線性代數(下) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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isbn号码:9789574128952

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深入解析高等数学的基石：现代分析学导论 本书旨在为读者提供一个全面且深入的现代分析学基础框架，重点聚焦于实分析与泛函分析的核心概念、理论构建及其在解决实际问题中的应用。本书内容结构严谨，逻辑清晰，力求在不依赖于特定应用领域知识的前提下，构建起扎实的数学分析功底。 第一部分：严谨的实数分析基础 本部分从最基本的集合论和拓扑概念出发，为后续的微积分和分析奠定严格的逻辑基础。 第一章：度量空间与拓扑基础 集合论回顾与集合代数： 对勒贝格测度理论必需的预备知识进行梳理，包括可数集、不可数集的区分，以及集合运算的封闭性。 拓扑空间定义与性质： 引入开集、闭集、邻域、闭包、内部和边界的概念。探讨Hausdorff空间、紧致性（Compactness）和完备性（Completeness）在度量空间中的重要性。 收敛性与连续性： 在抽象拓扑空间中定义点收敛和一致收敛，并严格证明连续函数的拓扑保持性质，特别是紧集在连续映射下的像仍然是紧集。 可分性与可数紧性： 深入分析度量空间的内在结构，如可数稠密子集的存在性，并讨论可数紧性与紧性的等价性（在特定空间中）。 第二章：测度论的构建 本章是本书的核心内容之一，详细构建了勒贝格测度及其推广。 $sigma$-代数与可测集： 定义可测集的 $sigma$-代数，讲解 $sigma$-代数的生成性质，以及如何从一个半环（semiring）构造 $sigma$-代数。 卡拉索德里测度与外部测度： 从外部测度出发，通过Carathéodory可测性判据，精确地构造出$mathbb{R}^n$上的勒贝格测度。 勒贝格积分的定义与性质： 简单函数的积分： 作为积分理论的起点，精确定义简单函数的积分，并讨论其线性性质。 非负可测函数的积分： 引入单调收敛定理（Monotone Convergence Theorem, MCT），这是后续收敛定理的基础。 一般可测函数的积分： 通过正部与负部分解，定义一般可测函数的勒贝格积分，并探讨其存在性条件。 积分的收敛定理： 深入阐述法图定理（Fatou's Lemma）和勒贝格控制收敛定理（Dominated Convergence Theorem, DCT），并提供关键的证明和应用实例，如交换积分顺序的严格条件。 第三章：$L^p$ 空间 本章将积分理论与向量空间结构相结合。 $L^p$ 空间的定义与范数： 定义 $L^p(mu)$ 空间，并证明其上的范数满足三角不等式。 闵可夫斯基不等式： 严格证明 $L^p$ 空间中的核心不等式。 完备性证明： 证明 $L^p$ 空间（对于有限测度空间）是Banach空间，这是泛函分析的基石。 霍尔德不等式与柯西-施瓦茨不等式： 阐述 $L^p$ 空间中函数乘积的积分估计，并探讨 $p=1$ 和 $p=infty$ 时的特殊情况。 第二部分：泛函分析导论 基于前面对 $L^p$ 空间的掌握，本部分转向抽象的线性拓扑空间，即泛函分析。 第四章：赋范向量空间与Banach空间 线性泛函与强收敛： 重新审视在 $L^p$ 空间中定义的线性泛函，并引入算子（Operator）的概念。 有界线性算子： 定义算子的范数，并探讨算子空间的结构。 开映射定理与闭图像定理： 这两个核心定理是处理算子性质的关键工具。本书将提供这两个定理的完整证明，并分析它们在确定算子连续性时的作用。 Hahn-Banach 定理： 这是泛函分析的“里程碑”定理之一。本书将详细讨论其在实空间和复空间中的表述，特别是它在“延拓”线性泛函方面的强大能力，并展示其在构造分离超平面中的应用。 第五章：对偶空间与有界线性泛函 本章专注于研究函数空间的“对偶空间”，即空间中所有有界线性泛函构成的空间。 Riesz 表示定理（$L^p$ 空间）： 详细介绍 $L^p$ 空间的对偶空间结构。特别是证明 $L^p$ 的对偶空间是 $L^q$ 空间（其中 $1/p + 1/q = 1$），这提供了 $L^p$ 空间结构的一个清晰图像。 强收敛与弱收敛： 在赋范空间中定义这两种重要的收敛模式，并探讨它们之间的关系。 Banach-Steinhaus 定理（均匀有界原理）： 分析一系列有界算子（或泛函）如果逐点有界，则它们的范数也必须“一致有界”。本书将探讨其在傅里叶级数收敛性分析中的经典应用。 第六章：希尔伯特空间 本部分将分析结构提升至内积空间（即希尔伯特空间），这是一个具有特殊几何性质的空间。 内积与正交性： 定义内积，探讨正交投影的概念，并利用帕塞瓦尔等式分析函数分解。 闭凸集的性质： 利用内积的结构，证明闭凸集上存在唯一的范数最小点，并引入变分不等式。 Riesz 表示定理（希尔伯特空间）： 证明希尔伯特空间的对偶空间与其自身是等距同构的，这极大地简化了其对偶空间的描述。 正交分解与谱理论的预备： 简要介绍自伴算子的概念，为后续更深入的微分方程理论和算子理论打下基础。 全书的结构设计，确保了读者从最基本的测度概念出发，逐步过渡到高抽象度的泛函空间结构分析，为未来研究偏微分方程、调和分析或概率论的分析基础打下不可动摇的根基。本书的数学表述严格，侧重于理论的完整性而非对具体计算方法的过度强调。

