义，并进一步探讨了“交换环”、“带单位的环”、“积分整环”等重要的概念。我特别喜欢作者在讲解“理想”时所采用的方法，他并没有直接给出“左理想”、“右理想”、“双边理想”的定义，而是先从“子群”的概念出发，解释了子群在群论中的作用，然后再类比到环的结构中，引入了“理想”这个概念。书中对于理想的性质，例如“理想的交是理想”、“由元素生成的理想”等，都进行了详细的推导和论证，并辅以丰富的例子，让我能够深刻地理解理想在环理论中的核心地位。这些精心的铺垫和细致的讲解，使得原本可能令人望而生畏的抽象概念，变得清晰可见，甚至充满魅力。我感觉自己不再是被动地接受知识，而是主动地探索和理解数学的本质。

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当我翻开《代数学基础（上册）》，我首先被它那严谨而不失人文关怀的写作风格所吸引。这本书并没有将自己仅仅定位为一本枯燥的数学教材，反而像是一位循循善诱的导师，引导着我去探索代数世界的奥秘。在介绍“同态”这一核心概念时，作者并没有生硬地给出定义，而是先从“映射”的本质入手，回顾了函数作为一种特殊的映射，在不同数学结构之间的联系。然后，他巧妙地将“同态”比喻为在不同“世界”之间架起桥梁的“翻译官”，它能够保持不同结构中的运算关系。例如，在讲解群同态时，作者详细对比了两个群 $G$ 和 $H$ 之间的同态映射 $phi$，它满足 $phi(ab) = phi(a)phi(b)$。书中列举了大量具体的例子，比如指数函数 $exp: (mathbb{R}, +) o (mathbb{R}^+, imes)$ 就是一个群同态，因为它保持了加法和乘法的关系。此外，作者还深入讨论了同态的核（kernel）和像（image），并详细推导了“同态基本定理”，即每个群同态的像都是其子群，并且商群 $G/ker(phi)$ 同构于其像。这个定理的推导过程，逻辑清晰，步步为营，让我深刻理解了同态在揭示代数结构之间关系中的关键作用。我甚至在阅读过程中，能够想象到作者在课堂上，用黑板上的图示和生动的语言来解释这些概念的情景。这本书让我感受到了数学不仅仅是冷冰冰的公式，更是一种充满智慧和创造力的思想活动。

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《代数学基础（上册）》这本书，在处理“模”这一重要概念时，所表现出的细致入微和逻辑严谨，给我留下了深刻的印象。在我以往的学习经历中，“模”这个概念常常被认为是比较抽象和难以理解的部分。然而，这本书的作者却巧妙地将其与我们熟悉的“向量空间”联系起来，为我们构建了一个直观的理解框架。作者首先回顾了向量空间的概念，强调了其在一个“域”上的运算性质，例如向量的加法和数乘。然后，他将“域”的概念推广到“环”，并引入了“左模”、“右模”和“双边模”的定义。他详细阐述了模的运算规则，例如模的加法和由环元素进行的乘法（标量乘法），并强调了它们所遵循的分配律、结合律等性质。我特别喜欢书中对“模的子模”和“模的商模”的讲解。作者将子模类比于子空间，而商模则类比于商空间，并通过具体的例子，例如整数模 $n$ 上的模，来帮助我们理解这些概念。此外，书中还深入探讨了“自由模”、“有限生成模”等重要概念，并给出了它们在不同数学领域中的应用。例如，他详细讲解了如何将一个交换环上的模看作是向量空间的推广，从而可以应用向量空间中的许多工具和思想。这些精心的铺垫和深入的讲解，使得我能够更深刻地理解“模”作为一种比向量空间更一般的代数结构，其丰富性和重要性。

