Boundary Value Problems, Fifth Edition pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Academic Press

作者:David L. Powers

出品人:

页数:520

译者:

出版时间:2005-10-19

价格:USD 89.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780125637381

丛书系列:

图书标签:

• 微分方程
• 常微分方程
• 偏微分方程
• 边界值问题
• 数值分析
• 数学物理方法
• 工程数学
• 高等数学
• 应用数学
• 数学建模

经典数值方法与计算的深度探索：现代工程与科学应用的基石 本书旨在为高等教育阶段的读者，特别是工程、应用数学、物理学和计算机科学领域的学生及研究人员，提供一套关于常微分方程（ODE）和偏微分方程（PDE）数值求解方法的全面、深入且实用的教程。全书的重点在于构建坚实的理论基础，并展示如何将这些理论应用于解决实际工程和科学问题中遇到的复杂边界值问题（BVP）。 本书的叙事结构是逻辑严谨且循序渐进的。我们首先从数学物理中最基本、最核心的一维边值问题入手，详细剖析了问题的物理背景、数学模型建立以及求解策略的选择。这部分内容为读者理解后续更复杂的多维问题奠定了不可或缺的基础。我们不仅讨论了解析解的存在性与唯一性，更重要的是，将焦点放在了数值逼近技术上。 第一部分：常微分方程边值问题的数值求解 在常微分方程部分，我们系统地介绍了两种主要的数值逼近范式：有限差分法（Finite Difference Method, FDM）和谱方法（Spectral Methods）。 有限差分法：我们详细阐述了如何将连续的微分算子转化为代数方程组。这包括对离散化误差（截断误差和舍入误差）的深入分析，并引入了收敛性、稳定性和一致性的严格定义与检验。书中详细讨论了基于中心差分、前向差分和后向差分构建的各种有限差分格式，特别是在处理非均匀网格和高阶导数时的技巧。重点案例包括线性与非线性两点边值问题（BVP），以及如何利用迭代方法（如牛顿法或变体）求解非线性系统。此外，我们对奇异摄动问题（Singular Perturbation Problems）的特殊挑战进行了专门的探讨，强调了边界层现象对标准差分格式稳定性的影响，并介绍了诸如锐化差分格式等应对策略。 谱方法：作为一种高精度逼近技术，谱方法在解决光滑解的问题上展现出优越性。本书详细介绍了全局谱方法（如Chebyshev谱法和Fourier谱法）和局部谱方法（如hp-有限元方法的前身思想）。我们阐述了正交多项式基函数（如Legendre, Chebyshev）在逼近函数空间中的作用，以及如何利用谱逼近的指数收敛特性来高效求解微分方程。重点讨论了谱方法在处理周期性边界条件和具有刚性特征（Stiffness）的ODE系统时的应用。 第二部分：偏微分方程的数值基础与核心方法 偏微分方程是描述物理世界中场量分布（如热传导、流体动力学、电磁学）的核心工具。本部分的核心任务是将一维问题的经验推广到多维空间，并引入适用于二维和三维问题的核心数值框架。 变分法与Galerkin理论：我们从理论深度上剖析了有限元方法的数学基础——变分原理。详细介绍了弱形式（Weak Formulation）的推导过程，包括选择合适的函数空间（如Sobolev空间$H^1$），定义双线性型和线性型，以及应用Lax-Milgram定理来保证解的存在性和唯一性。 有限元方法（FEM）：这是解决复杂几何形状和多材料界面问题的首选工具。本书细致讲解了如何进行网格剖分（三角剖分、四面体剖分），如何选择形函数（Shape Functions，如线性、二次拉格朗日多项式），以及如何通过集成（Assembly）过程构建全局的代数方程组。在FEM的讨论中，我们不仅关注了标准椭圆方程（如泊松方程、稳态扩散方程）的求解，还特别深入地分析了对数控（Mass Lumping）技术、处理非光滑几何边界的单元选择，以及如何实现高阶有限元。 有限体积法（FVM）：特别适用于需要严格保持守恒律（如质量守恒、动量守恒）的流体力学和输运问题。本书阐述了FVM基于控制体积积分的原理，强调了通量（Flux）的计算方法。重点介绍了上风格式（Upwinding Schemes）在处理对流项时的重要性，以及如何利用黎曼求解器（Riemann Solvers）来处理强烈的对流效应和冲击波问题。 第三部分：特定物理问题的数值实现与挑战 本部分将理论方法应用于具体的物理情境，探讨了数值求解过程中特有的挑战和高级技术。 对流-扩散问题：我们深入分析了对流项（一阶导数）和扩散项（二阶导数）在数值稳定性上的相互制约。本书详细讨论了Péclet数在判断问题主导机制中的作用，并介绍了如何使用稳定化技术，如SUPG（Streamline Upwind Petrov-Galerkin）格式，来消除标准Galerkin方法在强对流情况下的数值振荡。 特征值问题：许多物理模型（如振动分析、量子力学）归结为求解大规模稀疏矩阵的特征值问题。本书介绍了求解最大或最小特征值的迭代算法，如Lanczos方法和Arnoldi迭代，以及求解鞍点问题的技术。 时间离散化与时间步进：对于涉及时间演化的抛物型和双曲型PDE，时间方向的离散化至关重要。我们详细比较了显式方法（如前向欧拉）和隐式方法（如后向欧拉、Crank-Nicolson）。重点讨论了刚性问题（Stiff ODE/PDE）的特征，以及如何利用A-稳定性、L-稳定性等概念来指导稳定时间步长的选择，确保长期模拟的精确性。 全书贯穿了计算效率和软件实现的视角。我们不仅停留在理论推导，更强调了在实际计算中如何利用矩阵的稀疏性、带宽优化、预条件子的选择（如代数多重网格AMG），以及高性能计算（HPC）环境下的并行化策略，确保所学方法能够有效地处理百万甚至亿级自由度的问题。每一章节的末尾都配有精心设计的习题，旨在巩固读者的理论理解并鼓励其进行实际的编程实现。

