高等数学（第二册） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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页数:261

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出版时间:2003-12

价格:24.00元

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isbn号码:9787810902267

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• 高等数学
• 数学
• 微积分
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• 函数
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• 数学分析

好的，这是一份为一本名为《高等数学（第二册）》的书籍撰写的，旨在不包含其具体内容的详细简介。 --- 《数学分析基础：从微积分到线性代数的过渡》 前言：面向未来数学的基石 我们身处一个由数据、模型和复杂系统驱动的时代。无论是物理世界的精确模拟，还是经济趋势的预测分析，抑或是现代计算机科学的底层算法构建，都离不开对严谨数学工具的深刻理解。然而，许多学习者在完成传统微积分的学习后，往往会发现自己虽然掌握了求导、积分等计算技巧，却在面对更深层次的数学结构时感到力不从心。 《数学分析基础：从微积分到线性代数的过渡》正是为弥补这一关键鸿沟而精心编纂的教材。本书并非简单地重复高中或初级微积分课程的内容，而是将视角提升至一个更具结构性和抽象性的层面。我们致力于构建一座坚实的桥梁，连接初等计算数学与现代高等数学体系的核心——即分析学（Analysis）的深化与线性代数（Linear Algebra）的初探。 本书的目标读者是那些已经熟悉单变量微积分基本概念，并准备深入研究现代数学、工程学、理论物理或计算机科学的本科生和专业人士。我们不预设读者对高等数学的特定分支（如多元微积分的深化或抽象代数）已有深入了解，而是从基础概念出发，以严谨的逻辑和清晰的论证，引导读者建立起对数学思维方式的全新认知。 第一部分：分析学的深化——严谨性的重塑 本部分将对微积分中的核心概念进行一次彻底的、基于 $epsilon-delta$ 语言的严格重构。我们认为，只有在严谨的逻辑框架下，才能真正理解极限、连续性、收敛性的真正内涵。 第一章：极限与连续性的严谨基础 我们将不再满足于直观的“无限接近”描述。本章将深入探讨实数系统的完备性公理，这是所有后续分析学论证的基石。我们将详细剖析 $epsilon-N$ 语言在数列极限中的应用，并将其推广至函数极限的 $epsilon-delta$ 框架。连续性的讨论将扩展到一致连续性（Uniform Continuity）的概念，解释为何在某些情境下，对函数在整个定义域上进行操作需要更强的条件。本章的重点在于培养读者使用严格数学语言进行逻辑推导的能力。 第二章：序列与级数的收敛性 对无穷过程的处理是分析学的核心挑战。本章将系统性地研究级数的收敛性判据，超越简单的比值检验或比较检验。我们将深入探讨幂级数的收敛半径、泰勒级数的有效性及其在函数逼近中的应用。此外，函数序列和函数级数的点态收敛（Pointwise Convergence）与一致收敛（Uniform Convergence）之间的区别将被置于核心地位，这是理解傅里叶分析和傅里叶变换等高级工具的基础。我们特别关注 Weierstrass 逼近定理的原理，以展示连续函数空间的美丽结构。 第三章：积分理论的提升：黎曼与勒贝格的初识 传统的黎曼积分在处理不规则函数时存在局限性。本章将对黎曼积分的理论进行一次全面的回顾和批判性分析。随后，本书将引入现代积分理论的先驱——勒贝格积分的概念。我们不会立即陷入测度论的复杂性，而是通过引入“可测集”和“简单函数”的直观理解，展示勒贝格积分在处理极限操作下积分顺序交换时的优越性。这为后续接触更高级的概率论和泛函分析打下必要的概念基础。 第二部分：代数结构的初探——向量空间的导入 在分析部分对“函数集合”进行严谨处理之后，本部分将转向研究“结构化量”——向量。我们将引入线性代数的核心概念，但其出发点是高度几何化和直观化的，旨在与分析学的严谨性相辅相成。 第四章：基础向量空间与线性组合 本章将从几何直觉出发，定义向量空间（Vector Space）的公理化结构。我们将讨论 $mathbb{R}^n$ 上的基本操作，并重点阐释线性无关性、张成空间（Span）和基（Basis）的概念。基的选择如何影响坐标表示，以及维度（Dimension）的唯一性证明，将是本章的核心论点。 第五章：线性变换与矩阵表示 线性变换（Linear Transformation）是连接不同向量空间的桥梁。本章将详细探讨线性变换的核空间（Kernel）和像空间（Image），以及著名的秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem）。矩阵不再仅仅是数字的矩形阵列，而是描述线性变换的精确工具。我们将探讨矩阵乘法的几何意义，以及矩阵的相似性（Similarity）概念，为特征值分析做准备。 第六章：特征值与特征向量的几何解释 特征值和特征向量是理解动态系统稳定性和结构不变性的关键。本章将集中讨论如何计算特征值和特征向量，特别是对于实对称矩阵的对角化（Diagonalization）过程。我们着重于解释对角化在简化复杂线性变换运算中的强大威力，以及它在解决线性微分方程组中的实际应用。 总结与展望 《数学分析基础：从微积分到线性代数的过渡》旨在提供一种集成式的数学视野。通过对分析学严谨性的强化训练和对线性代数结构性思维的引入，本书确保读者不仅“会算”，更“懂得”数学的内在逻辑和相互联系。它为读者迎接更高级的数学挑战——无论是抽象代数、拓扑学，还是多元微积分的严格证明——奠定了坚实、不可动摇的理论基础。 ---