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作为一名软件工程师，我经常在日常工作中接触到各种算法和数据结构，但最近在接触一些涉及图论、数值计算以及机器学习的领域时，我发现自己对底层数学原理的理解还不够扎实。尤其是在处理大规模图数据、进行复杂的数值模拟或者理解深度学习模型中的矩阵运算时，我总感觉隔着一层纱。听说这本《線性代數(下)》对线性代数中的核心概念，例如向量空间、线性映射、特征值分解等，有着非常深入的阐述，并且可能还包含了一些在实际工程中常见的应用案例。我希望通过这本书，能够更清晰地理解这些数学概念是如何支撑起那些我们日常使用的技术和算法的。我设想，当我需要优化一个图算法的性能，或者理解一个机器学习模型的收敛性时，这本书中的理论知识能帮助我找到问题的根源，并提供解决方案。我打算利用业余时间，结合实际项目来阅读这本书，希望能将理论知识与实践经验相结合，进一步提升我的技术能力。

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这本书的出现，对于我这样一个长期在物理学领域摸爬滚打的研究者来说，无异于久旱逢甘霖。在量子力学、经典力学以及统计物理等多个分支的研究中，线性代数都是不可或缺的工具。从狄拉克符号表示的量子态，到张量分析在广义相对论中的应用，再到协方差矩阵在统计系综中的角色，无不体现着线性代数的强大力量。我过去的学习和研究，很大程度上依赖于一些零散的资料和参考文献中的片段式理解，这导致了我在处理复杂问题时，时常感到理论的局限性。我渴望能够系统地梳理和深化我对线性代数的理解，特别是那些关于特征值、特征向量、谱分解以及酉变换等高级概念。我期望这本书能够以严谨的数学语言，但又兼顾物理直观性的方式，将这些概念进行深入的剖析，并展示它们在解决物理难题时的优雅和威力。我非常期待它能帮助我更深入地理解一些尚未完全掌握的物理理论，为我的下一步研究提供更强有力的理论武器。

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说实话，我当初买这本《線性代數(下)》纯属偶然，当时在书店里漫无目的地翻阅，被它厚实的手感和封面设计所吸引。我并不是数学专业的科班出身，背景更偏向于工程领域，但工作中的一些项目，比如信号处理和图像识别，都隐约指向了线性代数的重要性。我曾经尝试过网上的一些公开课和零散的资料，但总觉得知识点跳跃，逻辑不够连贯，也缺乏深入的理解。这本书给我一种踏实的感觉，它的章节划分和目录结构似乎能引导我从基础的概念一步步深入，这对于我这种非科班出身的学习者来说尤为重要。我希望通过这本书，能够更清晰地理解向量、矩阵、线性变换以及它们在实际工程问题中的应用。我设想，当我遇到需要降维、数据压缩或者构建预测模型时，这本书中的理论能为我提供坚实的理论支撑，让我不再是“知其然而不知其所以然”。我目前工作比较忙，阅读进度会比较缓慢，但每一个章节的理解都对我来说是宝贵的积累。

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这本书我还没真正开始深入研读，但就从它封面传递出的厚重感和书脊上清晰的“線性代數(下)”字样，我就能感受到它承载的知识分量。我是一名正在攻读应用数学专业的学生，高等数学和概率统计是我的主要战场，但最近在机器学习和数据科学领域投入了越来越多的精力。在学习这些交叉学科的过程中，我越发体会到线性代数的重要性，它不仅仅是数学的一个分支，更是理解许多高级模型和算法的基石。我之前也零星地接触过一些线性代数的概念，但总感觉不够系统和深入。听说这本“線性代數(下)”在代数结构、矩阵理论、向量空间等方面有非常详尽的阐述，这正是我目前迫切需要的。我设想，当我在处理大规模数据集进行特征提取，或者理解神经网络中的权重更新机制时，这本书中的概念能够给予我清晰的指导和深刻的洞见。我计划在期末考试结束后，腾出专门的时间来细致地阅读这本书，希望能一步步地构建起坚实的线性代数知识体系，为我未来的学习和研究打下坚实的基础。

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我是一位对数学抱有浓厚兴趣的业余爱好者，一直以来都被数学的逻辑之美和严谨性所吸引。虽然我并非科班出身，但每当接触到数学理论时，总能激发起我内心深处的求知欲。我之前也断断续续地阅读过一些数学普及读物，也尝试过一些基础的数学课程，但总觉得在某些关键领域，我的理解还不够深入和系统。线性代数，作为一个既有严谨的数学体系，又能广泛应用于各个领域的学科，一直是我非常感兴趣的方向。我听说这本《線性代數(下)》在探讨矩阵运算、向量空间以及线性变换等方面有着独到的见解，并且可能涵盖了一些更高级的数学思想。我希望通过阅读这本书，能够进一步拓展我的数学视野，理解数学的深度和广度，并培养更强的逻辑思维能力。我不会急于求成，而是会以一种欣赏和探索的心态去阅读，去感受线性代数中那些精妙的数学构造和深刻的数学逻辑。

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