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坦率地说，这本书的阅读体验是相当“硬核”的。它对于细节的把握到了近乎苛刻的地步，这对于追求精确性的学习者来说是莫大的福音。我在查阅关于波动方程（如弦振动和薄膜振动）的章节时，发现作者在处理非均匀介质或复杂几何形状下的振动模式时，展现出了极高的专业水准。书中对于格林函数的引入和应用，是本书的一大亮点，它将求解非齐次微分方程的问题，转化为了对一个核心算子响应的积分表达，这种视角上的转换极具启发性。阅读过程中，我发现自己不得不经常回溯前面的章节，因为许多后续的结论都是建立在前文严密论证的基础之上的，这要求读者必须保持高度的专注力，无法轻易跳跃式阅读。它的排版和符号系统非常规范，虽然内容本身不易消化，但至少清晰的格式不会成为理解的额外障碍。对于那些希望在偏微分方程领域深入挖掘，并对数学物理方法有系统性追求的人来说，这本书无疑是值得珍藏的参考资料。

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这本书的厚重感不仅体现在页数上，更体现在其内容密度上。我最近在研究奇异解和边界层理论时，发现本书对这些处理病态问题的技术给予了充分的关注。例如，在处理具有小参数摄动的微分方程时，作者清晰地区分了何为内区解和外区解，并展示了如何通过渐近展开的方法将它们连接起来。这种对“问题在哪里变得困难”的敏锐洞察，是衡量一本高级教材是否卓越的关键标准之一。书中对傅里叶变换在无限域问题中的应用讲解得极为透彻，它巧妙地利用了无穷远处的衰减条件来定义解的唯一性。与市面上流行的侧重于数值求解的教材相比，这本书坚定地站在解析解和数学严谨性的立场上，这使得它在理论基础建设方面具有不可替代的作用。阅读它是一个挑战，但它所提供的理论武器，能够让学习者在面对更前沿、更复杂的物理模型时，拥有更强大的自信和更清晰的思路。

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翻开这本专门讨论边界值问题的经典著作，我立刻被其严谨的结构和对物理直觉的强调所吸引。它不仅仅是数学公式的堆砌，而是将数学语言视为描述物理世界的精确工具。举例来说，它在探讨热传导问题时，并非孤立地讨论方程本身，而是巧妙地融入了物理背景，使得每一个数学步骤的引入都有其深刻的意义。作者对物理边界条件（如狄利克雷、诺伊曼和罗宾条件）的解释，非常到位，清晰地勾勒出真实世界中能量或物质如何与环境交互的场景。我特别欣赏其中关于最大值原理的讨论，这是一个看似简单却蕴含深刻洞察力的定理，它为我们判断解的唯一性和稳定性提供了强有力的理论支撑。书中对这些概念的讲解，节奏把握得恰到好处，既不会因为过度简化而失真，也不会因过度技术化而令人望而却步。整体感觉，这本书是理论与应用之间的一座坚实桥梁，它要求读者具备一定的微积分和线性代数基础，但一旦入门，便能感受到解决复杂工程和物理问题的巨大潜力。

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这本关于边界值问题的教材，初读之下便让人感到一股扎实的数学气息扑面而来。它不像某些入门读物那样试图用过于简化的语言掩盖背后的复杂性，而是直截了当地将读者带入微分方程的深水区。我对其中对拉普拉斯方程和泊松方程处理的深度印象尤为深刻。作者在介绍分离变量法时，不仅仅是展示了如何应用，更深入探讨了该方法在不同几何形状（如圆形、柱形和球形区域）下的适用边界条件和收敛性分析，这对于希望真正掌握这些工具的学生来说至关重要。书中对傅里叶级数和傅里叶变换的讲解，也足够详尽，为后续处理非齐次边界条件和不规则域问题打下了坚实的基础。特别是关于施图姆-刘维尔理论的阐述，逻辑清晰，层层递进，将特征值问题的理论框架构建得非常稳固。虽然有些地方的推导过程需要读者投入大量精力去仔细跟进，但这种“浴火重生”式的学习体验，最终带来的理论掌控感是无可替代的。它更像是一本专为研究人员和高年级本科生准备的工具箱，而不是一本轻松的休闲读物。我期待着深入学习其中关于数值方法的章节，看看它如何将这些优美的解析理论转化为可计算的实践方案。

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这本书给我的感觉，就像是在一位经验丰富的老教授的指导下进行高级研讨。它不会浪费时间在过于基础的背景知识回顾上，而是假设读者已经对基础的常微分方程和基础的向量微积分有所了解。其叙事风格是高度精炼和逻辑驱动的。我特别关注了其中关于共形映射在求解二维静电学问题中的应用部分。作者并没有简单地罗列几个映射例子，而是深入探讨了柯西-黎曼方程与势函数之间的内在联系，以及这种几何变换如何优雅地将复杂边界转化为易于求解的简单区域。这种对数学工具背后原理的深挖，远超出了许多应用导向的教材的范畴。它迫使我重新审视许多看似理所当然的数学结论，去探究其背后的拓扑和分析基础。这本书的价值在于它不仅告诉你“怎么做”，更在于告诉你“为什么这样有效”。对于那些在实际工程问题中遇到了解析方法瓶颈，并需要更高层次数学洞察力的专业人士而言，这本书提供了宝贵的启发。

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