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作为一名已经接触过一些数学基础知识的学生，我发现这本书在深度和广度上都做得相当出色。它并没有满足于浅尝辄止，而是对一些核心概念进行了深入的剖析。例如，在讲解向量微积分时，它不仅仅是给出了一些公式和运算规则，而是深入探讨了散度、旋度等概念的物理意义，以及它们在描述流体流动、电磁场等现象中的作用。书中的证明过程也是非常严谨的，逻辑清晰，步步为营，虽然有些证明过程需要一定的数学功底才能完全理解，但作者也尽可能地通过类比和简化，让读者能够把握住证明的主线。令我惊喜的是，这本书还包含了一些关于“数值计算方法”的章节，这在我之前的数学学习中是很少见到的，它让我了解到如何将理论数学转化为实际可操作的计算，这对于我未来在科学研究或工程应用中都将大有裨益。我尤其欣赏书中对一些“陷阱”和“易错点”的提示，这些小细节往往能帮助我避免一些不必要的弯路，让我学习得更有效率。

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不得不说，这本书的编排设计实在是太用心了！翻开目录，就能感受到内容的层次分明。从基础的概念引入，到复杂定理的推导，每一步都走得非常稳健，不会让你有那种“突然跳跃”的感觉。作者在讲解过程中，非常注重逻辑链条的清晰，每一步的推导都提供了详尽的解释，就连一些看似显而易见的步骤，也会用简短的文字补充说明，确保读者不会因为某个小细节而卡住。我印象最深刻的是关于积分的部分，它不是简单地罗列各种积分技巧，而是先从定积分的几何意义讲起，然后逐步引入换元积分法、分部积分法等，并且在每种方法介绍后，都配有大量的典型例题，涵盖了各种可能遇到的情况。最棒的是，这些例题的解答过程都非常详细，标注了每一步的思考过程，这对于我这种需要反复练习才能掌握知识的学生来说，简直是福音。我甚至可以对着例题，一步一步地模仿，然后去尝试解答新的题目。书中的图示也非常精美，能够直观地展现数学概念，比如函数图像的变换、空间几何的图形等等，这极大地减轻了我理解抽象概念的难度。

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我一直认为，一本好的数学书，不仅要讲清楚“是什么”，更要讲清楚“为什么”。而这本《高等数学（第二册）》恰恰做到了这一点。它在介绍每一个新的数学工具或理论时，都会先花一些篇幅去解释它出现的背景和解决的问题。比如，在介绍泰勒展开时，作者并没有直接给出公式，而是先从“如何更好地近似复杂函数”这个实际需求出发，循序渐进地引导读者理解多项式逼近的思路，最终才引出泰勒公式。这种“问题驱动”的学习方式，让我觉得非常自然，也更容易理解公式的意义和适用范围。书中还有一些“拓展阅读”的部分，虽然不是考试的重点，但却能让我了解到这些数学概念在其他领域的应用，比如在物理学、工程学中的重要性，这让我觉得学习高等数学不再是枯燥的计算，而是拥有了更广阔的应用前景。我最喜欢的是书中那些“思考与讨论”栏目，它们往往是一些开放性的问题，鼓励读者去深入思考，去探索数学世界的奥秘，这让我感觉自己不仅仅是在学习知识，更是在参与一场智力探险。

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说实话，拿到这本书的时候，我并没有抱太大的期待，毕竟高等数学的难度一直是我心中的一个坎。但是，《高等数学（第二册）》的出现，彻底改变了我的看法。这本书的语言风格非常朴实，但又处处透着严谨。它避免了那些过于华丽或晦涩的辞藻，而是用最直接、最清晰的方式将数学概念呈现出来。我特别喜欢它在讲解某些复杂概念时，会先使用一些简单的类比，然后逐步深入，让读者能够建立起直观的认识。比如，在讲到多重积分时，作者先从二重积分在求面积上的应用讲起，然后自然过渡到三重积分求体积，再到更高维度的应用，这个过程非常顺畅，一点也不突兀。书后的习题也很有特色，除了常规的计算题，还有不少概念辨析题和证明题，这些题目能够很好地考察读者对知识的理解程度，以及解决问题的能力。我常常会在做完习题后，回顾书中的相关章节，发现自己对那些概念的理解又加深了一层。这本书真的让我觉得，高等数学不再是遥不可及的，而是可以通过努力和正确的方法去掌握的。

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这本《高等数学（第二册）》简直是打开了我数学世界的新大门！初拿到书的时候，就被它厚重的质感和严谨的排版吸引了。我一直觉得高等数学是个令人望而生畏的学科，但这本书用一种非常循序渐进的方式，将那些看似复杂的概念一一拆解。比如，在讲解微积分中的某个关键定理时，作者并没有直接给出抽象的公式，而是通过一系列生动形象的例子，从物理、几何等多个角度去阐释其背后的逻辑。读到后面，你会发现自己不再是被动地接受知识，而是开始主动思考，甚至能举一反三，尝试用书中的方法去解决一些课后习题之外的问题。书中穿插的“数学家故事”环节也很有意思，让我了解到这些伟大思想的诞生过程，多了几分人情味，也更加激发了我对数学的探索欲。我特别喜欢它在某些章节末尾提出的“思考题”，这些题目难度适中，既能巩固当天所学，又能引导我去发散思维，去探索更深层次的数学原理。总而言之，这本书不仅仅是一本教科书，更像是一位循循善诱的良师益友，帮助我克服了对高等数学的恐惧，让我真正体会到了数学的魅力。

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