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《代数学基础（上册）》这本书，在讲解“群的表示”这一概念时，展现出了一种别具匠心的编排方式。在我看来，群的表示是将抽象的群论概念，具体化为线性代数中的矩阵运算，这使得我们可以借助矩阵的强大工具来研究群的性质。这本书并没有一开始就直接给出“表示”的定义，而是先回顾了“线性变换”和“矩阵”在向量空间中的作用，强调了矩阵乘法所满足的结合律。然后，作者引入了“群的线性表示”，即从一个群 $G$ 到一个向量空间 $V$ 上的可逆线性变换的群 $GL(V)$ 的一个同态映射。他详细解释了如何将群的元素映射到相应的矩阵，使得矩阵乘法能够对应群的运算。我尤其欣赏书中对于“对称群”的表示的讲解。对称群 $S_n$ 在置换向量时，可以通过 $n imes n$ 的置换矩阵来表示，而这些置换矩阵的乘法恰好对应于群的乘法。作者通过具体的例子，例如 $S_3$ 的置换矩阵，演示了如何通过矩阵运算来验证群的性质。此外，书中还探讨了“不可约表示”和“表示的特征标”等重要概念，并给出了它们在研究群结构中的应用。这些内容让我对抽象的群论有了更具象的理解，也为我后续学习表示论打下了坚实的基础。我感觉自己不再是被动地接受信息，而是积极地参与到数学的构建过程中。

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《代数学基础（上册）》这本书，给我最深刻的印象之一，是它在引入“域”这一概念时，所展现出的循序渐进和逻辑严密的特质。在许多数学学科中，“域”是一个至关重要的概念，它不仅是线性代数、抽象代数等领域的基础，也广泛应用于数论、几何等分支。这本书在讲解“域”的定义之前，并没有直接给出那个包含加法和乘法运算的抽象框架，而是先从一些我们熟悉的数集入手，比如有理数集 $mathbb{Q}$、实数集 $mathbb{R}$、复数集 $mathbb{C}$。作者详细地分析了这些数集在加法和乘法运算下所表现出的性质，例如加法的交换律、结合律、存在零元和负元；乘法的交换律、结合律、存在单位元和逆元（零除外）；以及加法对乘法的分配律。通过对这些具体例子深入的剖析，读者能够自然而然地感受到“域”所应具备的基本性质。接着，作者才正式引入“域”的定义，并明确了构成域的两个运算所必须满足的公理。我特别喜欢书中对于“有限域”（Galois域）的初步介绍，例如由一个素数 $p$ 模 $p$ 的整数构成的域 $mathbb{Z}_p$。作者通过具体的例子，例如 $mathbb{Z}_2$ 和 $mathbb{Z}_3$，演示了在这些有限域中的加法和乘法运算，以及它们如何满足域的公理。这种从具体到抽象，从已知到未知的讲解方式，极大地增强了我的理解能力，让我能够更深刻地体会到“域”作为一种代数结构的普适性和重要性。

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《代数学基础（上册）》这本书，给我带来的最深刻的体验之一，便是其对数学证明的严谨性与艺术性的完美结合。在许多教材中，证明过程往往是枯燥乏味的，充斥着各种符号和逻辑跳转，让人难以把握核心思路。然而，这本书的作者却以一种近乎“叙事”的方式来构建证明，让每一个步骤都显得顺理成章，充满逻辑的魅力。我印象最深的是关于“欧几里得整环”的章节。作者在介绍欧几里得整环的定义之后，并没有急于给出关于其性质的推导，而是先详细地回顾了整数的带余除法，并强调了其在整除关系和最大公约数计算中的重要作用。随后，他才引入了欧几里得整环的定义，并将带余除法的思想推广到一般的整环中。在证明“每个欧几里得整环都是主理想整环”这个重要结论时，作者更是循序渐进，先假设存在一个非零的非主理想，然后通过构造性的方法，展示了如何从中找到一个生成元，从而导出矛盾。这个证明过程，清晰地展现了数学家是如何通过严密的逻辑推理来解决问题的。书中对每个定理的证明，都会首先明确定理的陈述，然后清晰地列出已知条件，并一步步地给出推理过程，直到得出结论。每一个推导步骤都伴随着简短而精炼的解释，使得读者能够清楚地理解每一步的逻辑依据。我甚至能够感受到作者在写下这些证明时，所倾注的心血和对数学逻辑的深刻洞察。这本书让我体会到，数学证明不仅仅是规则的堆砌，更是一种优美而深刻的思维表达。

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我不得不承认，《代数学基础（上册）》在知识的组织和呈现方式上，有着独到之处，尤其是在处理“多项式环”这一重要概念时，充分体现了作者的匠心独运。在学习多项式时，我们常常会想到那些我们熟悉的代数表达式，例如 $x^2 + 2x + 1$ 这样的形式。这本书并没有一开始就抛出“多项式环”这样略显抽象的术语，而是先从“函数”和“序列”的角度，来描述多项式的本质。作者详细讲解了如何将一个多项式看作是一个“有限序列”，例如 $a_0 + a_1x + cdots + a_nx^n$ 可以对应于序列 $(a_0, a_1, ldots, a_n, 0, 0, ldots)$。然后，他进一步将两个多项式的加法和乘法，与对应序列的“卷积”运算联系起来，使得原本可能令人费解的运算规则，变得直观易懂。我尤其欣赏书中对于“整环上的多项式环”的讨论，例如在实数域上的多项式环 $mathbb{R}[x]$。作者详细阐述了多项式环的性质，例如其交换性、结合律、分配律，以及单位元（常数多项式1）的存在。书中还专门用了一章来讲解“多项式环的理想”，并给出了关于“主理想”和“最大理想”的深入分析，例如，在 $mathbb{R}[x]$ 中，形如 $(x-a)$ 的理想是最大理想。这些内容让我对多项式的结构有了全新的认识，也为后续学习更复杂的代数结构打下了坚实的基础。这本书让我明白，数学的美，往往就隐藏在这些看似普通的代数表达式背后。

评分☆☆☆☆☆

一本优秀的代数入门读物，我翻开了《代数学基础（上册）》，它的封面设计简洁而富有质感，传递出一种严谨的学术氛围。我一直对数学，尤其是代数领域抱有浓厚的兴趣，总觉得它像是通往更深层数学世界的一把钥匙。在阅读之前，我曾尝试过其他一些代数书籍，但或多或少都觉得有些晦涩难懂，概念的引入和推导过程不够清晰，常常让我陷入迷茫。然而，《代数学基础（上册）》从一开始就给了我耳目一新的感觉。作者在讲解基础概念时，并没有急于引入复杂的符号和定理，而是从最直观、最易于理解的角度出发，例如，对于“集合”这个最基础的概念，书中就通过生活中常见的例子，如“班级里的同学”、“桌子上的水果”等，来帮助读者建立起初步的认识。这种从具体到抽象的讲解方式，极大地降低了学习门槛，让我能够快速进入状态。更让我印象深刻的是，作者在讲解每一个概念时，都会非常细致地阐述其产生的背景和意义，这不仅仅是知识的传授，更是对数学思想的引导。它让我明白，每一个数学概念都不是凭空出现的，而是为了解决实际问题、推动数学发展而产生的。这种“知其所以然”的学习方式，让我对代数产生了更深层次的理解和认同感。我尤其喜欢书中对于“群”的引入，作者花了相当大的篇幅来介绍群的定义、性质以及一些简单的例子，例如整数加法群、非零实数乘法群等等。在讲解过程中，书中反复强调了群的封闭性、结合律、单位元和逆元这四个基本性质，并用生动的语言和具体的例子来解释这些性质的重要性。我能够感受到作者的良苦用心，他希望读者能够真正理解群的内涵，而不是仅仅记住那些抽象的定义。读到这里，我仿佛打开了一扇新世界的大门，感受到了数学抽象之美和逻辑之严谨。

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线性代数部分，老师是恺顺爷爷，用这本教材，和一般代数书内容编写顺序不同，不过写得蛮好

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线性代数部分，老师是恺顺爷爷，用这本教材，和一般代数书内容编写顺序不同，不过写得蛮好